Theorem symgsubg 33048

Description: The value of the group subtraction operation of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsubg.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgsubg.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgsubg	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))

Proof of Theorem symgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgsubg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		symgsubg.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18893	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
6		symgsubg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
7	6, 1, 3	symginv 19309	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = ◡𝑌)
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = ◡𝑌)
9	8	oveq2d 7357	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝐺)◡𝑌))
10	6, 1	elbasfv 17121	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
11	6	symggrp 19307	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ Grp)
13	1, 3	grpinvcl 18895	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
14	12, 13	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	8, 14	eqeltrrd 2832	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ◡𝑌 ∈ 𝐵)
16	6, 1, 2	symgov 19291	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)◡𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))
17	15, 16	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)◡𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))
18	5, 9, 17	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ^◡ccnv 5610   ∘ ccom 5615  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842  -_gcsg 18843  SymGrpcsymg 19276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-tset 17175  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-efmnd 18772  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-symg 19277

This theorem is referenced by:  cycpmconjs  33117  cyc3conja  33118