Theorem pmtrprfv 19471

Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrfval.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfv	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem pmtrprfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
3		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐷)
4	2, 3	prssd 4822	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
5		enpr2 10042	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
7		pmtrfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
8	7	pmtrfv 19470	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
9	1, 4, 6, 2, 8	syl31anc 1375	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
10		prid1g 4760	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
12	11	iftrued 4533	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
13		difprsnss 4799	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌}
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌})
15		prid2g 4761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
16	3, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
17		simpr3 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
18	17	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑋)
19		eldifsn 4786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ↔ (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
20	16, 18, 19	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
21	20	snssd 4809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
22	14, 21	eqssd 4001	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
23	22	unieqd 4920	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = ∪ {𝑌})
24		unisng 4925	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐷 → ∪ {𝑌} = 𝑌)
25	3, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ {𝑌} = 𝑌)
26	23, 25	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = 𝑌)
27	12, 26	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ∪ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = 𝑌)
28	9, 27	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  2_oc2o 8500   ≈ cen 8982  pmTrspcpmtr 19459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986  df-pmtr 19460

This theorem is referenced by:  symggen  19488  pmtr3ncomlem1  19491  mdetralt  22614  mdetunilem7  22624  pmtrprfv2  33108  pmtridfv1  33115  psgnfzto1stlem  33120