MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem5 8696
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8699 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem5 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem5
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 7225 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
21ancoms 446 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
3 nnord 7223 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
4 ordsucss 7168 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
65adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 → suc 𝐵𝐴))
7 peano2b 7231 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω ↔ suc 𝐵 ∈ ω)
8 fveq2 6333 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = suc 𝐵 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝐵))
98psseq2d 3850 . . . . . . . . 9 (𝑣 = suc 𝐵 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
109imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑣 = suc 𝐵 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵))))
11 fveq2 6333 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑢))
1211psseq2d 3850 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)))
1312imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢))))
14 fveq2 6333 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = suc 𝑢 → (𝐹𝑣) = (𝐹‘suc 𝑢))
1514psseq2d 3850 . . . . . . . . 9 (𝑣 = suc 𝑢 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
1615imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑣 = suc 𝑢 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
17 fveq2 6333 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
1817psseq2d 3850 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝐴 → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
1918imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
20 inf3lem.1 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
21 inf3lem.2 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
22 inf3lem.4 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
2320, 21, 22, 22inf3lem4 8695 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐵 ∈ ω → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
2423com12 32 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
257, 24sylbir 225 . . . . . . . 8 (suc 𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝐵)))
26 vex 3354 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ∈ V
2720, 21, 26, 22inf3lem4 8695 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑢 ∈ ω → (𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
28 psstr 3861 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) ∧ (𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))
2928expcom 398 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑢) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢) → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢)))
3027, 29syl6com 37 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3130a2d 29 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ω → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3231ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝑢 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐵𝑢) → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝑢)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹‘suc 𝑢))))
3310, 13, 16, 19, 25, 32findsg 7243 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐵𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
3433ex 397 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
357, 34sylan2b 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
366, 35syld 47 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
3736impancom 439 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴))))
382, 37mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
3938com12 32 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) ⊊ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {crab 3065  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  wpss 3724  c0 4063   cuni 4575  cmpt 4864  cres 5252  Ord word 5864  suc csuc 5867  cfv 6030  ωcom 7215  reccrdg 7661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-reg 8656
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7216  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662
This theorem is referenced by:  inf3lem6  8697
  Copyright terms: Public domain W3C validator