MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmulbr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvmulbr 25790
Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmul 25793. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11196 and remove unnecessary hypotheses. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvadd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
dvadd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑆)
dvaddbr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvadd.bf (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvadd.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dvmulbr (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))))
Proof of Theorem dvmulbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑒 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
3 dvadd.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
5 dvaddbr.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 dvadd.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvadd.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 25748 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
91, 8mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
109simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹))
11 dvadd.bg . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
13 dvadd.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
14 dvadd.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑆)
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 25748 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
1611, 15mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
1716simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ))
1810, 17elind 4194 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
193cnfldtopon 24620 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
20 resttopon 22986 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
2119, 5, 20sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
22 topontop 22736 . . . . 5 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
2321, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
24 toponuni 22737 . . . . . 6 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
2521, 24syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
267, 25sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
2714, 25sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
28 eqid 2731 . . . . 5 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)
2928ntrin 22886 . . . 4 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
3023, 26, 27, 29syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
3118, 30eleqtrrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
326adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
33 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋
34 eldifi 4126 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
3633, 35sselid 3980 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
3732, 36ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
385, 6, 7dvbss 25751 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑋)
39 reldv 25720 . . . . . . . . . . 11 Rel (𝑆 D 𝐹)
40 releldm 5943 . . . . . . . . . . 11 ((Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
4139, 1, 40sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
4238, 41sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
436, 42ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4537, 44subcld 11578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
467, 5sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4746adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
4847, 36sseldd 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
4946, 42sseldd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5049adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
5148, 50subcld 11578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
52 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
5352adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
5448, 50, 53subne0d 11587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
5545, 51, 54divcld 11997 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
5613adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
57 inss2 4229 . . . . . . 7 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ
5857, 35sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
5956, 58ffvelcdmd 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
6055, 59mulcld 11241 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
61 ssdif 4139 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
6257, 61mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
6362sselda 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
6414, 5sstrd 3992 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
655, 13, 14dvbss 25751 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) βŠ† π‘Œ)
66 reldv 25720 . . . . . . . . 9 Rel (𝑆 D 𝐺)
67 releldm 5943 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝑆 D 𝐺) ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
6866, 11, 67sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
6965, 68sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
7013, 64, 69dvlem 25746 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
7163, 70syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
7271, 44mulcld 11241 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
73 ssidd 4005 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
74 txtopon 23416 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
7519, 19, 74mp2an 689 . . . . 5 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
7675toponrestid 22744 . . . 4 (𝐽 Γ—t 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) β†Ύt (β„‚ Γ— β„‚))
779simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
786, 46, 42dvlem 25746 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
7978fmpttd 7116 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))):(𝑋 βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
80 ssdif 4139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 βˆ– {𝐢}))
8133, 80mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 βˆ– {𝐢}))
8246ssdifssd 4142 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
83 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))
8433, 7sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑆)
8584, 25sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
86 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
8785, 86unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
88 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)))
9028ntrss 22880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
9123, 87, 89, 90syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
92 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
932, 3, 92, 5, 6, 7eldv 25748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
941, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
9594simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹))
96 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = (π‘₯ ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢)))
972, 3, 96, 5, 13, 14eldv 25748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
9811, 97mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (π‘₯ βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
9998simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ))
10095, 99elind 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
101100, 30eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
10291, 101sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
103102, 42elind 4194 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
10433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋)
105 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋)
10628, 105restntr 23007 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
10723, 26, 104, 106syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
1083cnfldtop 24621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐽 ∈ Top
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
110 cnex 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„‚ ∈ V
111 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
1125, 110, 111sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
113 restabs 22990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
114109, 7, 112, 113syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
115114fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋)) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋)))
116115fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
117107, 116eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
118103, 117eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
119 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 βˆͺ {𝐢})
12042snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† 𝑋)
121 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝐢} βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
