Theorem pmtrprfv2 33043

Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrprfv2.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfv2	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem pmtrprfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4686	. . . 4 ⊢ {𝑌, 𝑋} = {𝑋, 𝑌}
2	1	fveq2i 6829	. . 3 ⊢ (𝑇‘{𝑌, 𝑋}) = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
3	2	fveq1i 6827	. 2 ⊢ ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌)
4		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ↔ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
5		necom 2978	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ 𝑌 ≠ 𝑋)
6	4, 5	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
7		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
8		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
9	6, 7, 8	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
10		pmtrprfv2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
11	10	pmtrprfv 19350	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
12	9, 11	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
13	3, 12	eqtr3id 2778	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {cpr 4581  ‘cfv 6486  pmTrspcpmtr 19338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-1o 8395  df-2o 8396  df-en 8880  df-pmtr 19339

This theorem is referenced by:  pmtrcnel  33044  fzo0pmtrlast  33047  pmtridfv2  33051  psgnfzto1stlem  33055