Theorem pmtrprfv 18312

Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrfval.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfv	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem pmtrprfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		simpr1 1187	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
3		simpr2 1188	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐷)
4	2, 3	prssd 4662	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
5		pr2nelem 9276	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
6	5	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
7		pmtrfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
8	7	pmtrfv 18311	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
9	1, 4, 6, 2, 8	syl31anc 1366	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
10		prid1g 4603	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
12	11	iftrued 4389	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
13		difprsnss 4639	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌}
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌})
15		prid2g 4604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
16	3, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
17		simpr3 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
18	17	necomd 3039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑋)
19		eldifsn 4626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ↔ (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
20	16, 18, 19	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
21	20	snssd 4649	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
22	14, 21	eqssd 3906	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
23	22	unieqd 4755	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = ∪ {𝑌})
24		unisng 4760	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐷 → ∪ {𝑌} = 𝑌)
25	3, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ {𝑌} = 𝑌)
26	23, 25	eqtrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = 𝑌)
27	12, 26	eqtrd 2831	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = 𝑌)
28	9, 27	eqtrd 2831	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984   ∖ cdif 3856   ⊆ wss 3859  ifcif 4381  {csn 4472  {cpr 4474  ∪ cuni 4745   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  2_oc2o 7947   ≈ cen 8354  pmTrspcpmtr 18300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-om 7437  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pmtr 18301

This theorem is referenced by:  symggen  18329  pmtr3ncomlem1  18332  mdetralt  20901  mdetunilem7  20911  pmtrprfv2  30391  psgnfzto1stlem  30664  pmtridfv1  30671