Theorem pmtrprfv2 33066

Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrprfv2.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfv2	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem pmtrprfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4686	. . . 4 ⊢ {𝑌, 𝑋} = {𝑋, 𝑌}
2	1	fveq2i 6833	. . 3 ⊢ (𝑇‘{𝑌, 𝑋}) = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
3	2	fveq1i 6831	. 2 ⊢ ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌)
4		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ↔ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
5		necom 2982	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ 𝑌 ≠ 𝑋)
6	4, 5	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
7		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
8		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋) ↔ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
9	6, 7, 8	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
10		pmtrprfv2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
11	10	pmtrprfv 19369	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
12	9, 11	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑋})‘𝑌) = 𝑋)
13	3, 12	eqtr3id 2782	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑌) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  {cpr 4579  ‘cfv 6488  pmTrspcpmtr 19357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-1o 8393  df-2o 8394  df-en 8878  df-pmtr 19358

This theorem is referenced by:  pmtrcnel  33067  fzo0pmtrlast  33070  pmtridfv2  33074  psgnfzto1stlem  33078