122120, 121sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
123119, 122eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
124123oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
125124fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋)))
126 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢})
12742, 69elind 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
128127snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ))
129 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐢} βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
130128, 129sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
131126, 130eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
132125, 131fveq12d 6898 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
133118, 132eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))
13479, 81, 82, 3, 83, 133limcres 25736 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
13581resmptd 6040 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
136135oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
137134, 136eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
13877, 137eleqtrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
139 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
140139, 3dvcnp2 25770 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑆) ∧ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
1415, 13, 14, 68, 140syl31anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ))
1423, 139cnplimc 25737 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
14364, 69, 142syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) CnP 𝐽)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))))
144141, 143mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢)))
145144simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐢))
146 difss 4131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ)
147146, 57sstri 3991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ
148147a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ)
149 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢}))
150 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
15185, 150unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
152 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)))
15428ntrss 22880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
15523, 151, 153, 154syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
156155, 101sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
157156, 69elind 4194 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
15857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
159 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ)
16028, 159restntr 23007 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
16123, 27, 158, 160syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
162 restabs 22990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
163109, 14, 112, 162syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
164163fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ)) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
165164fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
166161, 165eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
167157, 166eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
16869snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† π‘Œ)
169 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐢} βŠ† π‘Œ ↔ (π‘Œ βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
170168, 169sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
171170oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
172171fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢}))) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
173172, 131fveq12d 6898 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
174167, 173eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt (π‘Œ βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))
17513, 148, 64, 3, 149, 174limcres 25736 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = (𝐺 limβ„‚ 𝐢))
17613, 148feqresmpt 6961 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
177176oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
178175, 177eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
179145, 178eleqtrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) limβ„‚ 𝐢))
1803mpomulcn 24706 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1815, 6, 7dvcl 25749 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1821, 181mpdan 684 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
18313, 69ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
184182, 183opelxpd 5715 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ⟨𝐾, (πΊβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
18575toponunii 22739 . . . . . . . . 9 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
186185cncnpi 23103 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, (πΊβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, (πΊβ€˜πΆ)⟩))
187180, 184, 186sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, (πΊβ€˜πΆ)⟩))
18855, 59, 73, 73, 3, 76, 138, 179, 187limccnp2 25742 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐢))
189 df-mpt 5232 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))}
190189oveq1i 7422 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐢) = ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))} limβ„‚ 𝐢)
191188, 190eleqtrdi 2842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜πΆ)) ∈ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))} limβ„‚ 𝐢))
192 ovmpot 7572 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜πΆ)) = (𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)))
193182, 183, 192syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜πΆ)) = (𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)))
194 ovmpot 7572 . . . . . . . . . . 11 (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
19555, 59, 194syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
196195eqeq2d 2742 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)) ↔ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
197196pm5.32da 578 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§))) ↔ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))))
198197opabbidv 5214 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))})
199 df-mpt 5232 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))}
200198, 199eqtr4di 2789 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))} = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
201200oveq1d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΊβ€˜π‘§)))} limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐢))
202191, 193, 2013eltr3d 2846 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§))) limβ„‚ 𝐢))
20316simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
20470fmpttd 7116 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))):(π‘Œ βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
20564ssdifssd 4142 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
206 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))
207 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (π‘Œ βˆͺ {𝐢})
208207, 170eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
209208oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
210209fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
211210, 131fveq12d 6898 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
212167, 211eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))
213204, 62, 205, 3, 206, 212limcres 25736 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
21462resmptd 6040 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
215214oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
216213, 215eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
217203, 216eleqtrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
21884, 5sstrd 3992 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† β„‚)
219 cncfmptc 24753 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
22043, 218, 73, 219syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ)–cnβ†’β„‚))
221 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐢 β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
222220, 127, 221cnmptlimc 25740 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
22343adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
224223fmpttd 7116 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)):(𝑋 ∩ π‘Œ)βŸΆβ„‚)
225224limcdif 25726 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢) = (((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢))
226 resmpt 6037 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)))
227146, 226mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)))
228227oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
229225, 228eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
230222, 229eleqtrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (πΉβ€˜πΆ)) limβ„‚ 𝐢))
2315, 13, 14dvcl 25749 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
23211, 231mpdan 684 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
233232, 43opelxpd 5715 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ⟨𝐿, (πΉβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
234185cncnpi 23103 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐿, (πΉβ€˜πΆ)⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΏ, (πΉβ€˜πΆ)⟩))
235180, 233, 234sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΏ, (πΉβ€˜πΆ)⟩))
23671, 44, 73, 73, 3, 76, 217, 230, 235limccnp2 25742 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ))) limβ„‚ 𝐢))
237 df-mpt 5232 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))}
238237oveq1i 7422 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ))) limβ„‚ 𝐢) = ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))} limβ„‚ 𝐢)
239236, 238eleqtrdi 2842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐿(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) ∈ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))} limβ„‚ 𝐢))
240 ovmpot 7572 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ (𝐿(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) = (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ)))
241232, 43, 240syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐿(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) = (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ)))
24242adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
24332, 242ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
244 ovmpot 7572 . . . . . . . . . . 11 (((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))
24571, 243, 244syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))
246245eqeq2d 2742 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)) ↔ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))))
247246pm5.32da 578 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ))) ↔ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))))
248247opabbidv 5214 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))} = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))})
249 df-mpt 5232 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) = {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))}
250248, 249eqtr4di 2789 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))} = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))))
251250oveq1d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∣ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ∧ 𝑀 = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))(πΉβ€˜πΆ)))} limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) limβ„‚ 𝐢))
252239, 241, 2513eltr3d 2846 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) limβ„‚ 𝐢))
2533addcn 24702 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
254182, 183mulcld 11241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
255232, 43mulcld 11241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
256254, 255opelxpd 5715 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
257185cncnpi 23103 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ + ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩))
258253, 256, 257sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ + ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨(𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)), (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))⟩))
25960, 72, 73, 73, 3, 76, 202, 252, 258limccnp2 25742 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))) limβ„‚ 𝐢))
26037, 243subcld 11578 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
261260, 59mulcld 11241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
26269adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
26356, 262ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
26459, 263subcld 11578 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
265264, 243mulcld 11241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
26647, 242sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
26748, 266subcld 11578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
268261, 265, 267, 54divdird 12035 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
26937, 59mulcld 11241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
270243, 59mulcld 11241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
271243, 263mulcld 11241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
272269, 270, 271npncand 11602 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§))) + (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))) = (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
27337, 243, 59subdird 11678 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
274264, 243mulcomd 11242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) = ((πΉβ€˜πΆ) Β· ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
275243, 59, 263subdid 11677 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) = (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
276274, 275eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
277273, 276oveq12d 7430 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) = ((((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§))) + (((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))))
2786ffnd 6718 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
279278adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
28013ffnd 6718 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
281280adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
282 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑋 ∈ V)
28346, 110, 282sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
284283adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑋 ∈ V)
285 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ π‘Œ ∈ V)
28664, 110, 285sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
287286adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ π‘Œ ∈ V)
288 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∩ π‘Œ) = (𝑋 ∩ π‘Œ)
289 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
290 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
291279, 281, 284, 287, 288, 289, 290ofval 7685 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
29235, 291mpdan 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
293 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
294 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜πΆ))
295279, 281, 284, 287, 288, 293, 294ofval 7685 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))
296127, 295mpidan 686 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ)))
297292, 296oveq12d 7430 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) Β· (πΊβ€˜πΆ))))
298272, 277, 2973eqtr4d 2781 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) = (((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)))
299298oveq1d 7427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
300260, 59, 267, 54div23d 12034 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
301264, 243, 267, 54div23d 12034 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))
302300, 301oveq12d 7430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) Β· (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))))
303268, 299, 3023eqtr3d 2779 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ))))
304303mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))))
305304oveq1d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) + ((((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) Β· (πΉβ€˜πΆ)))) limβ„‚ 𝐢))
306259, 305eleqtrrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
307 eqid 2731 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
308 mulcl 11200 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
309308adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
310309, 6, 13, 283, 286, 288off 7692 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):(𝑋 ∩ π‘Œ)βŸΆβ„‚)
3112, 3, 307, 5, 310, 84eldv 25748 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ ((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f Β· 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
31231, 306, 311mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((𝐾 Β· (πΊβ€˜πΆ)) + (𝐿 Β· (πΉβ€˜πΆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  Rel wrel 5681   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ∘f cof 7672  β„‚cc 11114   + caddc 11119   Β· cmul 11121   βˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21234  Topctop 22716  TopOnctopon 22733  intcnt 22842   Cn ccn 23049   CnP ccnp 23050   Γ—t ctx 23385  β€“cnβ†’ccncf 24717   limβ„‚ climc 25712   D cdv 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717
This theorem is referenced by:  dvmul  25793  dvmulf  25795  dvef  25833
  Copyright terms: Public domain W3C validator