Theorem pmtrprfv 19390

Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrfval.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfv	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem pmtrprfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
3		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐷)
4	2, 3	prssd 4789	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
5		enpr2 9962	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
7		pmtrfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
8	7	pmtrfv 19389	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
9	1, 4, 6, 2, 8	syl31anc 1375	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
10		prid1g 4727	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
12	11	iftrued 4499	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
13		difprsnss 4766	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌}
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌})
15		prid2g 4728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
16	3, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
17		simpr3 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
18	17	necomd 2981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑋)
19		eldifsn 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ↔ (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
20	16, 18, 19	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
21	20	snssd 4776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
22	14, 21	eqssd 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
23	22	unieqd 4887	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = ∪ {𝑌})
24		unisng 4892	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐷 → ∪ {𝑌} = 𝑌)
25	3, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ {𝑌} = 𝑌)
26	23, 25	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = 𝑌)
27	12, 26	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = 𝑌)
28	9, 27	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  {csn 4592  {cpr 4594  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  2_oc2o 8431   ≈ cen 8918  pmTrspcpmtr 19378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-1o 8437  df-2o 8438  df-en 8922  df-pmtr 19379

This theorem is referenced by:  symggen  19407  pmtr3ncomlem1  19410  mdetralt  22502  mdetunilem7  22512  pmtrprfv2  33052  pmtridfv1  33059  psgnfzto1stlem  33064