MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres3a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvres3a 25423
Description: Restriction of a complex differentiable function to the reals. This version of dvres3 25422 assumes that 𝐹 is differentiable on its domain, but does not require 𝐹 to be differentiable on the whole real line. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvres3a.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dvres3a (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆))
Proof of Theorem dvres3a
StepHypRef Expression
1 reldv 25379 . . 3 Rel (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆))
2 recnprss 25413 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
32ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 inss2 4229 . . . . . . 7 (𝑆 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
6 fssres 6755 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝑆 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴)):(𝑆 ∩ 𝐴)βŸΆβ„‚)
74, 5, 6sylancl 587 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴)):(𝑆 ∩ 𝐴)βŸΆβ„‚)
8 rescom 6006 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝑆) = ((𝐹 β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝐴)
9 resres 5993 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝐴) = (𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴))
108, 9eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝑆) = (𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴))
11 ffn 6715 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
12 fnresdm 6667 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
134, 11, 123syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
1413reseq1d 5979 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝑆) = (𝐹 β†Ύ 𝑆))
1510, 14eqtr3id 2787 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴)) = (𝐹 β†Ύ 𝑆))
1615feq1d 6700 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑆 ∩ 𝐴)):(𝑆 ∩ 𝐴)βŸΆβ„‚ ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑆):(𝑆 ∩ 𝐴)βŸΆβ„‚))
177, 16mpbid 231 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑆):(𝑆 ∩ 𝐴)βŸΆβ„‚)
18 inss1 4228 . . . . . 6 (𝑆 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑆
1918a1i 11 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝑆 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑆)
203, 17, 19dvbss 25410 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ dom (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) βŠ† (𝑆 ∩ 𝐴))
21 dmres 6002 . . . . 5 dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 ∩ dom (β„‚ D 𝐹))
22 simprr 772 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)
2322ineq2d 4212 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝑆 ∩ dom (β„‚ D 𝐹)) = (𝑆 ∩ 𝐴))
2421, 23eqtrid 2785 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝐴))
2520, 24sseqtrrd 4023 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ dom (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) βŠ† dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆))
26 relssres 6021 . . 3 ((Rel (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) ∧ dom (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) βŠ† dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆)) β†’ ((𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) β†Ύ dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)))
271, 25, 26sylancr 588 . 2 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ ((𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) β†Ύ dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)))
28 dvfg 25415 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆))βŸΆβ„‚)
2928ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)):dom (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆))βŸΆβ„‚)
3029ffund 6719 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ Fun (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)))
31 ssidd 4005 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
32 dvres3a.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3332cnfldtopon 24291 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
34 simprl 770 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)
35 toponss 22421 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3633, 34, 35sylancr 588 . . . 4 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
37 dvres2 25421 . . . 4 (((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† β„‚)) β†’ ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆) βŠ† (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)))
3831, 4, 36, 3, 37syl22anc 838 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆) βŠ† (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)))
39 funssres 6590 . . 3 ((Fun (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) ∧ ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆) βŠ† (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆))) β†’ ((𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) β†Ύ dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆))
4030, 38, 39syl2anc 585 . 2 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ ((𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) β†Ύ dom ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆))
4127, 40eqtr3d 2775 1 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝐴)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D 𝐹) β†Ύ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {cpr 4630  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  Rel wrel 5681  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  TopOpenctopn 17364  β„‚fldccnfld 20937  TopOnctopon 22404   D cdv 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-rest 17365  df-topn 17366  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-limc 25375  df-dv 25376
This theorem is referenced by:  dvnres  25440  dvmptres3  25465
  Copyright terms: Public domain W3C validator