Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgsubg 32686
Description: The value of the group subtraction operation of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsubg.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgsubg.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgsubg ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑌))

Proof of Theorem symgsubg
StepHypRef Expression
1 symgsubg.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2731 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2731 . . 3 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4 symgsubg.m . . 3 = (-g𝐺)
51, 2, 3, 4grpsubval 18913 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
6 symgsubg.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
76, 1, 3symginv 19318 . . . 4 (𝑌𝐵 → ((invg𝐺)‘𝑌) = 𝑌)
87adantl 481 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) = 𝑌)
98oveq2d 7428 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = (𝑋(+g𝐺)𝑌))
106, 1elbasfv 17157 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝐴 ∈ V)
116symggrp 19316 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝑋𝐵𝐺 ∈ Grp)
131, 3grpinvcl 18915 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
1412, 13sylan 579 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
158, 14eqeltrrd 2833 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
166, 1, 2symgov 19299 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝐺)𝑌) = (𝑋𝑌))
1715, 16syldan 590 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝐺)𝑌) = (𝑋𝑌))
185, 9, 173eqtrd 2775 1 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  ccnv 5675  ccom 5680  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  Grpcgrp 18861  invgcminusg 18862  -gcsg 18863  SymGrpcsymg 19282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-tset 17223  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-symg 19283
This theorem is referenced by:  cycpmconjs  32753  cyc3conja  32754
  Copyright terms: Public domain W3C validator