MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres3a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvres3a 25764
Description: Restriction of a complex differentiable function to the reals. This version of dvres3 25763 assumes that 𝐹 is differentiable on its domain, but does not require 𝐹 to be differentiable on the whole real line. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvres3a.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dvres3a (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆))
Proof of Theorem dvres3a
StepHypRef Expression
1 reldv 25720 . . 3 Rel (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆))
2 recnprss 25754 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
32ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 inss2 4229 . . . . . . 7 (𝑆 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
6 fssres 6757 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝑆 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴)):(𝑆 ∩ 𝐴)βŸΆβ„‚)
74, 5, 6sylancl 585 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴)):(𝑆 ∩ 𝐴)βŸΆβ„‚)
8 rescom 6007 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝑆) = ((𝐹 β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝐴)
9 resres 5994 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴))
108, 9eqtri 2759 . . . . . . . 8 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝑆) = (𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴))
11 ffn 6717 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
12 fnresdm 6669 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
134, 11, 123syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
1413reseq1d 5980 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝑆) = (𝐹 β†Ύ 𝑆))
1510, 14eqtr3id 2785 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴)) = (𝐹 β†Ύ 𝑆))
1615feq1d 6702 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴)):(𝑆 ∩ 𝐴)βŸΆβ„‚ ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑆):(𝑆 ∩ 𝐴)βŸΆβ„‚))
177, 16mpbid 231 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆):(𝑆 ∩ 𝐴)βŸΆβ„‚)
18 inss1 4228 . . . . . 6 (𝑆 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑆
1918a1i 11 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝑆 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑆)
203, 17, 19dvbss 25751 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ dom (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) βŠ† (𝑆 ∩ 𝐴))
21 dmres 6003 . . . . 5 dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 ∩ dom (β„‚ D 𝐹))
22 simprr 770 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)
2322ineq2d 4212 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝑆 ∩ dom (β„‚ D 𝐹)) = (𝑆 ∩ 𝐴))
2421, 23eqtrid 2783 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝐴))
2520, 24sseqtrrd 4023 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ dom (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) βŠ† dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆))
26 relssres 6022 . . 3 ((Rel (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) ∧ dom (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) βŠ† dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆)) β†’ ((𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) β†Ύ dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)))
271, 25, 26sylancr 586 . 2 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ ((𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) β†Ύ dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)))
28 dvfg 25756 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆))βŸΆβ„‚)
2928ad2antrr 723 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆))βŸΆβ„‚)
3029ffund 6721 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ Fun (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)))
31 ssidd 4005 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
32 dvres3a.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3332cnfldtopon 24620 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
34 simprl 768 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)
35 toponss 22750 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3633, 34, 35sylancr 586 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
37 dvres2 25762 . . . 4 (((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† β„‚)) β†’ ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆) βŠ† (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)))
3831, 4, 36, 3, 37syl22anc 836 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆) βŠ† (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)))
39 funssres 6592 . . 3 ((Fun (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) ∧ ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆) βŠ† (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆))) β†’ ((𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) β†Ύ dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆))
4030, 38, 39syl2anc 583 . 2 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ ((𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) β†Ύ dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆))
4127, 40eqtr3d 2773 1 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {cpr 4630  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  Rel wrel 5681  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  β„cr 11115  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21234  TopOnctopon 22733   D cdv 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-icc 13338  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-limc 25716  df-dv 25717
This theorem is referenced by:  dvnres  25782  dvmptres3  25809
  Copyright terms: Public domain W3C validator