Users' Mathboxes Mathbox for Gino Giotto < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gg-dvmulbr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gg-dvmulbr 35164
Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmul 25450. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11187. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gg-dvadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
gg-dvadd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
gg-dvadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
gg-dvadd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑆)
gg-dvaddbr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
gg-dvadd.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
gg-dvadd.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝑉)
gg-dvadd.bf (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾)
gg-dvadd.bg (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿)
gg-dvadd.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
gg-dvmulbr (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))))
Proof of Theorem gg-dvmulbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑒 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gg-dvadd.bf . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
3 gg-dvadd.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
5 gg-dvaddbr.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 gg-dvadd.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
7 gg-dvadd.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 25407 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
91, 8mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
109simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹))
11 gg-dvadd.bg . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
13 gg-dvadd.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
14 gg-dvadd.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑆)
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 25407 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
1611, 15mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
1716simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ))
1810, 17elind 4194 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
193cnfldtopon 24291 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
20 resttopon 22657 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
2119, 5, 20sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
22 topontop 22407 . . . . 5 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
2321, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
24 toponuni 22408 . . . . . 6 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
2521, 24syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
267, 25sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
2714, 25sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
28 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)
2928ntrin 22557 . . . 4 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
3023, 26, 27, 29syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
3118, 30eleqtrrd 2837 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
326adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
33 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋
34 eldifi 4126 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
3534adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
3633, 35sselid 3980 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
3732, 36ffvelcdmd 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
385, 6, 7dvbss 25410 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑋)
39 reldv 25379 . . . . . . . . . . 11 Rel (𝑆 D 𝐹)
40 releldm 5942 . . . . . . . . . . 11 ((Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
4139, 1, 40sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
4238, 41sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
436, 42ffvelcdmd 7085 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4443adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4537, 44subcld 11568 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
467, 5sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4746adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4847, 36sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
4946, 42sseldd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5049adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5148, 50subcld 11568 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
52 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
5352adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
5448, 50, 53subne0d 11577 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
5545, 51, 54divcld 11987 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
5613adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
57 inss2 4229 . . . . . . 7 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ
5857, 35sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
5956, 58ffvelcdmd 7085 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
6055, 59mulcld 11231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
61 ssdif 4139 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
6257, 61mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
6362sselda 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
6414, 5sstrd 3992 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
655, 13, 14dvbss 25410 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) βŠ† π‘Œ)
66 reldv 25379 . . . . . . . . 9 Rel (𝑆 D 𝐺)
67 releldm 5942 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝑆 D 𝐺) ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
6866, 11, 67sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
6965, 68sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
7013, 64, 69dvlem 25405 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
7163, 70syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
7271, 44mulcld 11231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
73 ssidd 4005 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
74 txtopon 23087 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
7519, 19, 74mp2an 691 . . . . 5 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
7675toponrestid 22415 . . . 4 (𝐽 Γ—t 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) β†Ύt (β„‚ Γ— β„‚))
779simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
786, 46, 42dvlem 25405 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
7978fmpttd 7112 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))):(𝑋 βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
80 ssdif 4139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 βˆ– {𝐢}))
8133, 80mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 βˆ– {𝐢}))
8246ssdifssd 4142 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
83 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))
8433, 7sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑆)
8584, 25sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
86 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
8785, 86unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
88 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)))
9028ntrss 22551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
9123, 87, 89, 90syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
92 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
932, 3, 92, 5, 6, 7eldv 25407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
941, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
9594simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹))
96 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
972, 3, 96, 5, 13, 14eldv 25407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
9811, 97mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
9998simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ))
10095, 99elind 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
101100, 30eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
10291, 101sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
103102, 42elind 4194 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
10433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋)
105 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋)
10628, 105restntr 22678 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
10723, 26, 104, 106syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
1083cnfldtop 24292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐽 ∈ Top
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
110 cnex 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„‚ ∈ V
111 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
1125, 110, 111sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
113 restabs 22661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
114109, 7, 112, 113syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
115114fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋)) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋)))
116115fveq1d 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
117107, 116eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
118103, 117eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
119 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 βˆͺ {𝐢})
12042snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† 𝑋)
121 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐢} βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
122120, 121sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
123119, 122eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
124123oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
125124fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋)))
126 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢})
12742, 69elind 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
128127snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ))
129 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐢} βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
130128, 129sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
131126, 130eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
132125, 131fveq12d 6896 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
133118, 132eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))
13479, 81, 82, 3, 83, 133limcres 25395 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
13581resmptd 6039 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
136135oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
137134, 136eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
13877, 137eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
139 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
140139, 3gg-dvcnp2 35163 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑆) ∧ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
1415, 13, 14, 68, 140syl31anc 1374 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
1423, 139cnplimc 25396 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
14364, 69, 142syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
144141, 143mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢)))
145144simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))
146 difss 4131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ)
147146, 57sstri 3991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ
148147a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ)
149 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢}))
150 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
15185, 150unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
152 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)))
15428ntrss 22551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
15523, 151, 153, 154syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
156155, 101sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
157156, 69elind 4194 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
15857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
159 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ)
16028, 159restntr 22678 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
16123, 27, 158, 160syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
162 restabs 22661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
163109, 14, 112, 162syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
164163fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ)) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
165164fveq1d 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
166161, 165eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
167157, 166eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
16869snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† π‘Œ)
169 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐢} βŠ† π‘Œ ↔ (π‘Œ βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
170168, 169sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
171170oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
172171fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢}))) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
173172, 131fveq12d 6896 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
174167, 173eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))
17513, 148, 64, 3, 149, 174limcres 25395 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = (𝐺 limβ„‚ 𝐢))
17613, 148feqresmpt 6959 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
177176oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
178175, 177eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
179145, 178eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
1803mpomulcn 35151 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1815, 6, 7dvcl 25408 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1821, 181mpdan 686 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
18313, 69ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
184182, 183opelxpd 5714 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ⟨𝐾, (πΊβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
18575toponunii 22410 . . . . . . . . 9 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
186185cncnpi 22774 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, (πΊβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, (πΊβ€˜πΆ)⟩))
187180, 184, 186sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, (πΊβ€˜πΆ)⟩))
18855, 59, 73, 73, 3, 76, 138, 179, 187limccnp2 25401 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐢))
189 df-mpt 5232 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))}
190189oveq1i 7416 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐢) = ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))} limβ„‚ 𝐢)
191188, 190eleqtrdi 2844 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜πΆ)) ∈ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))} limβ„‚ 𝐢))
192 ovmul 35149 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜πΆ)) = (𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)))
193182, 183, 192syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜πΆ)) = (𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)))
194 ovmul 35149 . . . . . . . . . . 11 (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
19555, 59, 194syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
196195eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)) ↔ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
197196pm5.32da 580 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§))) ↔ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))))
198197opabbidv 5214 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))})
199 df-mpt 5232 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))}
200198, 199eqtr4di 2791 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))} = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
201200oveq1d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))} limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐢))
202191, 193, 2013eltr3d 2848 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐢))
20316simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
20470fmpttd 7112 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))):(π‘Œ βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
20564ssdifssd 4142 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
206 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))
207 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (π‘Œ βˆͺ {𝐢})
208207, 170eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
209208oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
210209fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
211210, 131fveq12d 6896 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
212167, 211eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))
213204, 62, 205, 3, 206, 212limcres 25395 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
21462resmptd 6039 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
215214oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
216213, 215eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
217203, 216eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
21884, 5sstrd 3992 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† β„‚)
219 cncfmptc 24420 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
22043, 218, 73, 219syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
221 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐢 β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
