Theorem pmtrprfv 19428

Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrfval.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfv	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem pmtrprfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
3		simpr2 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐷)
4	2, 3	prssd 4765	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
5		enpr2 9926	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
7		pmtrfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
8	7	pmtrfv 19427	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
9	1, 4, 6, 2, 8	syl31anc 1376	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
10		prid1g 4704	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
12	11	iftrued 4474	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
13		difprsnss 4744	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌}
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌})
15		prid2g 4705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
16	3, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
17		simpr3 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
18	17	necomd 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑋)
19		eldifsn 4731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ↔ (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
20	16, 18, 19	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
21	20	snssd 4730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
22	14, 21	eqssd 3939	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
23	22	unieqd 4863	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = ∪ {𝑌})
24		unisng 4868	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐷 → ∪ {𝑌} = 𝑌)
25	3, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ {𝑌} = 𝑌)
26	23, 25	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = 𝑌)
27	12, 26	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = 𝑌)
28	9, 27	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ifcif 4466  {csn 4567  {cpr 4569  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  2_oc2o 8399   ≈ cen 8890  pmTrspcpmtr 19416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-1o 8405  df-2o 8406  df-en 8894  df-pmtr 19417

This theorem is referenced by:  symggen  19445  pmtr3ncomlem1  19448  mdetralt  22573  mdetunilem7  22583  pmtrprfv2  33149  pmtridfv1  33156  psgnfzto1stlem  33161