Theorem dvres3 25884

Description: Restriction of a complex differentiable function to the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvres3	⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))

Proof of Theorem dvres3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldv 25841	. . 3 ⊢ Rel (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆))
2		recnprss 25875	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
3	2	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
6		ssidd 3987	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → ℂ ⊆ ℂ)
7		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
8	6, 4, 7	dvbss 25872	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝐴)
9	5, 8	sstrd 3974	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
10	4, 9	fssresd 6755	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (𝐹 ↾ 𝑆):𝑆⟶ℂ)
11		ssidd 3987	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → 𝑆 ⊆ 𝑆)
12	3, 10, 11	dvbss 25872	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → dom (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ⊆ 𝑆)
13		ssdmres 6011	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹) ↔ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) = 𝑆)
14	5, 13	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) = 𝑆)
15	12, 14	sseqtrrd 4001	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → dom (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ⊆ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
16		relssres 6020	. . 3 ⊢ ((Rel (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ∧ dom (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ⊆ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) → ((𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)))
17	1, 15, 16	sylancr 587	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → ((𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)))
18		dvfg 25877	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆))⟶ℂ)
19	18	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆))⟶ℂ)
20	19	ffund 6720	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → Fun (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)))
21		dvres2 25883	. . . 4 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)))
22	6, 4, 7, 3, 21	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)))
23		funssres 6590	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ∧ ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆))) → ((𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
24	20, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → ((𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
25	17, 24	eqtr3d 2771	1 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (𝑆 D (𝐹 ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  {cpr 4608  dom cdm 5665   ↾ cres 5667  Rel wrel 5670  Fun wfun 6535  ⟶wf 6537  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  ℝcr 11136   D cdv 25834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-icc 13376  df-fz 13530  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-starv 17288  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-unif 17296  df-rest 17438  df-topn 17439  df-topgen 17459  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22848  df-topon 22865  df-topsp 22887  df-bases 22900  df-cld 22973  df-ntr 22974  df-cls 22975  df-nei 23052  df-lp 23090  df-perf 23091  df-cnp 23182  df-haus 23269  df-fil 23800  df-fm 23892  df-flim 23893  df-flf 23894  df-xms 24275  df-ms 24276  df-limc 25837  df-dv 25838

This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25887  dvcmul  25917  dvcmulf  25918  itgpowd  26027  efcvx  26429  dvrelog  26615  lhe4.4ex1a  44305  dvsconst  44306  dvsid  44307  dvsef  44308  dvcosre  45884  dvcnre  45888  itgsinexplem1  45926  itgcoscmulx  45941  dirkercncflem2  46076  fourierdlem57  46135  fourierdlem58  46136