MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvaddf 25994
Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvaddf.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvaddf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)))

Proof of Theorem dvaddf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvaddf.df . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
3 dvbsss 25952 . . . . 5 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
42, 3eqsstrrdi 4051 . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
51, 4ssexd 5330 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
6 dvfg 25956 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
82feq2d 6723 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
97, 8mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
109ffnd 6738 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
11 dvfg 25956 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
13 dvaddf.dg . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1413feq2d 6723 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
1512, 14mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
1615ffnd 6738 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
17 dvfg 25956 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ)
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ)
19 recnprss 25954 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
201, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
21 addcl 11235 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2221adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
23 dvaddf.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
24 dvaddf.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
25 inidm 4235 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑋) = 𝑋
2622, 23, 24, 5, 5, 25off 7715 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
2720, 26, 4dvbss 25951 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) ⊆ 𝑋)
2823adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
294adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋𝑆)
3024adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
3120adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
322eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥𝑋))
3332biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
341adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
35 ffun 6740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
36 funfvbrb 7071 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
3734, 6, 35, 364syl 19 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
3833, 37mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
3913eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥𝑋))
4039biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
41 ffun 6740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
42 funfvbrb 7071 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4334, 11, 41, 424syl 19 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
4440, 43mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
45 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4628, 29, 30, 29, 31, 38, 44, 45dvaddbr 25989 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
47 reldv 25920 . . . . . . . . 9 Rel (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))
4847releldmi 5962 . . . . . . . 8 (𝑥(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
4946, 48syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
5027, 49eqelssd 4017 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = 𝑋)
5150feq2d 6723 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹f + 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
5218, 51mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
5352ffnd 6738 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) Fn 𝑋)
54 eqidd 2736 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
55 eqidd 2736 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
5628, 29, 30, 29, 34, 33, 40dvadd 25992 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
5756eqcomd 2741 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) = ((𝑆 D (𝐹f + 𝐺))‘𝑥))
585, 10, 16, 53, 54, 55, 57offveq 7723 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)))
5958eqcomd 2741 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹f + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘f + (𝑆 D 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  cr 11152   + caddc 11156  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  dvmptadd  26013
  Copyright terms: Public domain W3C validator