MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfv 19061
Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem pmtrprfv
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐷𝑉)
2 simpr1 1193 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝐷)
3 simpr2 1194 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝐷)
42, 3prssd 4755 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
5 pr2nelem 9760 . . . 4 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
65adantl 482 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
7 pmtrfval.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
87pmtrfv 19060 . . 3 (((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) ∧ 𝑋𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
91, 4, 6, 2, 8syl31anc 1372 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
10 prid1g 4696 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
112, 10syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
1211iftrued 4467 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
13 difprsnss 4732 . . . . . . 7 ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌}
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌})
15 prid2g 4697 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐷𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
163, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
17 simpr3 1195 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝑌)
1817necomd 2999 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝑋)
19 eldifsn 4720 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ↔ (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌𝑋))
2016, 18, 19sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
2120snssd 4742 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
2214, 21eqssd 3938 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
2322unieqd 4853 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
24 unisng 4860 . . . . 5 (𝑌𝐷 {𝑌} = 𝑌)
253, 24syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑌} = 𝑌)
2623, 25eqtrd 2778 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = 𝑌)
2712, 26eqtrd 2778 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = 𝑌)
289, 27eqtrd 2778 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cdif 3884  wss 3887  ifcif 4459  {csn 4561  {cpr 4563   cuni 4839   class class class wbr 5074  cfv 6433  2oc2o 8291  cen 8730  pmTrspcpmtr 19049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pmtr 19050
This theorem is referenced by:  symggen  19078  pmtr3ncomlem1  19081  mdetralt  21757  mdetunilem7  21767  pmtrprfv2  31357  pmtridfv1  31362  psgnfzto1stlem  31367
  Copyright terms: Public domain W3C validator