Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pr2eldif1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2eldif1 43049
Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is an element of the difference of the pair and the singleton of the other part. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
pr2eldif1 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o𝐴 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem pr2eldif1
StepHypRef Expression
1 pren2 43048 . 2 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵))
2 prid1g 4760 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
323ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
4 nelsn 4664 . . . 4 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ {𝐵})
543ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ {𝐵})
63, 5eldifd 3950 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐵}))
71, 6sylbi 216 1 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o𝐴 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1084  wcel 2098  wne 2930  Vcvv 3463  cdif 3936  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143  2oc2o 8479  cen 8959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1o 8485  df-2o 8486  df-en 8963
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator