Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnfzto1stlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnfzto1stlem 31654
Description: Lemma for psgnfzto1st 31659. Our permutation of rank (𝑛 + 1) can be written as a permutation of rank 𝑛 composed with a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
Assertion
Ref Expression
psgnfzto1stlem ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖))) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐾
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem psgnfzto1stlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7370 . . . . 5 (𝐾 + 1) ∈ V
2 ovex 7370 . . . . . 6 (𝑖 − 1) ∈ V
3 vex 3445 . . . . . 6 𝑖 ∈ V
42, 3ifex 4523 . . . . 5 if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖) ∈ V
51, 4ifex 4523 . . . 4 if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ V
6 eqid 2736 . . . 4 (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)))
75, 6fnmpti 6627 . . 3 (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖))) Fn 𝐷
87a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖))) Fn 𝐷)
9 psgnfzto1st.d . . . . 5 𝐷 = (1...𝑁)
10 eqid 2736 . . . . 5 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
119, 10pmtrto1cl 31653 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
12 eqid 2736 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘𝐷)
1310, 12pmtrff1o 19167 . . . 4 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}):𝐷1-1-onto𝐷)
14 f1ofn 6768 . . . 4 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}):𝐷1-1-onto𝐷 → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) Fn 𝐷)
1511, 13, 143syl 18 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) Fn 𝐷)
16 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
1716iftrued 4481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝐾)
18 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℕ)
1918nnred 12089 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℝ)
20 fz1ssnn 13388 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ ℕ
219eleq2i 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 + 1) ∈ 𝐷 ↔ (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁))
2221biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 + 1) ∈ 𝐷 → (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁))
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁))
2420, 23sselid 3930 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
2524nnred 12089 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
26 elfz1b 13426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
2726simp2bi 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 + 1) ∈ 𝐷𝑁 ∈ ℕ)
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
3029nnred 12089 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℝ)
3119lep1d 12007 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
32 elfzle2 13361 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) → (𝐾 + 1) ≤ 𝑁)
3323, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ≤ 𝑁)
3419, 25, 30, 31, 33letrd 11233 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾𝑁)
3529nnzd 12526 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 fznn 13425 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁)))
3818, 34, 37mpbir2and 710 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
3938, 9eleqtrrdi 2848 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾𝐷)
4039ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐾𝐷)
4117, 40eqeltrd 2837 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷)
42 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ¬ 𝑖 = 1)
4342iffalsed 4484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))
44 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖𝐾)
4544iftrued 4481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) = (𝑖 − 1))
4642adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → ¬ 𝑖 = 1)
479, 20eqsstri 3966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 ⊆ ℕ
48 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖𝐷)
4947, 48sselid 3930 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖 ∈ ℕ)
50 nn1m1nn 12095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 = 1 ∨ (𝑖 − 1) ∈ ℕ))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 = 1 ∨ (𝑖 − 1) ∈ ℕ))
5251ord 861 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (¬ 𝑖 = 1 → (𝑖 − 1) ∈ ℕ))
5346, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ)
5453nnred 12089 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
5549nnred 12089 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖 ∈ ℝ)
5630ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
5755lem1d 12009 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ≤ 𝑖)
5848, 9eleqtrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
59 elfzle2 13361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 𝑖𝑁)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖𝑁)
6154, 55, 56, 57, 60letrd 11233 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ≤ 𝑁)
6253, 61jca 512 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → ((𝑖 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑖 − 1) ≤ 𝑁))
63 fznn 13425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑖 − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑖 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑖 − 1) ≤ 𝑁)))
6435, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ((𝑖 − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑖 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑖 − 1) ≤ 𝑁)))
6564ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → ((𝑖 − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑖 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑖 − 1) ≤ 𝑁)))
6662, 65mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ∈ (1...𝑁))
6766, 9eleqtrrdi 2848 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ∈ 𝐷)
6845, 67eqeltrd 2837 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) ∈ 𝐷)
69 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐾) → ¬ 𝑖𝐾)
7069iffalsed 4484 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐾) → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) = 𝑖)
71 simpllr 773 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐾) → 𝑖𝐷)
7270, 71eqeltrd 2837 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐾) → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) ∈ 𝐷)
7368, 72pm2.61dan 810 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) ∈ 𝐷)
7443, 73eqeltrd 2837 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷)
7541, 74pm2.61dan 810 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷)
7675ralrimiva 3139 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ∀𝑖𝐷 if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷)
77 eqid 2736 . . . . 5 (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))
7877fnmpt 6624 . . . 4 (∀𝑖𝐷 if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷 → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) Fn 𝐷)
7976, 78syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) Fn 𝐷)
8077rnmptss 7052 . . . 4 (∀𝑖𝐷 if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷 → ran (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) ⊆ 𝐷)
8176, 80syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ran (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) ⊆ 𝐷)
82 fnco 6601 . . 3 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) Fn 𝐷 ∧ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) Fn 𝐷 ∧ ran (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) ⊆ 𝐷) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))) Fn 𝐷)
