MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvaddf 25087
Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvaddf.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvaddf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)))

Proof of Theorem dvaddf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvaddf.df . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
3 dvbsss 25047 . . . . 5 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
42, 3eqsstrrdi 3980 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
51, 4ssexd 5251 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
6 dvfg 25051 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
82feq2d 6582 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
97, 8mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
109ffnd 6597 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
11 dvfg 25051 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
13 dvaddf.dg . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1413feq2d 6582 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
1512, 14mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
1615ffnd 6597 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
17 dvfg 25051 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ)
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ)
19 recnprss 25049 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
201, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
21 addcl 10937 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2221adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
23 dvaddf.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
24 dvaddf.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
25 inidm 4157 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑋) = 𝑋
2622, 23, 24, 5, 5, 25off 7542 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
2720, 26, 4dvbss 25046 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) ⊆ 𝑋)
2823adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
294adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋𝑆)
3024adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
3120adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
32 fvexd 6783 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
33 fvexd 6783 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V)
342eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥𝑋))
3534biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
361adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
37 ffun 6599 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
38 funfvbrb 6922 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
3936, 6, 37, 384syl 19 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
4035, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
4113eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥𝑋))
4241biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
43 ffun 6599 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
44 funfvbrb 6922 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4536, 11, 43, 444syl 19 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4642, 45mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
47 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4828, 29, 30, 29, 31, 32, 33, 40, 46, 47dvaddbr 25083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
49 reldv 25015 . . . . . . . . 9 Rel (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))
5049releldmi 5854 . . . . . . . 8 (𝑥(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
5148, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
5227, 51eqelssd 3946 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = 𝑋)
5352feq2d 6582 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
5418, 53mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
5554ffnd 6597 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) Fn 𝑋)
56 eqidd 2740 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
57 eqidd 2740 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
5828, 29, 30, 29, 36, 35, 42dvadd 25085 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
5958eqcomd 2745 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) = ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺))‘𝑥))
605, 10, 16, 55, 56, 57, 59offveq 7548 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
6160eqcomd 2745 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  Vcvv 3430  wss 3891  {cpr 4568   class class class wbr 5078  dom cdm 5588  Fun wfun 6424  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  f cof 7522  cc 10853  cr 10854   + caddc 10858  TopOpenctopn 17113  fldccnfld 20578   D cdv 25008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-topgen 17135  df-pt 17136  df-prds 17139  df-xrs 17194  df-qtop 17199  df-imas 17200  df-xps 17202  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-mulg 18682  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-fbas 20575  df-fg 20576  df-cnfld 20579  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cld 22151  df-ntr 22152  df-cls 22153  df-nei 22230  df-lp 22268  df-perf 22269  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-haus 22447  df-tx 22694  df-hmeo 22887  df-fil 22978  df-fm 23070  df-flim 23071  df-flf 23072  df-xms 23454  df-ms 23455  df-tms 23456  df-limc 25011  df-dv 25012
This theorem is referenced by:  dvmptadd  25105
  Copyright terms: Public domain W3C validator