Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psgnfzto1stlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnfzto1stlem 30802
 Description: Lemma for psgnfzto1st 30807. Our permutation of rank (𝑛 + 1) can be written as a permutation of rank 𝑛 composed with a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
Assertion
Ref Expression
psgnfzto1stlem ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖))) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐾
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem psgnfzto1stlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7169 . . . . 5 (𝐾 + 1) ∈ V
2 ovex 7169 . . . . . 6 (𝑖 − 1) ∈ V
3 vex 3444 . . . . . 6 𝑖 ∈ V
42, 3ifex 4473 . . . . 5 if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖) ∈ V
51, 4ifex 4473 . . . 4 if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ V
6 eqid 2798 . . . 4 (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)))
75, 6fnmpti 6464 . . 3 (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖))) Fn 𝐷
87a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖))) Fn 𝐷)
9 psgnfzto1st.d . . . . 5 𝐷 = (1...𝑁)
10 eqid 2798 . . . . 5 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
119, 10pmtrto1cl 30801 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
12 eqid 2798 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘𝐷)
1310, 12pmtrff1o 18587 . . . 4 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}):𝐷1-1-onto𝐷)
14 f1ofn 6592 . . . 4 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}):𝐷1-1-onto𝐷 → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) Fn 𝐷)
1511, 13, 143syl 18 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) Fn 𝐷)
16 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
1716iftrued 4433 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) = 𝐾)
18 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℕ)
1918nnred 11643 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℝ)
20 fz1ssnn 12936 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ ℕ
219eleq2i 2881 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 + 1) ∈ 𝐷 ↔ (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁))
2221biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 + 1) ∈ 𝐷 → (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁))
2322adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁))
2420, 23sseldi 3913 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
2524nnred 11643 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
26 elfz1b 12974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
2726simp2bi 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 + 1) ∈ 𝐷𝑁 ∈ ℕ)
2928adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
3029nnred 11643 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℝ)
3119lep1d 11563 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
32 elfzle2 12909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) → (𝐾 + 1) ≤ 𝑁)
3323, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ≤ 𝑁)
3419, 25, 30, 31, 33letrd 10789 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾𝑁)
3529nnzd 12077 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 fznn 12973 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁)))
3818, 34, 37mpbir2and 712 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
3938, 9eleqtrrdi 2901 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾𝐷)
4039ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → 𝐾𝐷)
4117, 40eqeltrd 2890 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷)
42 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ¬ 𝑖 = 1)
4342iffalsed 4436 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))
44 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖𝐾)
4544iftrued 4433 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) = (𝑖 − 1))
4642adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → ¬ 𝑖 = 1)
479, 20eqsstri 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 ⊆ ℕ
48 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖𝐷)
4947, 48sseldi 3913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖 ∈ ℕ)
50 nn1m1nn 11649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 = 1 ∨ (𝑖 − 1) ∈ ℕ))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 = 1 ∨ (𝑖 − 1) ∈ ℕ))
5251ord 861 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (¬ 𝑖 = 1 → (𝑖 − 1) ∈ ℕ))
5346, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ)
5453nnred 11643 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
5549nnred 11643 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖 ∈ ℝ)
5630ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑁 ∈ ℝ)
5755lem1d 11565 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ≤ 𝑖)
5848, 9eleqtrdi 2900 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
59 elfzle2 12909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → 𝑖𝑁)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → 𝑖𝑁)
6154, 55, 56, 57, 60letrd 10789 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ≤ 𝑁)
6253, 61jca 515 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → ((𝑖 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑖 − 1) ≤ 𝑁))
63 fznn 12973 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑖 − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑖 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑖 − 1) ≤ 𝑁)))
6435, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ((𝑖 − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑖 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑖 − 1) ≤ 𝑁)))
6564ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → ((𝑖 − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑖 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑖 − 1) ≤ 𝑁)))
6662, 65mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ∈ (1...𝑁))
6766, 9eleqtrrdi 2901 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → (𝑖 − 1) ∈ 𝐷)
