Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pr2eldif1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2eldif1 41768
Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is an element of the difference of the pair and the singleton of the other part. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
pr2eldif1 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o𝐴 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem pr2eldif1
StepHypRef Expression
1 pren2 41767 . 2 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵))
2 prid1g 4719 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
323ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
4 nelsn 4624 . . . 4 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ {𝐵})
543ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ {𝐵})
63, 5eldifd 3919 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐵}))
71, 6sylbi 216 1 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o𝐴 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1087  wcel 2106  wne 2941  Vcvv 3443  cdif 3905  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103  2oc2o 8402  cen 8876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-1o 8408  df-2o 8409  df-en 8880
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator