MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmulbr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvmulbr 25448
Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmul 25450. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvadd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
dvadd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑆)
dvaddbr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvadd.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
dvadd.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝑉)
dvadd.bf (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvadd.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dvmulbr (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))))
Proof of Theorem dvmulbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
3 dvadd.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
5 dvaddbr.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 dvadd.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvadd.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 25407 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
91, 8mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
109simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹))
11 dvadd.bg . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
13 dvadd.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
14 dvadd.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑆)
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 25407 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
1611, 15mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
1716simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ))
1810, 17elind 4194 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
193cnfldtopon 24291 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
20 resttopon 22657 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
2119, 5, 20sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
22 topontop 22407 . . . . 5 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
2321, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
24 toponuni 22408 . . . . . 6 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
2521, 24syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
267, 25sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
2714, 25sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
28 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)
2928ntrin 22557 . . . 4 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
3023, 26, 27, 29syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
3118, 30eleqtrrd 2837 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
326adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
33 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋
34 eldifi 4126 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
3534adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
3633, 35sselid 3980 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
3732, 36ffvelcdmd 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
385, 6, 7dvbss 25410 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑋)
39 reldv 25379 . . . . . . . . . . 11 Rel (𝑆 D 𝐹)
40 releldm 5942 . . . . . . . . . . 11 ((Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
4139, 1, 40sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
4238, 41sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
436, 42ffvelcdmd 7085 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4443adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4537, 44subcld 11568 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
467, 5sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4746adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4847, 36sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
4946, 42sseldd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5049adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5148, 50subcld 11568 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
52 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
5352adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
5448, 50, 53subne0d 11577 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
5545, 51, 54divcld 11987 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
5613adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
57 inss2 4229 . . . . . . 7 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ
5857, 35sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
5956, 58ffvelcdmd 7085 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
6055, 59mulcld 11231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
61 ssdif 4139 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
6257, 61mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
6362sselda 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
6414, 5sstrd 3992 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
655, 13, 14dvbss 25410 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) βŠ† π‘Œ)
66 reldv 25379 . . . . . . . . 9 Rel (𝑆 D 𝐺)
67 releldm 5942 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝑆 D 𝐺) ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
6866, 11, 67sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
6965, 68sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
7013, 64, 69dvlem 25405 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
7163, 70syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
7271, 44mulcld 11231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
73 ssidd 4005 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
74 txtopon 23087 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
7519, 19, 74mp2an 691 . . . . 5 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
7675toponrestid 22415 . . . 4 (𝐽 Γ—t 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) β†Ύt (β„‚ Γ— β„‚))
779simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
786, 46, 42dvlem 25405 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
7978fmpttd 7112 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))):(𝑋 βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
80 ssdif 4139 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 βˆ– {𝐢}))
8133, 80mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 βˆ– {𝐢}))
8246ssdifssd 4142 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
83 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))
8433, 7sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑆)
8584, 25sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
86 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
8785, 86unssd 4186 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
88 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)))
9028ntrss 22551 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
9123, 87, 89, 90syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
9291, 31sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
9392, 42elind 4194 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
9433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋)
95 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋)
9628, 95restntr 22678 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
9723, 26, 94, 96syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
983cnfldtop 24292 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐽 ∈ Top
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
100 cnex 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ ∈ V
101 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
1025, 100, 101sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
103 restabs 22661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
10499, 7, 102, 103syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
105104fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋)) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋)))
106105fveq1d 6891 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
10797, 106eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
10893, 107eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
109 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 βˆͺ {𝐢})
11042snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† 𝑋)
111 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐢} βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
112110, 111sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
113109, 112eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
114113oveq2d 7422 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
115114fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋)))
116 undif1 4475 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢})
11742, 69elind 4194 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
118117snssd 4812 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ))
119 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐢} βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
120118, 119sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
121116, 120eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
122115, 121fveq12d 6896 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
123108, 122eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))
12479, 81, 82, 3, 83, 123limcres 25395 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
12581resmptd 6039 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
126125oveq1d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
127124, 126eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
12877, 127eleqtrd 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
129 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
130129, 3dvcnp2 25429 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑆) ∧ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
1315, 13, 14, 68, 130syl31anc 1374 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
1323, 129cnplimc 25396 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
13364, 69, 132syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
134131, 133mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢)))
135134simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))
136 difss 4131 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ)
137136, 57sstri 3991 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ
138137a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ)
139 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢}))
140 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
14185, 140unssd 4186 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
142 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)))
14428ntrss 22551 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
14523, 141, 143, 144syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
146145, 31sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
147146, 69elind 4194 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
14857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
149 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ)
15028, 149restntr 22678 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
15123, 27, 148, 150syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
152 restabs 22661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
15399, 14, 102, 152syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
154153fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ)) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
155154fveq1d 6891 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
156151, 155eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
157147, 156eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
15869snssd 4812 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† π‘Œ)
159 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐢} βŠ† π‘Œ ↔ (π‘Œ βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
160158, 159sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
161160oveq2d 7422 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
162161fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢}))) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
163162, 121fveq12d 6896 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
164157, 163eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))
16513, 138, 64, 3, 139, 164limcres 25395 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = (𝐺 limβ„‚ 𝐢))
16613, 138feqresmpt 6959 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
167166oveq1d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
168165, 167eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
169135, 168eleqtrd 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
1703mulcn 24375 . . . . . 6 Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1715, 6, 7dvcl 25408 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1721, 171mpdan 686 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
17313, 69ffvelcdmd 7085 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
174172, 173opelxpd 5714 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨𝐾, (πΊβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
17575toponunii 22410 . . . . . . 7 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
176175cncnpi 22774 . . . . . 6 (( Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, (πΊβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ Β· ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, (πΊβ€˜πΆ)⟩))
177170, 174, 176sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β· ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, (πΊβ€˜πΆ)⟩))
17855, 59, 73, 73, 3, 76, 128, 169, 177limccnp2 25401 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐢))
17916simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
18070fmpttd 7112 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))):(π‘Œ βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
18164ssdifssd 4142 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
182 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))
183 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (π‘Œ βˆͺ {𝐢})
184183, 160eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
185184oveq2d 7422 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
186185fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
187186, 121fveq12d 6896 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
188157, 187eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))
189180, 62, 181, 3, 182, 188limcres 25395 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
19062resmptd 6039 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
191190oveq1d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
192189, 191eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
193179, 192eleqtrd 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
19484, 5sstrd 3992 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† β„‚)
195 cncfmptc 24420 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
19643, 194, 73, 195syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
197 eqidd 2734 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐢 β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
198196, 117, 197cnmptlimc 25399 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
19943adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
200199fmpttd 7112 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)):(𝑋 ∩ π‘Œ)βŸΆβ„‚)
201200limcdif 25385 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢) = (((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢))
202 resmpt 6036 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)))
203136, 202mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)))
204203oveq1d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
205201, 204eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
206198, 205eleqtrd 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
2075, 13, 14dvcl 25408 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
20811, 207mpdan 686 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
209208, 43opelxpd 5714 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨𝐿, (πΉβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
210175cncnpi 22774 . . . . . 6 (( Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐿, (πΉβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ Β· ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΏ, (πΉβ€˜πΆ)⟩))
211170, 209, 210sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β· ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΏ, (πΉβ€˜πΆ)⟩))
21271, 44, 73, 73, 3, 76, 193, 206, 211limccnp2 25401 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) limβ„‚ 𝐢))
2133addcn 24373 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
214172, 173mulcld 11231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
215208, 43mulcld 11231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
216214, 215opelxpd 5714 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
217175cncnpi 22774 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ + ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩))
218213, 216, 217sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ + ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩))
21960, 72, 73, 73, 3, 76, 178, 212, 218limccnp2 25401 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))) limβ„‚ 𝐢))
22042adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
22132, 220ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
22237, 221subcld 11568 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
223222, 59mulcld 11231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
22469adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
22556, 224ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
22659, 225subcld 11568 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
227226, 221mulcld 11231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
22847, 220sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
22948, 228subcld 11568 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
230223, 227, 229, 54divdird 12025 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
23137, 59mulcld 11231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
232221, 59mulcld 11231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
233221, 225mulcld 11231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
234231, 232, 233npncand 11592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§))) + (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
23537, 221, 59subdird 11668 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
236226, 221mulcomd 11232 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) = ((πΉβ€˜πΆ) Β· ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
237221, 59, 225subdid 11667 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
238236, 237eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
239235, 238oveq12d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) = ((((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§))) + (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))))
2406ffnd 6716 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
241240adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
24213ffnd 6716 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
243242adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
244 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑋 ∈ V)
24546, 100, 244sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
246245adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑋 ∈ V)
247 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ π‘Œ ∈ V)
24864, 100, 247sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
249248adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ π‘Œ ∈ V)
250 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∩ π‘Œ) = (𝑋 ∩ π‘Œ)
251 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
252 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
253241, 243, 246, 249, 250, 251, 252ofval 7678 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
25435, 253mpdan 686 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
255 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
256 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜πΆ))
257241, 243, 246, 249, 250, 255, 256ofval 7678 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))
258117, 257mpidan 688 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))
259254, 258oveq12d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
260234, 239, 2593eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) = (((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)))
261260oveq1d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
262222, 59, 229, 54div23d 12024 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
263226, 221, 229, 54div23d 12024 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))
264262, 263oveq12d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))))
265230, 261, 2643eqtr3d 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))))
266265mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))))
267266oveq1d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))) limβ„‚ 𝐢))
268219, 267eleqtrrd 2837 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
269 eqid 2733 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
270 mulcl 11191 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
271270adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
272271, 6, 13, 245, 248, 250off 7685 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):(𝑋 ∩ π‘Œ)βŸΆβ„‚)
2732, 3, 269, 5, 272, 84eldv 25407 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ ((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
27431, 268, 273mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  Rel wrel 5681   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∘f cof 7665  β„‚cc 11105   + caddc 11110   Β· cmul 11112   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868   β†Ύt crest 17363  TopOpenctopn 17364  β„‚fldccnfld 20937  Topctop 22387  TopOnctopon 22404  intcnt 22513   Cn ccn 22720   CnP ccnp 22721   Γ—t ctx 23056  β€“cnβ†’ccncf 24384   limβ„‚ climc 25371   D cdv 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376
This theorem is referenced by:  dvmul  25450  dvmulf  25452  dvef  25489
  Copyright terms: Public domain W3C validator