6845, 67eqeltrd 2890 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ 𝑖𝐾) → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) ∈ 𝐷)
69 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐾) → ¬ 𝑖𝐾)
7069iffalsed 4436 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐾) → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) = 𝑖)
71 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐾) → 𝑖𝐷)
7270, 71eqeltrd 2890 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ∧ ¬ 𝑖𝐾) → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) ∈ 𝐷)
7368, 72pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) ∈ 𝐷)
7443, 73eqeltrd 2890 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷)
7541, 74pm2.61dan 812 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑖𝐷) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷)
7675ralrimiva 3149 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ∀𝑖𝐷 if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷)
77 eqid 2798 . . . . 5 (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))
7877fnmpt 6461 . . . 4 (∀𝑖𝐷 if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷 → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) Fn 𝐷)
7976, 78syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) Fn 𝐷)
8077rnmptss 6864 . . . 4 (∀𝑖𝐷 if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷 → ran (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) ⊆ 𝐷)
8176, 80syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ran (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) ⊆ 𝐷)
82 fnco 6438 . . 3 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) Fn 𝐷 ∧ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) Fn 𝐷 ∧ ran (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) ⊆ 𝐷) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))) Fn 𝐷)
8315, 79, 81, 82syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))) Fn 𝐷)
84 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
8584iftrued 4433 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 = 1) → if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) = 𝐾)
8685fveq2d 6650 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 = 1) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝐾))
87 fzfi 13338 . . . . . . . . . 10 (1...𝑁) ∈ Fin
889, 87eqeltri 2886 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ Fin
8988a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ Fin)
9023, 21sylibr 237 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
9119ltp1d 11562 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
9219, 91ltned 10768 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
9310pmtrprfv 18577 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷𝐾 ≠ (𝐾 + 1))) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝐾) = (𝐾 + 1))
9489, 39, 90, 92, 93syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝐾) = (𝐾 + 1))
9594ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 = 1) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝐾) = (𝐾 + 1))
9686, 95eqtr2d 2834 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑥 = 1) → (𝐾 + 1) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))))
9788a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐷 ∈ Fin)
9839ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾𝐷)
9990ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
10092ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
10110pmtrprfv2 30792 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷𝐾 ≠ (𝐾 + 1))) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝐾 + 1)) = 𝐾)
10297, 98, 99, 100, 101syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝐾 + 1)) = 𝐾)
10391ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
104 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝑥 = (𝐾 + 1))
105103, 104breqtrrd 5059 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 < 𝑥)
10619ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
107 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
10847, 107sseldi 3913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℕ)
109108nnred 11643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℝ)
110109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111106, 110ltnled 10779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝐾))
112105, 111mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ¬ 𝑥𝐾)
113112iffalsed 4436 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) = 𝑥)
114113, 104eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) = (𝐾 + 1))
115114fveq2d 6650 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝐾 + 1)))
116104oveq1d 7151 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) = ((𝐾 + 1) − 1))
117106recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℂ)
118 1cnd 10628 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℂ)
119117, 118pncand 10990 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
120116, 119eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) = 𝐾)
121102, 115, 1203eqtr4rd 2844 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
122 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ≤ (𝐾 + 1))
123 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ≠ (𝐾 + 1))
124123necomd 3042 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑥)
125109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12625ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
127125, 126ltlend 10777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑥 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑥)))
128122, 124, 127mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 < (𝐾 + 1))
129108ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
130 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐾 ∈ ℕ)
131130ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℕ)
132 nnleltp1 12028 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑥𝐾𝑥 < (𝐾 + 1)))
133129, 131, 132syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥𝐾𝑥 < (𝐾 + 1)))