8315, 79, 81, 82syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))) Fn 𝐷)
84 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
8584iftrued 4481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 = 1) → if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) = 𝐾)
8685fveq2d 6829 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 = 1) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝐾))
87 fzfi 13793 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ∈ Fin
889, 87eqeltri 2833 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ Fin
8988a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ Fin)
9023, 21sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
9119ltp1d 12006 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
9219, 91ltned 11212 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
9310pmtrprfv 19157 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷𝐾 ≠ (𝐾 + 1))) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝐾) = (𝐾 + 1))
9489, 39, 90, 92, 93syl13anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝐾) = (𝐾 + 1))
9594ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 = 1) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝐾) = (𝐾 + 1))
9686, 95eqtr2d 2777 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 = 1) → (𝐾 + 1) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))))
9788a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐷 ∈ Fin)
9839ad4antr 729 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾𝐷)
9990ad4antr 729 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
10092ad4antr 729 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
10110pmtrprfv2 31644 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷𝐾 ≠ (𝐾 + 1))) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝐾 + 1)) = 𝐾)
10297, 98, 99, 100, 101syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝐾 + 1)) = 𝐾)
10391ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
104 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝑥 = (𝐾 + 1))
105103, 104breqtrrd 5120 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 < 𝑥)
10619ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
107 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
10847, 107sselid 3930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℕ)
109108nnred 12089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℝ)
110109ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111106, 110ltnled 11223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐾))
112105, 111mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ¬ 𝑥𝐾)
113112iffalsed 4484 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) = 𝑥)
114113, 104eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) = (𝐾 + 1))
115114fveq2d 6829 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝐾 + 1)))
116104oveq1d 7352 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) = ((𝐾 + 1) − 1))
117106recnd 11104 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℂ)
118 1cnd 11071 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℂ)
119117, 118pncand 11434 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
120116, 119eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) = 𝐾)
121102, 115, 1203eqtr4rd 2787 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
122 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ≤ (𝐾 + 1))
123 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝐾 + 1))
124123necomd 2996 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑥)
125109ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12625ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
127125, 126ltlend 11221 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑥 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑥)))
128122, 124, 127mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 < (𝐾 + 1))
129108ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
130 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐾 ∈ ℕ)
131130ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℕ)
132 nnleltp1 12476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑥𝐾𝑥 < (𝐾 + 1)))
133129, 131, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥𝐾𝑥 < (𝐾 + 1)))
134128, 133mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥𝐾)
135134iftrued 4481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) = (𝑥 − 1))
136135fveq2d 6829 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝑥 − 1)))
13788a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝐷 ∈ Fin)
13839ad4antr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝐾𝐷)
139 simp-5r 783 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
140 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → ¬ 𝑥 = 1)
141140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → ¬ 𝑥 = 1)
142 elnn1uz2 12766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)))
143129, 142sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)))
144143ord 861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (¬ 𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (ℤ‘2)))
145141, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
146 uz2m1nn 12764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (𝑥 − 1) ∈ ℕ)
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ ℕ)
148139, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
149147nnred 12089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
150131, 139, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
151125lem1d 12009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
152107ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥𝐷)
153152, 9eleqtrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
154 elfzle2 13361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥𝑁)
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥𝑁)
156149, 125, 150, 151, 155letrd 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑁)
157147, 148, 1563jca 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) ≤ 𝑁))
158 elfz1b 13426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) ≤ 𝑁))
159157, 158sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑁))
160159, 9eleqtrrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ 𝐷)
161138, 139, 1603jca 1127 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 − 1) ∈ 𝐷))
162131, 139, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
163 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → 𝐾 = (𝑥 − 1))
164163oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → (𝐾 + 1) = ((𝑥 − 1) + 1))
165109recnd 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
166165ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
167 1cnd 11071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
168166, 167npcand 11437 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → ((𝑥 − 1) + 1) = 𝑥)
169164, 168eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → 𝑥 = (𝐾 + 1))
170169ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 = (𝑥 − 1) → 𝑥 = (𝐾 + 1)))
171170necon3d 2961 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝑥 ≠ (𝐾 + 1) → 𝐾 ≠ (𝑥 − 1)))
172171imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝐾 ≠ (𝑥 − 1))
173149, 125, 126, 151, 128lelttrd 11234 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) < (𝐾 + 1))
174149, 173ltned 11212 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ≠ (𝐾 + 1))
175174necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ (𝑥 − 1))
176162, 172, 1753jca 1127 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾 ≠ (𝐾 + 1) ∧ 𝐾 ≠ (𝑥 − 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ (𝑥 − 1)))
