Theorem frsuc 8338

Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
frsuc	⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)))

Proof of Theorem frsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 8318	. . . . 5 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
2		limomss 7785	. . . . 5 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
4	3	sseli 3928	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴))
5		rdgsucg 8324	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
7		peano2b 7797	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω ↔ suc 𝐵 ∈ ω)
8		fvres 6844	. . 3 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵))
9	7, 8	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵))
10		fvres 6844	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵))
11	10	fveq2d 6829	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
12	6, 9, 11	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = (𝐹‘((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3898  dom cdm 5620   ↾ cres 5622  Lim wlim 6303  suc csuc 6304  ‘cfv 6479  ωcom 7780  reccrdg 8310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311

This theorem is referenced by:  frsucmpt  8339  frsucmptn  8340  seqomlem1  8351  seqomlem4  8354  onasuc  8429  onmsuc  8430  onesuc  8431  inf3lemc  9483  alephfplem2  9962  ackbij2lem2  10097  infpssrlem2  10161  fin23lem34  10203  fin23lem35  10204  itunisuc  10276  om2uzrdg  13777  uzrdgsuci  13781