134128, 133mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥𝐾)
135134iftrued 4433 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) = (𝑥 − 1))
136135fveq2d 6650 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝑥 − 1)))
13788a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝐷 ∈ Fin)
13839ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝐾𝐷)
139 simp-5r 785 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
140 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → ¬ 𝑥 = 1)
141140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → ¬ 𝑥 = 1)
142 elnn1uz2 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)))
143129, 142sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)))
144143ord 861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (¬ 𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (ℤ‘2)))
145141, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
146 uz2m1nn 12314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (𝑥 − 1) ∈ ℕ)
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ ℕ)
148139, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
149147nnred 11643 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
150131, 139, 30syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
151125lem1d 11565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑥)
152107ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥𝐷)
153152, 9eleqtrdi 2900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ (1...𝑁))
154 elfzle2 12909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥𝑁)
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝑥𝑁)
156149, 125, 150, 151, 155letrd 10789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ≤ 𝑁)
157147, 148, 1563jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) ≤ 𝑁))
158 elfz1b 12974 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) ≤ 𝑁))
159157, 158sylibr 237 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ (1...𝑁))
160159, 9eleqtrrdi 2901 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ∈ 𝐷)
161138, 139, 1603jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 − 1) ∈ 𝐷))
162131, 139, 92syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
163 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → 𝐾 = (𝑥 − 1))
164163oveq1d 7151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → (𝐾 + 1) = ((𝑥 − 1) + 1))
165109recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
166165ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
167 1cnd 10628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
168166, 167npcand 10993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → ((𝑥 − 1) + 1) = 𝑥)
169164, 168eqtr2d 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝐾 = (𝑥 − 1)) → 𝑥 = (𝐾 + 1))
170169ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 = (𝑥 − 1) → 𝑥 = (𝐾 + 1)))
171170necon3d 3008 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝑥 ≠ (𝐾 + 1) → 𝐾 ≠ (𝑥 − 1)))
172171imp 410 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → 𝐾 ≠ (𝑥 − 1))
173149, 125, 126, 151, 128lelttrd 10790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) < (𝐾 + 1))
174149, 173ltned 10768 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) ≠ (𝐾 + 1))
175174necomd 3042 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ (𝑥 − 1))
176162, 172, 1753jca 1125 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝐾 ≠ (𝐾 + 1) ∧ 𝐾 ≠ (𝑥 − 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ (𝑥 − 1)))
17710pmtrprfv3 18578 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 − 1) ∈ 𝐷) ∧ (𝐾 ≠ (𝐾 + 1) ∧ 𝐾 ≠ (𝑥 − 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ (𝑥 − 1))) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝑥 − 1)) = (𝑥 − 1))
178137, 161, 176, 177syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘(𝑥 − 1)) = (𝑥 − 1))
179136, 178eqtr2d 2834 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) ∧ 𝑥 ≠ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
180121, 179pm2.61dane 3074 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝑥 − 1) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
181109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 ∈ ℝ)
18219ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
18325ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
184 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
18531ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
186181, 182, 183, 184, 185letrd 10789 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ 𝑥𝐾) → 𝑥 ≤ (𝐾 + 1))
187186ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → (𝑥𝐾𝑥 ≤ (𝐾 + 1)))
188187con3d 155 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → (¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1) → ¬ 𝑥𝐾))
189188imp 410 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → ¬ 𝑥𝐾)
190189iffalsed 4436 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) = 𝑥)
191190fveq2d 6650 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝑥))
19288a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐷 ∈ Fin)
19339ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾𝐷)
19490ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
195107ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝑥𝐷)
196193, 194, 1953jca 1125 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷𝑥𝐷))
19792ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
19819ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
19925ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
200109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
20191ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
202 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1))
203199, 200ltnled 10779 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)))
204202, 203mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) < 𝑥)
205198, 199, 200, 201, 204lttrd 10793 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾 < 𝑥)
