Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvres3a 24506
 Description: Restriction of a complex differentiable function to the reals. This version of dvres3 24505 assumes that 𝐹 is differentiable on its domain, but does not require 𝐹 to be differentiable on the whole real line. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvres3a.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvres3a (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 D (𝐹𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))

Proof of Theorem dvres3a
StepHypRef Expression
1 reldv 24462 . . 3 Rel (𝑆 D (𝐹𝑆))
2 recnprss 24496 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
32ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 inss2 4206 . . . . . . 7 (𝑆𝐴) ⊆ 𝐴
6 fssres 6539 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝑆𝐴) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝑆𝐴)):(𝑆𝐴)⟶ℂ)
74, 5, 6sylancl 588 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹 ↾ (𝑆𝐴)):(𝑆𝐴)⟶ℂ)
8 rescom 5874 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) ↾ 𝑆) = ((𝐹𝑆) ↾ 𝐴)
9 resres 5861 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑆) ↾ 𝐴) = (𝐹 ↾ (𝑆𝐴))
108, 9eqtri 2844 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ↾ 𝑆) = (𝐹 ↾ (𝑆𝐴))
11 ffn 6509 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
12 fnresdm 6461 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
134, 11, 123syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹𝐴) = 𝐹)
1413reseq1d 5847 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝐹𝐴) ↾ 𝑆) = (𝐹𝑆))
1510, 14syl5eqr 2870 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹 ↾ (𝑆𝐴)) = (𝐹𝑆))
1615feq1d 6494 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝐹 ↾ (𝑆𝐴)):(𝑆𝐴)⟶ℂ ↔ (𝐹𝑆):(𝑆𝐴)⟶ℂ))
177, 16mpbid 234 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝐹𝑆):(𝑆𝐴)⟶ℂ)
18 inss1 4205 . . . . . 6 (𝑆𝐴) ⊆ 𝑆
1918a1i 11 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆𝐴) ⊆ 𝑆)
203, 17, 19dvbss 24493 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom (𝑆 D (𝐹𝑆)) ⊆ (𝑆𝐴))
21 dmres 5870 . . . . 5 dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) = (𝑆 ∩ dom (ℂ D 𝐹))
22 simprr 771 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)
2322ineq2d 4189 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) = (𝑆𝐴))
2421, 23syl5eq 2868 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) = (𝑆𝐴))
2520, 24sseqtrrd 4008 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → dom (𝑆 D (𝐹𝑆)) ⊆ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
26 relssres 5888 . . 3 ((Rel (𝑆 D (𝐹𝑆)) ∧ dom (𝑆 D (𝐹𝑆)) ⊆ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) → ((𝑆 D (𝐹𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹𝑆)))
271, 25, 26sylancr 589 . 2 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝑆 D (𝐹𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹𝑆)))
28 dvfg 24498 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D (𝐹𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹𝑆))⟶ℂ)
2928ad2antrr 724 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 D (𝐹𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹𝑆))⟶ℂ)
3029ffund 6513 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → Fun (𝑆 D (𝐹𝑆)))
31 ssidd 3990 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ℂ ⊆ ℂ)
32 dvres3a.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
3332cnfldtopon 23385 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
34 simprl 769 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝐴𝐽)
35 toponss 21529 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴𝐽) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3633, 34, 35sylancr 589 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
37 dvres2 24504 . . . 4 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹𝑆)))
3831, 4, 36, 3, 37syl22anc 836 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹𝑆)))
39 funssres 6393 . . 3 ((Fun (𝑆 D (𝐹𝑆)) ∧ ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆) ⊆ (𝑆 D (𝐹𝑆))) → ((𝑆 D (𝐹𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
4030, 38, 39syl2anc 586 . 2 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → ((𝑆 D (𝐹𝑆)) ↾ dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
4127, 40eqtr3d 2858 1 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝐽 ∧ dom (ℂ D 𝐹) = 𝐴)) → (𝑆 D (𝐹𝑆)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  {cpr 4563  dom cdm 5550   ↾ cres 5552  Rel wrel 5555  Fun wfun 6344   Fn wfn 6345  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  TopOpenctopn 16689  ℂfldccnfld 20539  TopOnctopon 21512   D cdv 24455 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-icc 12739  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-rest 16690  df-topn 16691  df-topgen 16711  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-limc 24458  df-dv 24459 This theorem is referenced by:  dvnres  24522  dvmptres3  24547
 Copyright terms: Public domain W3C validator