MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmulf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvmulf 25451
Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvaddf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvaddf.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvaddf.df (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvmulf (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)))
Proof of Theorem dvmulf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
21adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
3 dvaddf.df . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
4 dvbsss 25410 . . . . . 6 dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆
53, 4eqsstrrdi 4036 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
65adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
7 dvaddf.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
87adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
9 dvaddf.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
109adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
113eleq2d 2819 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
1211biimpar 478 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
13 dvaddf.dg . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1413eleq2d 2819 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
1514biimpar 478 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
162, 6, 8, 6, 10, 12, 15dvmul 25449 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜π‘₯) = ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
1716mpteq2dva 5247 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))))
18 dvfg 25414 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))βŸΆβ„‚)
199, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))βŸΆβ„‚)
20 recnprss 25412 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
22 mulcl 11190 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2322adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
249, 5ssexd 5323 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
25 inidm 4217 . . . . . . . 8 (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
2623, 1, 7, 24, 24, 25off 7684 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
2721, 26, 5dvbss 25409 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) βŠ† 𝑋)
2821adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
29 fvexd 6903 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ V)
30 fvexd 6903 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ V)
31 dvfg 25414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
329, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
34 ffun 6717 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (𝑆 D 𝐹))
35 funfvbrb 7049 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑆 D 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
3712, 36mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))
38 dvfg 25414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
399, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
41 ffun 6717 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (𝑆 D 𝐺))
42 funfvbrb 7049 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑆 D 𝐺) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
4340, 41, 423syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
4415, 43mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯))
45 eqid 2732 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
462, 6, 8, 6, 28, 29, 30, 37, 44, 45dvmulbr 25447 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
47 reldv 25378 . . . . . . . 8 Rel (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))
4847releldmi 5945 . . . . . . 7 (π‘₯(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
4946, 48syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
5027, 49eqelssd 4002 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = 𝑋)
5150feq2d 6700 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):π‘‹βŸΆβ„‚))
5219, 51mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):π‘‹βŸΆβ„‚)
5352feqmptd 6957 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜π‘₯)))
54 ovexd 7440 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V)
55 ovexd 7440 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ V)
56 fvexd 6903 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V)
573feq2d 6700 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚))
5832, 57mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
5958feqmptd 6957 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
607feqmptd 6957 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
6124, 29, 56, 59, 60offval2 7686 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
62 fvexd 6903 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V)
6313feq2d 6700 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚))
6439, 63mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
6564feqmptd 6957 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
661feqmptd 6957 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
6724, 30, 62, 65, 66offval2 7686 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
6824, 54, 55, 61, 67offval2 7686 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))))
6917, 53, 683eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  β„‚cc 11104  β„cr 11105   + caddc 11109   Β· cmul 11111  TopOpenctopn 17363  β„‚fldccnfld 20936   D cdv 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by:  dvcmulf  25453  dvexp  25461  dvmptmul  25469  expgrowth  43079  binomcxplemnotnn0  43100  dvmulcncf  44627
  Copyright terms: Public domain W3C validator