Theorem frsuc 8466

Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
frsuc	⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)))

Proof of Theorem frsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 8446	. . . . 5 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
2		limomss 7880	. . . . 5 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
4	3	sseli 3974	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴))
5		rdgsucg 8452	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
7		peano2b 7892	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω ↔ suc 𝐵 ∈ ω)
8		fvres 6919	. . 3 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵))
9	7, 8	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵))
10		fvres 6919	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵))
11	10	fveq2d 6904	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
12	6, 9, 11	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3946  dom cdm 5681   ↾ cres 5683  Lim wlim 6376  suc csuc 6377  ‘cfv 6553  ωcom 7875  reccrdg 8438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5432  ax-un 7745

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7426  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439

This theorem is referenced by:  frsucmpt  8467  frsucmptn  8468  seqomlem1  8479  seqomlem4  8482  onasuc  8557  onmsuc  8558  onesuc  8559  inf3lemc  9665  alephfplem2  10144  ackbij2lem2  10279  infpssrlem2  10343  fin23lem34  10385  fin23lem35  10386  itunisuc  10458  om2uzrdg  13971  uzrdgsuci  13975  om2noseqrdg  28270  noseqrdgsuc  28274