MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfv 19243
Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem pmtrprfv
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐷𝑉)
2 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝐷)
3 simpr2 1196 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝐷)
42, 3prssd 4786 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
5 enpr2 9946 . . . 4 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
65adantl 483 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
7 pmtrfval.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
87pmtrfv 19242 . . 3 (((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) ∧ 𝑋𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
91, 4, 6, 2, 8syl31anc 1374 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
10 prid1g 4725 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
112, 10syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
1211iftrued 4498 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
13 difprsnss 4763 . . . . . . 7 ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌}
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌})
15 prid2g 4726 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐷𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
163, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
17 simpr3 1197 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝑌)
1817necomd 2996 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝑋)
19 eldifsn 4751 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ↔ (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌𝑋))
2016, 18, 19sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
2120snssd 4773 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
2214, 21eqssd 3965 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
2322unieqd 4883 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
24 unisng 4890 . . . . 5 (𝑌𝐷 {𝑌} = 𝑌)
253, 24syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑌} = 𝑌)
2623, 25eqtrd 2773 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = 𝑌)
2712, 26eqtrd 2773 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = 𝑌)
289, 27eqtrd 2773 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  cdif 3911  wss 3914  ifcif 4490  {csn 4590  {cpr 4592   cuni 4869   class class class wbr 5109  cfv 6500  2oc2o 8410  cen 8886  pmTrspcpmtr 19231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-1o 8416  df-2o 8417  df-en 8890  df-pmtr 19232
This theorem is referenced by:  symggen  19260  pmtr3ncomlem1  19263  mdetralt  21980  mdetunilem7  21990  pmtrprfv2  31995  pmtridfv1  32000  psgnfzto1stlem  32005
  Copyright terms: Public domain W3C validator