Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvres 24610
 Description: Restriction of a derivative. Note that our definition of derivative df-dv 24566 would still make sense if we demanded that 𝑥 be an element of the domain instead of an interior point of the domain, but then it is possible for a non-differentiable function to have two different derivatives at a single point 𝑥 when restricted to different subsets containing 𝑥; a classic example is the absolute value function restricted to [0, +∞) and (-∞, 0]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvres (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵)))

Proof of Theorem dvres
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldv 24569 . 2 Rel (𝑆 D (𝐹𝐵))
2 relres 5852 . 2 Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵))
3 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 inss1 4133 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
6 fssres 6529 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴𝐵)):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
74, 5, 6sylancl 589 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹 ↾ (𝐴𝐵)):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8 resres 5836 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) ↾ 𝐵) = (𝐹 ↾ (𝐴𝐵))
9 ffn 6498 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
10 fnresdm 6449 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
114, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹𝐴) = 𝐹)
1211reseq1d 5822 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝐹𝐴) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
138, 12syl5eqr 2807 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹 ↾ (𝐴𝐵)) = (𝐹𝐵))
1413feq1d 6483 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝐹 ↾ (𝐴𝐵)):(𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ))
157, 14mpbid 235 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
16 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → 𝐴𝑆)
175, 16sstrid 3903 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
183, 15, 17dvcl 24598 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
1918ex 416 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦𝑦 ∈ ℂ))
203, 4, 16dvcl 24598 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
2120ex 416 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑦 ∈ ℂ))
2221adantld 494 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ))
23 dvres.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
24 dvres.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
25 eqid 2758 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
263adantr 484 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
274adantr 484 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2816adantr 484 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴𝑆)
29 simplrr 777 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐵𝑆)
30 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
3123, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30dvreslem 24608 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
3231ex 416 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))))
3319, 22, 32pm5.21ndd 384 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
34 vex 3413 . . . 4 𝑦 ∈ V
3534brresi 5832 . . 3 (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3633, 35bitr4di 292 . 2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵))𝑦))
371, 2, 36eqbrrdiv 5636 1 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3855   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  {csn 4522   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   ↾ cres 5526   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573   − cmin 10908   / cdiv 11335   ↾t crest 16752  TopOpenctopn 16753  ℂfldccnfld 20166  intcnt 21717   D cdv 24562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-fz 12940  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-rest 16754  df-topn 16755  df-topgen 16775  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-cnp 21928  df-xms 23022  df-ms 23023  df-limc 24565  df-dv 24566 This theorem is referenced by:  dvmptresicc  24615  dvcmulf  24644  dvmptres2  24661  dvmptntr  24670  dvlip  24692  dvlipcn  24693  dvlip2  24694  c1liplem1  24695  dvgt0lem1  24701  dvne0  24710  lhop1lem  24712  lhop  24715  dvcnvrelem1  24716  dvcvx  24719  ftc2ditglem  24744  pserdv  25123  efcvx  25143  dvlog  25341  dvlog2  25343  ftc2re  32097  dvresntr  42926  dvresioo  42929  dvbdfbdioolem1  42936  itgcoscmulx  42977  itgiccshift  42988  itgperiod  42989  dirkercncflem2  43112  fourierdlem57  43171  fourierdlem58  43172  fourierdlem72  43186  fourierdlem73  43187  fourierdlem74  43188  fourierdlem75  43189  fourierdlem80  43194  fourierdlem94  43208  fourierdlem103  43217  fourierdlem104  43218  fourierdlem113  43227
 Copyright terms: Public domain W3C validator