Theorem limcvallem 26184

Description: Lemma for ellimc 26186. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcval.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcval.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcvallem.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
limcvallem	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐾   𝑧,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem limcvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4488	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)) = 𝐶)
2	1	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
3		limcval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
4		limcval.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopon 25094	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
6		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
7		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	snssd 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
9	6, 8	unssd 4138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
10		resttopon 23472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
11	5, 9, 10	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
12	3, 11	eqeltrid 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
13	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
15		cnpf2 23561	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐺:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐺:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
17		limcvallem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
18	17	fmpt 7108	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ ↔ 𝐺:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
19	16, 18	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
20		ssun2 4125	. . . 4 ⊢ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})
21		snssg 4744	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})))
22	7, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})))
23	20, 22	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
24	2, 19, 23	rspcdva 3578	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	ex 418	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   ↾_t crest 17584  TopOpenctopn 17585  ℂ_fldccnfld 21671  TopOnctopon 23221   CnP ccnp 23536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-rest 17586  df-topn 17587  df-topgen 17607  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cnp 23539  df-xms 24632  df-ms 24633

This theorem is used by:  limcfval  26185  ellimc  26186