MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem5 9629
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9632 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem5 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem5
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 7868 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
21ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
3 nnord 7865 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
4 ordsucss 7808 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
65adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
7 peano2b 7874 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω ↔ suc 𝐵 ∈ ω)
8 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = suc 𝐵 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝐵))
98psseq2d 4093 . . . . . . . . 9 (𝑣 = suc 𝐵 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
109imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑣 = suc 𝐵 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵))))
11 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑢))
1211psseq2d 4093 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)))
1312imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢))))
14 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = suc 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝑢))
1514psseq2d 4093 . . . . . . . . 9 (𝑣 = suc 𝑢 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
1615imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑣 = suc 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
17 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
1817psseq2d 4093 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝐴 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
1918imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
20 inf3lem.1 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
21 inf3lem.2 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
22 inf3lem.4 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
2320, 21, 22, 22inf3lem4 9628 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐵 ∈ ω → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
2423com12 32 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
257, 24sylbir 234 . . . . . . . 8 (suc 𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
26 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ∈ V
2720, 21, 26, 22inf3lem4 9628 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑢 ∈ ω → (𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
28 psstr 4104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) ∧ (𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))
2928expcom 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢) → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
3027, 29syl6com 37 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3130a2d 29 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ω → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3231ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐵𝑢) → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3310, 13, 16, 19, 25, 32findsg 7892 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐵𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
3433ex 413 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
357, 34sylan2b 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
366, 35syld 47 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
3736impancom 452 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
382, 37mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
3938com12 32 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474  cin 3947  wss 3948  wpss 3949  c0 4322   cuni 4908  cmpt 5231  cres 5678  Ord word 6363  suc csuc 6366  cfv 6543  ωcom 7857  reccrdg 8411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-reg 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412
This theorem is referenced by:  inf3lem6  9630
  Copyright terms: Public domain W3C validator