Theorem frsuc 7815

Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
frsuc	⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)))

Proof of Theorem frsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 7796	. . . . 5 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
2		limomss 7348	. . . . 5 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
4	3	sseli 3817	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴))
5		rdgsucg 7802	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
7		peano2b 7359	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω ↔ suc 𝐵 ∈ ω)
8		fvres 6465	. . 3 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵))
9	7, 8	sylbi 209	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵))
10		fvres 6465	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵))
11	10	fveq2d 6450	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
12	6, 9, 11	3eqtr4d 2824	1 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  dom cdm 5355   ↾ cres 5357  Lim wlim 5977  suc csuc 5978  ‘cfv 6135  ωcom 7343  reccrdg 7788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789

This theorem is referenced by:  frsucmpt  7816  frsucmptn  7817  seqomlem1  7828  seqomlem4  7831  onasuc  7892  onmsuc  7893  onesuc  7894  inf3lemc  8820  alephfplem2  9261  ackbij2lem2  9397  infpssrlem2  9461  fin23lem34  9503  fin23lem35  9504  itunisuc  9576  om2uzrdg  13074  uzrdgsuci  13078  cnfinltrel  33836