MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvres 25662
Description: Restriction of a derivative. Note that our definition of derivative df-dv 25618 would still make sense if we demanded that π‘₯ be an element of the domain instead of an interior point of the domain, but then it is possible for a non-differentiable function to have two different derivatives at a single point π‘₯ when restricted to different subsets containing π‘₯; a classic example is the absolute value function restricted to [0, +∞) and (-∞, 0]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvres (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
Proof of Theorem dvres
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldv 25621 . 2 Rel (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))
2 relres 6011 . 2 Rel ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))
3 simpll 763 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 inss1 4229 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
6 fssres 6758 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
74, 5, 6sylancl 584 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
8 resres 5995 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝐡) = (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡))
9 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
10 fnresdm 6670 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
114, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
1211reseq1d 5981 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝐡) = (𝐹 β†Ύ 𝐡))
138, 12eqtr3id 2784 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)) = (𝐹 β†Ύ 𝐡))
1413feq1d 6703 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚ ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚))
157, 14mpbid 231 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
16 simprl 767 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
175, 16sstrid 3994 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝑆)
183, 15, 17dvcl 25650 . . . . 5 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1918ex 411 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
203, 4, 16dvcl 25650 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2120ex 411 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
2221adantld 489 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
23 dvres.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
24 dvres.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
25 eqid 2730 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
263adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
274adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2816adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
29 simplrr 774 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
30 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
3123, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30dvreslem 25660 . . . . 5 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
3231ex 411 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦))))
3319, 22, 32pm5.21ndd 378 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
34 vex 3476 . . . 4 𝑦 ∈ V
3534brresi 5991 . . 3 (π‘₯((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3633, 35bitr4di 288 . 2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ π‘₯((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))𝑦))
371, 2, 36eqbrrdiv 5795 1 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„‚cc 11112   βˆ’ cmin 11450   / cdiv 11877   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  β„‚fldccnfld 21146  intcnt 22743   D cdv 25614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-cnp 22954  df-xms 24048  df-ms 24049  df-limc 25617  df-dv 25618
This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25667  dvcmulf  25696  dvmptres2  25713  dvmptntr  25722  dvlip  25744  dvlipcn  25745  dvlip2  25746  c1liplem1  25747  dvgt0lem1  25753  dvne0  25762  lhop1lem  25764  lhop  25767  dvcnvrelem1  25768  dvcvx  25771  ftc2ditglem  25796  pserdv  26175  efcvx  26195  dvlog  26393  dvlog2  26395  ftc2re  33906  dvresntr  44934  dvresioo  44937  dvbdfbdioolem1  44944  itgcoscmulx  44985  itgiccshift  44996  itgperiod  44997  dirkercncflem2  45120  fourierdlem57  45179  fourierdlem58  45180  fourierdlem72  45194  fourierdlem73  45195  fourierdlem74  45196  fourierdlem75  45197  fourierdlem80  45202  fourierdlem94  45216  fourierdlem103  45225  fourierdlem104  45226  fourierdlem113  45235
  Copyright terms: Public domain W3C validator