MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmulf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvmulf 25892
Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvaddf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvaddf.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvaddf.df (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvmulf (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)))
Proof of Theorem dvmulf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
21adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
3 dvaddf.df . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
4 dvbsss 25849 . . . . . 6 dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆
53, 4eqsstrrdi 4035 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
65adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
7 dvaddf.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
87adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
9 dvaddf.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
109adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
113eleq2d 2814 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
1211biimpar 476 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
13 dvaddf.dg . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1413eleq2d 2814 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
1514biimpar 476 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
162, 6, 8, 6, 10, 12, 15dvmul 25890 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜π‘₯) = ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
1716mpteq2dva 5250 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))))
18 dvfg 25853 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))βŸΆβ„‚)
199, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))βŸΆβ„‚)
20 recnprss 25851 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
22 mulcl 11228 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2322adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
249, 5ssexd 5326 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
25 inidm 4219 . . . . . . . 8 (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
2623, 1, 7, 24, 24, 25off 7707 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
2721, 26, 5dvbss 25848 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) βŠ† 𝑋)
2821adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
29 dvfg 25853 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
309, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
3130adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
32 ffun 6728 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (𝑆 D 𝐹))
33 funfvbrb 7063 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑆 D 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
3431, 32, 333syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
3512, 34mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))
36 dvfg 25853 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
379, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
3837adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
39 ffun 6728 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (𝑆 D 𝐺))
40 funfvbrb 7063 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑆 D 𝐺) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
4215, 41mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯))
43 eqid 2727 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
442, 6, 8, 6, 28, 35, 42, 43dvmulbr 25887 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
45 reldv 25817 . . . . . . . 8 Rel (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))
4645releldmi 5952 . . . . . . 7 (π‘₯(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
4744, 46syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
4827, 47eqelssd 4001 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = 𝑋)
4948feq2d 6711 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):π‘‹βŸΆβ„‚))
5019, 49mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):π‘‹βŸΆβ„‚)
5150feqmptd 6970 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜π‘₯)))
52 ovexd 7459 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V)
53 ovexd 7459 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ V)
54 fvexd 6915 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ V)
55 fvexd 6915 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V)
563feq2d 6711 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚))
5730, 56mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
5857feqmptd 6970 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
597feqmptd 6970 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
6024, 54, 55, 58, 59offval2 7709 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
61 fvexd 6915 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ V)
62 fvexd 6915 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V)
6313feq2d 6711 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚))
6437, 63mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
6564feqmptd 6970 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
661feqmptd 6970 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
6724, 61, 62, 65, 66offval2 7709 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
6824, 52, 53, 60, 67offval2 7709 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))))
6917, 51, 683eqtr4d 2777 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  {cpr 4632   class class class wbr 5150   ↦ cmpt 5233  dom cdm 5680  Fun wfun 6545  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ∘f cof 7687  β„‚cc 11142  β„cr 11143   + caddc 11147   Β· cmul 11149  TopOpenctopn 17408  β„‚fldccnfld 21284   D cdv 25810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by:  dvcmulf  25894  dvexp  25903  dvmptmul  25911  expgrowth  43775  binomcxplemnotnn0  43796  dvmulcncf  45315
  Copyright terms: Public domain W3C validator