MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmulf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvmulf 25825
Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvaddf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvaddf.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvaddf.df (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvmulf (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)))
Proof of Theorem dvmulf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
21adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
3 dvaddf.df . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
4 dvbsss 25782 . . . . . 6 dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆
53, 4eqsstrrdi 4032 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
65adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
7 dvaddf.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
87adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
9 dvaddf.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
109adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
113eleq2d 2813 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
1211biimpar 477 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
13 dvaddf.dg . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1413eleq2d 2813 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
1514biimpar 477 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
162, 6, 8, 6, 10, 12, 15dvmul 25823 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜π‘₯) = ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
1716mpteq2dva 5241 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))))
18 dvfg 25786 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))βŸΆβ„‚)
199, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))βŸΆβ„‚)
20 recnprss 25784 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
22 mulcl 11193 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2322adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
249, 5ssexd 5317 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
25 inidm 4213 . . . . . . . 8 (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
2623, 1, 7, 24, 24, 25off 7684 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
2721, 26, 5dvbss 25781 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) βŠ† 𝑋)
2821adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
29 dvfg 25786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
309, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
32 ffun 6713 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (𝑆 D 𝐹))
33 funfvbrb 7045 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑆 D 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
3431, 32, 333syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
3512, 34mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))
36 dvfg 25786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
379, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
3837adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
39 ffun 6713 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (𝑆 D 𝐺))
40 funfvbrb 7045 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑆 D 𝐺) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
4215, 41mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯))
43 eqid 2726 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
442, 6, 8, 6, 28, 35, 42, 43dvmulbr 25820 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
45 reldv 25750 . . . . . . . 8 Rel (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))
4645releldmi 5940 . . . . . . 7 (π‘₯(𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
4744, 46syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)))
4827, 47eqelssd 3998 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = 𝑋)
4948feq2d 6696 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):π‘‹βŸΆβ„‚))
5019, 49mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)):π‘‹βŸΆβ„‚)
5150feqmptd 6953 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺))β€˜π‘₯)))
52 ovexd 7439 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ V)
53 ovexd 7439 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ V)
54 fvexd 6899 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ V)
55 fvexd 6899 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V)
563feq2d 6696 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚))
5730, 56mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
5857feqmptd 6953 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
597feqmptd 6953 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
6024, 54, 55, 58, 59offval2 7686 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
61 fvexd 6899 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ V)
62 fvexd 6899 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V)
6313feq2d 6696 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚))
6437, 63mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
6564feqmptd 6953 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
661feqmptd 6953 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
6724, 61, 62, 65, 66offval2 7686 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
6824, 52, 53, 60, 67offval2 7686 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))))
6917, 51, 683eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 ∘f Β· 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘f Β· 𝐺) ∘f + ((𝑆 D 𝐺) ∘f Β· 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  Fun wfun 6530  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664  β„‚cc 11107  β„cr 11108   + caddc 11112   Β· cmul 11114  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21236   D cdv 25743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747
This theorem is referenced by:  dvcmulf  25827  dvexp  25836  dvmptmul  25844  expgrowth  43651  binomcxplemnotnn0  43672  dvmulcncf  45194
  Copyright terms: Public domain W3C validator