MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvres 25428
Description: Restriction of a derivative. Note that our definition of derivative df-dv 25384 would still make sense if we demanded that π‘₯ be an element of the domain instead of an interior point of the domain, but then it is possible for a non-differentiable function to have two different derivatives at a single point π‘₯ when restricted to different subsets containing π‘₯; a classic example is the absolute value function restricted to [0, +∞) and (-∞, 0]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvres (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
Proof of Theorem dvres
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldv 25387 . 2 Rel (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))
2 relres 6011 . 2 Rel ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))
3 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 inss1 4229 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
6 fssres 6758 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
74, 5, 6sylancl 587 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
8 resres 5995 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝐡) = (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡))
9 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
10 fnresdm 6670 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
114, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
1211reseq1d 5981 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝐡) = (𝐹 β†Ύ 𝐡))
138, 12eqtr3id 2787 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)) = (𝐹 β†Ύ 𝐡))
1413feq1d 6703 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚ ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚))
157, 14mpbid 231 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
16 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
175, 16sstrid 3994 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝑆)
183, 15, 17dvcl 25416 . . . . 5 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1918ex 414 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
203, 4, 16dvcl 25416 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2120ex 414 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
2221adantld 492 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
23 dvres.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
24 dvres.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
25 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
263adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
274adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2816adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
29 simplrr 777 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
30 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
3123, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30dvreslem 25426 . . . . 5 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
3231ex 414 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦))))
3319, 22, 32pm5.21ndd 381 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
34 vex 3479 . . . 4 𝑦 ∈ V
3534brresi 5991 . . 3 (π‘₯((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3633, 35bitr4di 289 . 2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ π‘₯((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))𝑦))
371, 2, 36eqbrrdiv 5795 1 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-cnp 22732  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25433  dvcmulf  25462  dvmptres2  25479  dvmptntr  25488  dvlip  25510  dvlipcn  25511  dvlip2  25512  c1liplem1  25513  dvgt0lem1  25519  dvne0  25528  lhop1lem  25530  lhop  25533  dvcnvrelem1  25534  dvcvx  25537  ftc2ditglem  25562  pserdv  25941  efcvx  25961  dvlog  26159  dvlog2  26161  ftc2re  33610  dvresntr  44634  dvresioo  44637  dvbdfbdioolem1  44644  itgcoscmulx  44685  itgiccshift  44696  itgperiod  44697  dirkercncflem2  44820  fourierdlem57  44879  fourierdlem58  44880  fourierdlem72  44894  fourierdlem73  44895  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem80  44902  fourierdlem94  44916  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem113  44935
  Copyright terms: Public domain W3C validator