MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvres 25298
Description: Restriction of a derivative. Note that our definition of derivative df-dv 25254 would still make sense if we demanded that π‘₯ be an element of the domain instead of an interior point of the domain, but then it is possible for a non-differentiable function to have two different derivatives at a single point π‘₯ when restricted to different subsets containing π‘₯; a classic example is the absolute value function restricted to [0, +∞) and (-∞, 0]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvres (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))

Proof of Theorem dvres
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldv 25257 . 2 Rel (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))
2 relres 5970 . 2 Rel ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))
3 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 inss1 4192 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
6 fssres 6712 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
74, 5, 6sylancl 587 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
8 resres 5954 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝐡) = (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡))
9 ffn 6672 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
10 fnresdm 6624 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
114, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = 𝐹)
1211reseq1d 5940 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) β†Ύ 𝐡) = (𝐹 β†Ύ 𝐡))
138, 12eqtr3id 2787 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)) = (𝐹 β†Ύ 𝐡))
1413feq1d 6657 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 ∩ 𝐡)):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚ ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚))
157, 14mpbid 231 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
16 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
175, 16sstrid 3959 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝑆)
183, 15, 17dvcl 25286 . . . . 5 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1918ex 414 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
203, 4, 16dvcl 25286 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2120ex 414 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
2221adantld 492 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
23 dvres.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
24 dvres.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
25 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
263adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
274adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2816adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
29 simplrr 777 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
30 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
3123, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30dvreslem 25296 . . . . 5 ((((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
3231ex 414 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦))))
3319, 22, 32pm5.21ndd 381 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
34 vex 3451 . . . 4 𝑦 ∈ V
3534brresi 5950 . . 3 (π‘₯((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3633, 35bitr4di 289 . 2 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ π‘₯((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))𝑦))
371, 2, 36eqbrrdiv 5754 1 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚) ∧ (𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   β†Ύ cres 5639   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  β„‚fldccnfld 20819  intcnt 22391   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-cnp 22602  df-xms 23696  df-ms 23697  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  dvmptresicc  25303  dvcmulf  25332  dvmptres2  25349  dvmptntr  25358  dvlip  25380  dvlipcn  25381  dvlip2  25382  c1liplem1  25383  dvgt0lem1  25389  dvne0  25398  lhop1lem  25400  lhop  25403  dvcnvrelem1  25404  dvcvx  25407  ftc2ditglem  25432  pserdv  25811  efcvx  25831  dvlog  26029  dvlog2  26031  ftc2re  33275  dvresntr  44249  dvresioo  44252  dvbdfbdioolem1  44259  itgcoscmulx  44300  itgiccshift  44311  itgperiod  44312  dirkercncflem2  44435  fourierdlem57  44494  fourierdlem58  44495  fourierdlem72  44509  fourierdlem73  44510  fourierdlem74  44511  fourierdlem75  44512  fourierdlem80  44517  fourierdlem94  44531  fourierdlem103  44540  fourierdlem104  44541  fourierdlem113  44550
  Copyright terms: Public domain W3C validator