Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvaddf 24542
 Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvaddf.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvaddf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)))

Proof of Theorem dvaddf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvaddf.df . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
3 dvbsss 24503 . . . . 5 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
42, 3eqsstrrdi 4025 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
51, 4ssexd 5231 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
6 dvfg 24507 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
82feq2d 6503 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
97, 8mpbid 234 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
109ffnd 6518 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
11 dvfg 24507 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
13 dvaddf.dg . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1413feq2d 6503 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
1512, 14mpbid 234 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
1615ffnd 6518 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
17 dvfg 24507 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ)
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ)
19 recnprss 24505 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
201, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
21 addcl 10622 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2221adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
23 dvaddf.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
24 dvaddf.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
25 inidm 4198 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑋) = 𝑋
2622, 23, 24, 5, 5, 25off 7427 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
2720, 26, 4dvbss 24502 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) ⊆ 𝑋)
2823adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
294adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋𝑆)
3024adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
3120adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
32 fvexd 6688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
33 fvexd 6688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V)
342eleq2d 2901 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥𝑋))
3534biimpar 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
361adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
37 ffun 6520 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
38 funfvbrb 6824 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
3936, 6, 37, 384syl 19 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
4035, 39mpbid 234 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
4113eleq2d 2901 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥𝑋))
4241biimpar 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
43 ffun 6520 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
44 funfvbrb 6824 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4536, 11, 43, 444syl 19 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4642, 45mpbid 234 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
47 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4828, 29, 30, 29, 31, 32, 33, 40, 46, 47dvaddbr 24538 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
49 reldv 24471 . . . . . . . . 9 Rel (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))
5049releldmi 5821 . . . . . . . 8 (𝑥(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
5148, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
5227, 51eqelssd 3991 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = 𝑋)
5352feq2d 6503 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
5418, 53mpbid 234 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
5554ffnd 6518 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) Fn 𝑋)
56 eqidd 2825 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
57 eqidd 2825 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
5828, 29, 30, 29, 36, 35, 42dvadd 24540 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
5958eqcomd 2830 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) = ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺))‘𝑥))
605, 10, 16, 55, 56, 57, 59offveq 7433 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
6160eqcomd 2830 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939  {cpr 4572   class class class wbr 5069  dom cdm 5558  Fun wfun 6352  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∘f cof 7410  ℂcc 10538  ℝcr 10539   + caddc 10543  TopOpenctopn 16698  ℂfldccnfld 20548   D cdv 24464 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-limc 24467  df-dv 24468 This theorem is referenced by:  dvmptadd  24560
 Copyright terms: Public domain W3C validator