Theorem dvaddf 25895

Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvaddf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvaddf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)))

Proof of Theorem dvaddf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvaddf.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvaddf.df	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
3		dvbsss 25853	. . . . 5 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
4	2, 3	eqsstrrdi 4004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
5	1, 4	ssexd 5294	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6		dvfg 25857	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
8	2	feq2d 6691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
9	7, 8	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
10	9	ffnd 6706	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
11		dvfg 25857	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
13		dvaddf.dg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
14	13	feq2d 6691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
15	12, 14	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
16	15	ffnd 6706	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
17		dvfg 25857	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))⟶ℂ)
18	1, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))⟶ℂ)
19		recnprss 25855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
21		addcl 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
23		dvaddf.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
24		dvaddf.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
25		inidm 4202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
26	22, 23, 24, 5, 5, 25	off 7687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
27	20, 26, 4	dvbss 25852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)) ⊆ 𝑋)
28	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
29	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
30	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
31	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
32	2	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
33	32	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
34	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
35		ffun 6708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
36		funfvbrb 7040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
37	34, 6, 35, 36	4syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
38	33, 37	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
39	13	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
40	39	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
41		ffun 6708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
42		funfvbrb 7040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
43	34, 11, 41, 42	4syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
44	40, 43	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
45		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
46	28, 29, 30, 29, 31, 38, 44, 45	dvaddbr 25890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
47		reldv 25821	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))
48	47	releldmi 5928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)))
49	46, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)))
50	27, 49	eqelssd 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)) = 𝑋)
51	50	feq2d 6691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
52	18, 51	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
53	52	ffnd 6706	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)) Fn 𝑋)
54		eqidd 2736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
55		eqidd 2736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
56	28, 29, 30, 29, 34, 33, 40	dvadd 25893	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
57	56	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) = ((𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))‘𝑥))
58	5, 10, 16, 53, 54, 55, 57	offveq 7695	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)))
59	58	eqcomd 2741	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  {cpr 4603   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  Fun wfun 6524  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ∘_f cof 7667  ℂcc 11125  ℝcr 11126   + caddc 11130  TopOpenctopn 17433  ℂ_fldccnfld 21313   D cdv 25814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-limc 25817  df-dv 25818

This theorem is referenced by:  dvmptadd  25914