Theorem limcvallem 24034

Description: Lemma for ellimc 24036. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcval.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcval.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcvallem.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
limcvallem	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐾   𝑧,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem limcvallem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4312	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)) = 𝐶)
2	1	eleq1d 2891	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
3		limcval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
4		limcval.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopon 22956	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
6		simpl2 1250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
7		simpl3 1252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	snssd 4558	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
9	6, 8	unssd 4016	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
10		resttopon 21336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
11	5, 9, 10	sylancr 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
12	3, 11	syl5eqel 2910	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
13	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
14		simpr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
15		cnpf2 21425	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐺:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1496	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐺:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
17		limcvallem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
18	17	fmpt 6629	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ ↔ 𝐺:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
19	16, 18	sylibr 226	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
20		ssun2 4004	. . . 4 ⊢ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})
21		snssg 4534	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})))
22	7, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → (𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})))
23	20, 22	mpbiri 250	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
24	2, 19, 23	rspcdva 3532	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	ex 403	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117   ∪ cun 3796   ⊆ wss 3798  ifcif 4306  {csn 4397   ↦ cmpt 4952  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250   ↾_t crest 16434  TopOpenctopn 16435  ℂ_fldccnfld 20106  TopOnctopon 21085   CnP ccnp 21400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-fz 12620  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-rest 16436  df-topn 16437  df-topgen 16457  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cnp 21403  df-xms 22495  df-ms 22496

This theorem is referenced by:  limcfval  24035  ellimc  24036