Theorem symgsubg 32119

Description: The value of the group subtraction operation of the symmetric group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsubg.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgsubg.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgsubg	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))

Proof of Theorem symgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgsubg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		symgsubg.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 18845	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
6		symgsubg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
7	6, 1, 3	symginv 19234	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = ◡𝑌)
8	7	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = ◡𝑌)
9	8	oveq2d 7409	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝐺)◡𝑌))
10	6, 1	elbasfv 17132	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
11	6	symggrp 19232	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ Grp)
13	1, 3	grpinvcl 18847	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
14	12, 13	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	8, 14	eqeltrrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ◡𝑌 ∈ 𝐵)
16	6, 1, 2	symgov 19215	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ◡𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)◡𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))
17	15, 16	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)◡𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))
18	5, 9, 17	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 ∘ ◡𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473  ^◡ccnv 5668   ∘ ccom 5673  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  +_gcplusg 17179  Grpcgrp 18794  inv_gcminusg 18795  -_gcsg 18796  SymGrpcsymg 19198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-tset 17198  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-efmnd 18725  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-symg 19199

This theorem is referenced by:  cycpmconjs  32186  cyc3conja  32187