MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvaddf 25980
Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvaddf.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvaddf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)))

Proof of Theorem dvaddf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvaddf.df . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
3 dvbsss 25938 . . . . 5 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
42, 3eqsstrrdi 4028 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
51, 4ssexd 5323 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
6 dvfg 25942 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
82feq2d 6721 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
97, 8mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
109ffnd 6736 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
11 dvfg 25942 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
13 dvaddf.dg . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1413feq2d 6721 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
1512, 14mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
1615ffnd 6736 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
17 dvfg 25942 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ)
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ)
19 recnprss 25940 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
201, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
21 addcl 11238 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2221adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
23 dvaddf.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
24 dvaddf.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
25 inidm 4226 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑋) = 𝑋
2622, 23, 24, 5, 5, 25off 7716 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
2720, 26, 4dvbss 25937 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) ⊆ 𝑋)
2823adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
294adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋𝑆)
3024adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
3120adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
322eleq2d 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥𝑋))
3332biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
341adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
35 ffun 6738 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
36 funfvbrb 7070 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
3734, 6, 35, 364syl 19 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
3833, 37mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
3913eleq2d 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥𝑋))
4039biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
41 ffun 6738 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
42 funfvbrb 7070 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4334, 11, 41, 424syl 19 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4440, 43mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
45 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4628, 29, 30, 29, 31, 38, 44, 45dvaddbr 25975 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
47 reldv 25906 . . . . . . . . 9 Rel (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))
4847releldmi 5958 . . . . . . . 8 (𝑥(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
4946, 48syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
5027, 49eqelssd 4004 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = 𝑋)
5150feq2d 6721 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
5218, 51mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
5352ffnd 6736 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) Fn 𝑋)
54 eqidd 2737 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
55 eqidd 2737 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
5628, 29, 30, 29, 34, 33, 40dvadd 25978 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
5756eqcomd 2742 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) = ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺))‘𝑥))
585, 10, 16, 53, 54, 55, 57offveq 7724 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
5958eqcomd 2742 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  wss 3950  {cpr 4627   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  Fun wfun 6554  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  f cof 7696  cc 11154  cr 11155   + caddc 11159  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21365   D cdv 25899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-limc 25902  df-dv 25903
This theorem is referenced by:  dvmptadd  25999
  Copyright terms: Public domain W3C validator