17710pmtrprfv3 19158 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 − 1) ∈ 𝐷) ∧ (𝐾 ≠ (𝐾 + 1) ∧ 𝐾 ≠ (𝑥 − 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ (𝑥 − 1))) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝑥 − 1)) = (𝑥 − 1))
178137, 161, 176, 177syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝑥 − 1)) = (𝑥 − 1))
179136, 178eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
180121, 179pm2.61dane 3029 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
181109ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 ∈ ℝ)
18219ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
18325ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
184 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
18531ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
186181, 182, 183, 184, 185letrd 11233 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 ≤ (𝐾 + 1))
187186ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → (𝑥𝐾𝑥 ≤ (𝐾 + 1)))
188187con3d 152 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → (¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1) → ¬ 𝑥𝐾))
189188imp 407 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → ¬ 𝑥𝐾)
190189iffalsed 4484 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) = 𝑥)
191190fveq2d 6829 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝑥))
19288a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐷 ∈ Fin)
19339ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾𝐷)
19490ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
195107ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝑥𝐷)
196193, 194, 1953jca 1127 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷𝑥𝐷))
19792ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
19819ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
19925ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
200109ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
20191ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
202 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1))
203199, 200ltnled 11223 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)))
204202, 203mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) < 𝑥)
205198, 199, 200, 201, 204lttrd 11237 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾 < 𝑥)
206198, 205ltned 11212 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾𝑥)
207199, 204ltned 11212 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑥)
208197, 206, 2073jca 1127 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 ≠ (𝐾 + 1) ∧ 𝐾𝑥 ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑥))
20910pmtrprfv3 19158 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷𝑥𝐷) ∧ (𝐾 ≠ (𝐾 + 1) ∧ 𝐾𝑥 ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑥)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝑥) = 𝑥)
210192, 196, 208, 209syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝑥) = 𝑥)
211191, 210eqtr2d 2777 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝑥 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
212180, 211ifeqda 4509 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
213140iffalsed 4484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) = if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))
214213fveq2d 6829 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
215212, 214eqtr4d 2779 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))))
21696, 215ifeqda 4509 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))))
217 eqidd 2737 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))
218 eqeq1 2740 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 = 1 ↔ 𝑥 = 1))
219 breq1 5095 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖𝐾𝑥𝐾))
220 oveq1 7344 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 − 1) = (𝑥 − 1))
221 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥𝑖 = 𝑥)
222219, 220, 221ifbieq12d 4501 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) = if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))
223218, 222ifbieq2d 4499 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
224223adantl 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑖 = 𝑥) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
225 ovex 7370 . . . . . . . . 9 (𝑥 − 1) ∈ V
226 vex 3445 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
227225, 226ifcli 4520 . . . . . . . 8 if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) ∈ V
228227a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) ∈ V)
229130, 228ifexd 4521 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) ∈ V)
230217, 224, 107, 229fvmptd 6938 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
231230fveq2d 6829 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))))
232216, 231eqtr4d 2779 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥)))
233 breq1 5095 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 ≤ (𝐾 + 1) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)))
234233, 220, 221ifbieq12d 4501 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖) = if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥))
235218, 234ifbieq2d 4499 . . . . 5 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)))
236225, 226ifex 4523 . . . . . 6 if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥) ∈ V
2371, 236ifex 4523 . . . . 5 if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)) ∈ V
238235, 6, 237fvmpt 6931 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥) = if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)))
239238adantl 482 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥) = if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)))
240 funmpt 6522 . . . . 5 Fun (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))
241240a1i 11 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → Fun (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))
24276adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ∀𝑖𝐷 if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷)
243 dmmptg 6180 . . . . . 6 (∀𝑖𝐷 if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷 → dom (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) = 𝐷)
244242, 243syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → dom (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) = 𝐷)
245107, 244eleqtrrd 2840 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ dom (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))
246 fvco 6922 . . . 4 ((Fun (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))‘𝑥) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥)))
247241, 245, 246syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))‘𝑥) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥)))
248232, 239, 2473eqtr4d 2786 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥) = ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))‘𝑥))
2498, 83, 248eqfnfvd 6968 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖))) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3441  wss 3898  ifcif 4473  {cpr 4575   class class class wbr 5092  cmpt 5175  dom cdm 5620  ran crn 5621  ccom 5624  Fun wfun 6473   Fn wfn 6474  1-1-ontowf1o 6478  cfv 6479  (class class class)co 7337  Fincfn 8804  cc 10970  cr 10971  1c1 10973   + caddc 10975   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306  cn 12074  2c2 12129  cz 12420  cuz 12683  ...cfz 13340  pmTrspcpmtr 19145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-pmtr 19146
This theorem is referenced by:  fzto1st  31657  psgnfzto1st  31659
  Copyright terms: Public domain W3C validator