Theorem symgsubg 32235

Description: The value of the group subtraction operation of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsubg.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgsubg.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgsubg	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))

Proof of Theorem symgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgsubg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2732	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		symgsubg.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18866	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
6		symgsubg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
7	6, 1, 3	symginv 19264	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = ◡𝑌)
8	7	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = ◡𝑌)
9	8	oveq2d 7421	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝐺)◡𝑌))
10	6, 1	elbasfv 17146	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
11	6	symggrp 19262	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ Grp)
13	1, 3	grpinvcl 18868	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
14	12, 13	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	8, 14	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ◡𝑌 ∈ 𝐵)
16	6, 1, 2	symgov 19245	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)◡𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))
17	15, 16	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)◡𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))
18	5, 9, 17	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ^◡ccnv 5674   ∘ ccom 5679  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  -_gcsg 18817  SymGrpcsymg 19228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-efmnd 18746  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-symg 19229

This theorem is referenced by:  cycpmconjs  32302  cyc3conja  32303