MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reldv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reldv 25387
Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
reldv Rel (𝑆 D 𝐹)

Proof of Theorem reldv
Dummy variables 𝑓 𝑠 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 5695 . . . . . . . 8 Rel ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
21rgenw 3066 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)Rel ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
3 reliun 5817 . . . . . . 7 (Rel βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)Rel ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
42, 3mpbir 230 . . . . . 6 Rel βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
5 df-rel 5684 . . . . . 6 (Rel βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (V Γ— V))
64, 5mpbi 229 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (V Γ— V)
76rgenw 3066 . . . 4 βˆ€π‘“ ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠)βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (V Γ— V)
87rgenw 3066 . . 3 βˆ€π‘  ∈ 𝒫 β„‚βˆ€π‘“ ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠)βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (V Γ— V)
9 df-dv 25384 . . . 4 D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
109ovmptss 8079 . . 3 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 β„‚βˆ€π‘“ ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠)βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (V Γ— V) β†’ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (V Γ— V))
118, 10ax-mp 5 . 2 (𝑆 D 𝐹) βŠ† (V Γ— V)
12 df-rel 5684 . 2 (Rel (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (V Γ— V))
1311, 12mpbir 230 1 Rel (𝑆 D 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ ciun 4998   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  Rel wrel 5682  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521   limβ„‚ climc 25379   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  perfdvf  25420  dvres  25428  dvres3  25430  dvres3a  25431  dvidlem  25432  dvmulbr  25456  dvaddf  25459  dvmulf  25460  dvcobr  25463  dvcof  25465  dvcnv  25494  gg-dvmulbr  35175  gg-dvcobr  35176
  Copyright terms: Public domain W3C validator