Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsubg 30830
 Description: The value of the group subtraction operation of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsubg.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgsubg.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgsubg ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑌))

Proof of Theorem symgsubg
StepHypRef Expression
1 symgsubg.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2798 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2798 . . 3 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4 symgsubg.m . . 3 = (-g𝐺)
51, 2, 3, 4grpsubval 18162 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
6 symgsubg.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
76, 1, 3symginv 18543 . . . 4 (𝑌𝐵 → ((invg𝐺)‘𝑌) = 𝑌)
87adantl 485 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) = 𝑌)
98oveq2d 7161 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = (𝑋(+g𝐺)𝑌))
106, 1elbasfv 16556 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝐴 ∈ V)
116symggrp 18541 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝑋𝐵𝐺 ∈ Grp)
131, 3grpinvcl 18164 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
1412, 13sylan 583 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
158, 14eqeltrrd 2891 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
166, 1, 2symgov 18525 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝐺)𝑌) = (𝑋𝑌))
1715, 16syldan 594 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝐺)𝑌) = (𝑋𝑌))
185, 9, 173eqtrd 2837 1 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442  ◡ccnv 5522   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Basecbs 16495  +gcplusg 16577  Grpcgrp 18115  invgcminusg 18116  -gcsg 18117  SymGrpcsymg 18508 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-tset 16596  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-efmnd 18046  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-symg 18509 This theorem is referenced by:  cycpmconjs  30897  cyc3conja  30898
 Copyright terms: Public domain W3C validator