Theorem pmtrprfv2 32755

Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrprfv2.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfv2	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem pmtrprfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4731	. . . 4 ⊢ {𝑌, 𝑋} = {𝑋, 𝑌}
2	1	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (𝑇‘{𝑌, 𝑋}) = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
3	2	fveq1i 6886	. 2 ⊢ ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌)
4		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ↔ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
5		necom 2988	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ 𝑌 ≠ 𝑋)
6	4, 5	anbi12i 626	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
7		df-3an 1086	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
8		df-3an 1086	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
9	6, 7, 8	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
10		pmtrprfv2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
11	10	pmtrprfv 19373	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
12	9, 11	sylan2b 593	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
13	3, 12	eqtr3id 2780	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  {cpr 4625  ‘cfv 6537  pmTrspcpmtr 19361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-1o 8467  df-2o 8468  df-en 8942  df-pmtr 19362

This theorem is referenced by:  pmtrcnel  32756  pmtridfv2  32761  psgnfzto1stlem  32765