222220, 127, 221cnmptlimc 25399 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
22343adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
224223fmpttd 7112 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)):(𝑋 ∩ π‘Œ)βŸΆβ„‚)
225224limcdif 25385 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢) = (((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢))
226 resmpt 6036 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)))
227146, 226mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)))
228227oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
229225, 228eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
230222, 229eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
2315, 13, 14dvcl 25408 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
23211, 231mpdan 686 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
233232, 43opelxpd 5714 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ⟨𝐿, (πΉβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
234185cncnpi 22774 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐿, (πΉβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΏ, (πΉβ€˜πΆ)⟩))
235180, 233, 234sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΏ, (πΉβ€˜πΆ)⟩))
23671, 44, 73, 73, 3, 76, 217, 230, 235limccnp2 25401 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ))) limβ„‚ 𝐢))
237 df-mpt 5232 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))}
238237oveq1i 7416 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ))) limβ„‚ 𝐢) = ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))} limβ„‚ 𝐢)
239236, 238eleqtrdi 2844 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐿(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) ∈ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))} limβ„‚ 𝐢))
240 ovmul 35149 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ (𝐿(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) = (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ)))
241232, 43, 240syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐿(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) = (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ)))
24242adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
24332, 242ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
244 ovmul 35149 . . . . . . . . . . 11 (((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))
24571, 243, 244syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))
246245eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) ↔ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))))
247246pm5.32da 580 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ))) ↔ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))))
248247opabbidv 5214 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))})
249 df-mpt 5232 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))}
250248, 249eqtr4di 2791 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))} = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))))
251250oveq1d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))} limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) limβ„‚ 𝐢))
252239, 241, 2513eltr3d 2848 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) limβ„‚ 𝐢))
2533addcn 24373 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
254182, 183mulcld 11231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
255232, 43mulcld 11231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
256254, 255opelxpd 5714 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
257185cncnpi 22774 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ + ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩))
258253, 256, 257sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ + ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩))
25960, 72, 73, 73, 3, 76, 202, 252, 258limccnp2 25401 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))) limβ„‚ 𝐢))
26037, 243subcld 11568 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
261260, 59mulcld 11231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
26269adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
26356, 262ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
26459, 263subcld 11568 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
265264, 243mulcld 11231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
26647, 242sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
26748, 266subcld 11568 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
268261, 265, 267, 54divdird 12025 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
26937, 59mulcld 11231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
270243, 59mulcld 11231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
271243, 263mulcld 11231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
272269, 270, 271npncand 11592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§))) + (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
27337, 243, 59subdird 11668 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
274264, 243mulcomd 11232 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) = ((πΉβ€˜πΆ) Β· ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
275243, 59, 263subdid 11667 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
276274, 275eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
277273, 276oveq12d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) = ((((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§))) + (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))))
2786ffnd 6716 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
279278adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
28013ffnd 6716 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
281280adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
282 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑋 ∈ V)
28346, 110, 282sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
284283adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑋 ∈ V)
285 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ π‘Œ ∈ V)
28664, 110, 285sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
287286adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ π‘Œ ∈ V)
288 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∩ π‘Œ) = (𝑋 ∩ π‘Œ)
289 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
290 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
291279, 281, 284, 287, 288, 289, 290ofval 7678 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
29235, 291mpdan 686 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
293 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
294 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜πΆ))
295279, 281, 284, 287, 288, 293, 294ofval 7678 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))
296127, 295mpidan 688 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))
297292, 296oveq12d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
298272, 277, 2973eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) = (((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)))
299298oveq1d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
300260, 59, 267, 54div23d 12024 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
301264, 243, 267, 54div23d 12024 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))
302300, 301oveq12d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))))
303268, 299, 3023eqtr3d 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))))
304303mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))))
305304oveq1d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))) limβ„‚ 𝐢))
306259, 305eleqtrrd 2837 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
307 eqid 2733 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
308 mulcl 11191 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
309308adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
310309, 6, 13, 283, 286, 288off 7685 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):(𝑋 ∩ π‘Œ)βŸΆβ„‚)
3112, 3, 307, 5, 310, 84eldv 25407 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ ((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
31231, 306, 311mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  Rel wrel 5681   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408   ∘f cof 7665  β„‚cc 11105   + caddc 11110   Β· cmul 11112   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868   β†Ύt crest 17363  TopOpenctopn 17364  β„‚fldccnfld 20937  Topctop 22387  TopOnctopon 22404  intcnt 22513   Cn ccn 22720   CnP ccnp 22721   Γ—t ctx 23056  β€“cnβ†’ccncf 24384   limβ„‚ climc 25371   D cdv 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator