MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcvallem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limcvallem 25621
Description: Lemma for ellimc 25623. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcval.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
limcval.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
limcvallem.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))
Assertion
Ref Expression
limcvallem ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑧,𝐹   𝑧,𝐾   𝑧,𝐢
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧)   𝐽(𝑧)
Proof of Theorem limcvallem
StepHypRef Expression
1 iftrue 4535 . . . 4 (𝑧 = 𝐡 β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) = 𝐢)
21eleq1d 2817 . . 3 (𝑧 = 𝐡 β†’ (if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚ ↔ 𝐢 ∈ β„‚))
3 limcval.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
4 limcval.k . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54cnfldtopon 24520 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
6 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
7 simpl3 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
87snssd 4813 . . . . . . . 8 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
96, 8unssd 4187 . . . . . . 7 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
10 resttopon 22886 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
115, 9, 10sylancr 586 . . . . . 6 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
123, 11eqeltrid 2836 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
135a1i 11 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
14 simpr 484 . . . . 5 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅))
15 cnpf2 22975 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐺:(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
1612, 13, 14, 15syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐺:(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
17 limcvallem.g . . . . 5 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))
1817fmpt 7112 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚ ↔ 𝐺:(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
1916, 18sylibr 233 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
20 ssun2 4174 . . . 4 {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})
21 snssg 4788 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
227, 21syl 17 . . . 4 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2320, 22mpbiri 257 . . 3 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
242, 19, 23rspcdva 3614 . 2 (((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2524ex 412 1 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  β„‚fldccnfld 21145  TopOnctopon 22633   CnP ccnp 22950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cnp 22953  df-xms 24047  df-ms 24048
This theorem is referenced by:  limcfval  25622  ellimc  25623
  Copyright terms: Public domain W3C validator