206198, 205ltned 10768 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝐾𝑥)
207199, 204ltned 10768 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑥)
208197, 206, 2073jca 1125 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (𝐾 ≠ (𝐾 + 1) ∧ 𝐾𝑥 ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑥))
20910pmtrprfv3 18578 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷𝑥𝐷) ∧ (𝐾 ≠ (𝐾 + 1) ∧ 𝐾𝑥 ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑥)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝑥) = 𝑥)
210192, 196, 208, 209syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘𝑥) = 𝑥)
211191, 210eqtr2d 2834 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)) → 𝑥 = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
212180, 211ifeqda 4460 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
213140iffalsed 4436 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) = if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))
214213fveq2d 6650 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
215212, 214eqtr4d 2836 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 = 1) → if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))))
21696, 215ifeqda 4460 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))))
217 eqidd 2799 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) = (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))
218 eqeq1 2802 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 = 1 ↔ 𝑥 = 1))
219 breq1 5034 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖𝐾𝑥𝐾))
220 oveq1 7143 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 − 1) = (𝑥 − 1))
221 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑥𝑖 = 𝑥)
222219, 220, 221ifbieq12d 4452 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖) = if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))
223218, 222ifbieq2d 4450 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
224223adantl 485 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝑖 = 𝑥) → if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
225 ovex 7169 . . . . . . . . 9 (𝑥 − 1) ∈ V
226 vex 3444 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
227225, 226ifcli 4471 . . . . . . . 8 if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) ∈ V
228227a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) ∈ V)
229 ifexg 4472 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥) ∈ V) → if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) ∈ V)
230130, 228, 229syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)) ∈ V)
231217, 224, 107, 230fvmptd 6753 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥) = if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥)))
232231fveq2d 6650 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘if(𝑥 = 1, 𝐾, if(𝑥𝐾, (𝑥 − 1), 𝑥))))
233216, 232eqtr4d 2836 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥)))
234 breq1 5034 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 ≤ (𝐾 + 1) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 + 1)))
235234, 220, 221ifbieq12d 4452 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖) = if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥))
236218, 235ifbieq2d 4450 . . . . 5 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)) = if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)))
237225, 226ifex 4473 . . . . . 6 if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥) ∈ V
2381, 237ifex 4473 . . . . 5 if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)) ∈ V
239236, 6, 238fvmpt 6746 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥) = if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)))
240239adantl 485 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥) = if(𝑥 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑥 ≤ (𝐾 + 1), (𝑥 − 1), 𝑥)))
241 funmpt 6363 . . . . 5 Fun (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))
242241a1i 11 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → Fun (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))
24376adantr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ∀𝑖𝐷 if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷)
244 dmmptg 6064 . . . . . 6 (∀𝑖𝐷 if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)) ∈ 𝐷 → dom (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) = 𝐷)
245243, 244syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → dom (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) = 𝐷)
246107, 245eleqtrrd 2893 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ dom (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))
247 fvco 6737 . . . 4 ((Fun (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))‘𝑥) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥)))
248242, 246, 247syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))‘𝑥) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)})‘((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥)))
249233, 240, 2483eqtr4d 2843 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖)))‘𝑥) = ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖))))‘𝑥))
2508, 83, 249eqfnfvd 6783 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, (𝐾 + 1), if(𝑖 ≤ (𝐾 + 1), (𝑖 − 1), 𝑖))) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∘ (𝑖𝐷 ↦ if(𝑖 = 1, 𝐾, if(𝑖𝐾, (𝑖 − 1), 𝑖)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ifcif 4425  {cpr 4527   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  dom cdm 5520  ran crn 5521   ∘ ccom 5524  Fun wfun 6319   Fn wfn 6320  –1-1-onto→wf1o 6324  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Fincfn 8495  ℂcc 10527  ℝcr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕcn 11628  2c2 11683  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ...cfz 12888  pmTrspcpmtr 18565 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-pmtr 18566 This theorem is referenced by:  fzto1st  30805  psgnfzto1st  30807
 Copyright terms: Public domain W3C validator