MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfv 18712
Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem pmtrprfv
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐷𝑉)
2 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝐷)
3 simpr2 1196 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝐷)
42, 3prssd 4720 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
5 pr2nelem 9517 . . . 4 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
65adantl 485 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
7 pmtrfval.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
87pmtrfv 18711 . . 3 (((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) ∧ 𝑋𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
91, 4, 6, 2, 8syl31anc 1374 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
10 prid1g 4661 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
112, 10syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
1211iftrued 4432 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
13 difprsnss 4697 . . . . . . 7 ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌}
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌})
15 prid2g 4662 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐷𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
163, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
17 simpr3 1197 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝑌)
1817necomd 2990 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝑋)
19 eldifsn 4685 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ↔ (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌𝑋))
2016, 18, 19sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
2120snssd 4707 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
2214, 21eqssd 3904 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
2322unieqd 4820 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
24 unisng 4827 . . . . 5 (𝑌𝐷 {𝑌} = 𝑌)
253, 24syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑌} = 𝑌)
2623, 25eqtrd 2774 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = 𝑌)
2712, 26eqtrd 2774 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = 𝑌)
289, 27eqtrd 2774 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  cdif 3850  wss 3853  ifcif 4424  {csn 4526  {cpr 4528   cuni 4806   class class class wbr 5040  cfv 6350  2oc2o 8138  cen 8565  pmTrspcpmtr 18700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7613  df-1o 8144  df-2o 8145  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pmtr 18701
This theorem is referenced by:  symggen  18729  pmtr3ncomlem1  18732  mdetralt  21372  mdetunilem7  21382  pmtrprfv2  30947  pmtridfv1  30952  psgnfzto1stlem  30957
  Copyright terms: Public domain W3C validator