MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvres 24436
Description: Restriction of a derivative. Note that our definition of derivative df-dv 24392 would still make sense if we demanded that 𝑥 be an element of the domain instead of an interior point of the domain, but then it is possible for a non-differentiable function to have two different derivatives at a single point 𝑥 when restricted to different subsets containing 𝑥; a classic example is the absolute value function restricted to [0, +∞) and (-∞, 0]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvres (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵)))

Proof of Theorem dvres
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldv 24395 . 2 Rel (𝑆 D (𝐹𝐵))
2 relres 5875 . 2 Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵))
3 simpll 763 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 inss1 4202 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
6 fssres 6537 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴𝐵)):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹 ↾ (𝐴𝐵)):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8 resres 5859 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) ↾ 𝐵) = (𝐹 ↾ (𝐴𝐵))
9 ffn 6507 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
10 fnresdm 6459 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
114, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹𝐴) = 𝐹)
1211reseq1d 5845 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝐹𝐴) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
138, 12syl5eqr 2867 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹 ↾ (𝐴𝐵)) = (𝐹𝐵))
1413feq1d 6492 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝐹 ↾ (𝐴𝐵)):(𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ))
157, 14mpbid 233 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
16 simprl 767 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → 𝐴𝑆)
175, 16sstrid 3975 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
183, 15, 17dvcl 24424 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
1918ex 413 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦𝑦 ∈ ℂ))
203, 4, 16dvcl 24424 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
2120ex 413 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑦 ∈ ℂ))
2221adantld 491 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ))
23 dvres.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
24 dvres.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
25 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
263adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
274adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2816adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴𝑆)
29 simplrr 774 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐵𝑆)
30 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
3123, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30dvreslem 24434 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
3231ex 413 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))))
3319, 22, 32pm5.21ndd 381 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
34 vex 3495 . . . 4 𝑦 ∈ V
3534brresi 5855 . . 3 (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3633, 35syl6bbr 290 . 2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵))𝑦))
371, 2, 36eqbrrdiv 5660 1 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  cin 3932  wss 3933  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cres 5550   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cmin 10858   / cdiv 11285  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  fldccnfld 20473  intcnt 21553   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-cnp 21764  df-xms 22857  df-ms 22858  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  dvcmulf  24469  dvmptres2  24486  dvmptntr  24495  dvlip  24517  dvlipcn  24518  dvlip2  24519  c1liplem1  24520  dvgt0lem1  24526  dvne0  24535  lhop1lem  24537  lhop  24540  dvcnvrelem1  24541  dvcvx  24544  ftc2ditglem  24569  pserdv  24944  efcvx  24964  dvlog  25161  dvlog2  25163  ftc2re  31768  dvresntr  42078  dvmptresicc  42080  dvresioo  42082  dvbdfbdioolem1  42089  itgcoscmulx  42130  itgiccshift  42141  itgperiod  42142  dirkercncflem2  42266  fourierdlem57  42325  fourierdlem58  42326  fourierdlem72  42340  fourierdlem73  42341  fourierdlem74  42342  fourierdlem75  42343  fourierdlem80  42348  fourierdlem94  42362  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372  fourierdlem113  42381
  Copyright terms: Public domain W3C validator