MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnv 25994
Description: A weak version of dvcnvre 26037, valid for both real and complex domains but under the hypothesis that the inverse function is already known to be continuous, and the image set is known to be open. A more advanced proof can show that these conditions are unnecessary. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
dvcnv.k 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
dvcnv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcnv.y (𝜑𝑌𝐾)
dvcnv.f (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnv.i (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
dvcnv.d (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvcnv.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcnv (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥𝑌 ↦ (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem dvcnv
StepHypRef Expression
1 dvcnv.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvfg 25920 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
4 recnprss 25918 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 dvcnv.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
7 f1ocnv 6844 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
8 f1of 6832 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
10 dvcnv.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
11 dvbsss 25916 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
1210, 11eqsstrrdi 4034 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑆)
1312, 5sstrd 3989 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
149, 13fssd 6734 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑌⟶ℂ)
15 dvcnv.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
16 dvcnv.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1716cnfldtopon 24784 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
18 resttopon 23150 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1917, 5, 18sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2015, 19eqeltrid 2830 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
21 dvcnv.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝐾)
22 toponss 22914 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝑌𝐾) → 𝑌𝑆)
2320, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑆)
245, 14, 23dvbss 25915 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑌)
25 f1ocnvfv2 7280 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
266, 25sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
271adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2821adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑌𝐾)
296adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
30 dvcnv.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
3130adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
3210adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
33 dvcnv.z . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
3433adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
359ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑋)
3616, 15, 27, 28, 29, 31, 32, 34, 35dvcnvlem 25993 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑥))(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐹𝑥))))
3726, 36eqbrtrrd 5167 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐹𝑥))))
38 reldv 25884 . . . . . . . 8 Rel (𝑆 D 𝐹)
3938releldmi 5944 . . . . . . 7 (𝑥(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐹𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
4037, 39syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
4124, 40eqelssd 4000 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑌)
4241feq2d 6703 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑌⟶ℂ))
433, 42mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑌⟶ℂ)
4443feqmptd 6960 . 2 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥𝑌 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
453adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
4645ffund 6721 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → Fun (𝑆 D 𝐹))
47 funbrfv 6941 . . . 4 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐹𝑥))) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
4846, 37, 47sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐹𝑥))))
4948mpteq2dva 5243 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑌 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) = (𝑥𝑌 ↦ (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
5044, 49eqtrd 2766 1 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥𝑌 ↦ (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐹𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3946  {cpr 4625   class class class wbr 5143  cmpt 5226  ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673  Fun wfun 6537  wf 6539  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7413  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   / cdiv 11909  t crest 17427  TopOpenctopn 17428  fldccnfld 21336  TopOnctopon 22897  cnccncf 24881   D cdv 25877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12516  df-z 12602  df-dec 12721  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13673  df-seq 14013  df-exp 14073  df-hash 14340  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-struct 17141  df-sets 17158  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-ress 17235  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-rest 17429  df-topn 17430  df-0g 17448  df-gsum 17449  df-topgen 17450  df-pt 17451  df-prds 17454  df-xrs 17509  df-qtop 17514  df-imas 17515  df-xps 17517  df-mre 17591  df-mrc 17592  df-acs 17594  df-mgm 18625  df-sgrp 18704  df-mnd 18720  df-submnd 18766  df-mulg 19055  df-cntz 19304  df-cmn 19773  df-psmet 21328  df-xmet 21329  df-met 21330  df-bl 21331  df-mopn 21332  df-fbas 21333  df-fg 21334  df-cnfld 21337  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22934  df-cld 23008  df-ntr 23009  df-cls 23010  df-nei 23087  df-lp 23125  df-perf 23126  df-cn 23216  df-cnp 23217  df-haus 23304  df-tx 23551  df-hmeo 23744  df-fil 23835  df-fm 23927  df-flim 23928  df-flf 23929  df-xms 24311  df-ms 24312  df-tms 24313  df-cncf 24883  df-limc 25880  df-dv 25881
This theorem is referenced by:  dvcnvre  26037  dvlog  26672
  Copyright terms: Public domain W3C validator