Theorem dvmulf 25981

Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvaddf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvmulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)))

Proof of Theorem dvmulf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvaddf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dvaddf.df	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
4		dvbsss 25938	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
5	3, 4	eqsstrrdi 4028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
7		dvaddf.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
9		dvaddf.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
11	3	eleq2d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
12	11	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
13		dvaddf.dg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
14	13	eleq2d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
15	14	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
16	2, 6, 8, 6, 10, 12, 15	dvmul 25979	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))‘𝑥) = ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
17	16	mpteq2dva 5241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
18		dvfg 25942	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))⟶ℂ)
19	9, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))⟶ℂ)
20		recnprss 25940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
21	9, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
22		mulcl 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
24	9, 5	ssexd 5323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
25		inidm 4226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
26	23, 1, 7, 24, 24, 25	off 7716	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
27	21, 26, 5	dvbss 25937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)) ⊆ 𝑋)
28	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
29		dvfg 25942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
30	9, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
32		ffun 6738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
33		funfvbrb 7070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
34	31, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
35	12, 34	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
36		dvfg 25942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
37	9, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
39		ffun 6738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
40		funfvbrb 7070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
42	15, 41	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
43		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
44	2, 6, 8, 6, 28, 35, 42, 43	dvmulbr 25976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
45		reldv 25906	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))
46	45	releldmi 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)))
47	44, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)))
48	27, 47	eqelssd 4004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)) = 𝑋)
49	48	feq2d 6721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
50	19, 49	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
51	50	feqmptd 6976	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))‘𝑥)))
52		ovexd 7467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
53		ovexd 7467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ V)
54		fvexd 6920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
55		fvexd 6920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
56	3	feq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
57	30, 56	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
58	57	feqmptd 6976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
59	7	feqmptd 6976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
60	24, 54, 55, 58, 59	offval2 7718	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
61		fvexd 6920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V)
62		fvexd 6920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
63	13	feq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
64	37, 63	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
65	64	feqmptd 6976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
66	1	feqmptd 6976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
67	24, 61, 62, 65, 66	offval2 7718	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
68	24, 52, 53, 60, 67	offval2 7718	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
69	17, 51, 68	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘f · 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f · 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  {cpr 4627   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5684  Fun wfun 6554  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∘_f cof 7696  ℂcc 11154  ℝcr 11155   + caddc 11159   · cmul 11161  TopOpenctopn 17467  ℂ_fldccnfld 21365   D cdv 25899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903

This theorem is referenced by:  dvcmulf  25983  dvexp  25992  dvmptmul  26000  expgrowth  44359  binomcxplemnotnn0  44380  dvmulcncf  45945