MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcof 24700
Description: The chain rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcof.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcof.t (𝜑𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcof.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcof.g (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
dvcof.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvcof.dg (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvcof (𝜑 → (𝑇 D (𝐹𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) ∘f · (𝑇 D 𝐺)))

Proof of Theorem dvcof
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcof.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
21adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3 dvcof.df . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
4 dvbsss 24654 . . . . . 6 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
53, 4eqsstrrdi 3932 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
65adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑋𝑆)
7 dvcof.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑌𝑋)
87adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐺:𝑌𝑋)
9 dvcof.dg . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) = 𝑌)
10 dvbsss 24654 . . . . . 6 dom (𝑇 D 𝐺) ⊆ 𝑇
119, 10eqsstrrdi 3932 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑇)
1211adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑌𝑇)
13 dvcof.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
1413adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
15 dvcof.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
1615adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
177ffvelrnda 6861 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑋)
183adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
1917, 18eleqtrrd 2836 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐺𝑥) ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
209eleq2d 2818 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝑥𝑌))
2120biimpar 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
222, 6, 8, 12, 14, 16, 19, 21dvco 24699 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑇 D (𝐹𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
2322mpteq2dva 5125 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑌 ↦ ((𝑇 D (𝐹𝐺))‘𝑥)) = (𝑥𝑌 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥))))
24 dvfg 24658 . . . . 5 (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D (𝐹𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹𝐺))⟶ℂ)
2515, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 D (𝐹𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹𝐺))⟶ℂ)
26 recnprss 24656 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑇 ⊆ ℂ)
2715, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
28 fco 6528 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑌𝑋) → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
291, 7, 28syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝑌⟶ℂ)
3027, 29, 11dvbss 24653 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑇 D (𝐹𝐺)) ⊆ 𝑌)
31 recnprss 24656 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
3214, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3316, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑇 ⊆ ℂ)
34 fvexd 6689 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) ∈ V)
35 fvexd 6689 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V)
36 dvfg 24658 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
37 ffun 6507 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
38 funfvbrb 6828 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑆 D 𝐹) → ((𝐺𝑥) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺𝑥)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥))))
3914, 36, 37, 384syl 19 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝐺𝑥) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺𝑥)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥))))
4019, 39mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐺𝑥)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)))
41 dvfg 24658 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ)
42 ffun 6507 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑇 D 𝐺))
43 funfvbrb 6828 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑇 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
4416, 41, 42, 434syl 19 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
4521, 44mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝑥))
46 eqid 2738 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
472, 6, 8, 12, 32, 33, 34, 35, 40, 45, 46dvcobr 24698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥(𝑇 D (𝐹𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
48 reldv 24622 . . . . . . . 8 Rel (𝑇 D (𝐹𝐺))
4948releldmi 5791 . . . . . . 7 (𝑥(𝑇 D (𝐹𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (𝑇 D (𝐹𝐺)))
5047, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥 ∈ dom (𝑇 D (𝐹𝐺)))
5130, 50eqelssd 3898 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑇 D (𝐹𝐺)) = 𝑌)
5251feq2d 6490 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 D (𝐹𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑇 D (𝐹𝐺)):𝑌⟶ℂ))
5325, 52mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝑇 D (𝐹𝐺)):𝑌⟶ℂ)
5453feqmptd 6737 . 2 (𝜑 → (𝑇 D (𝐹𝐺)) = (𝑥𝑌 ↦ ((𝑇 D (𝐹𝐺))‘𝑥)))
5515, 11ssexd 5192 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
567feqmptd 6737 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑌 ↦ (𝐺𝑥)))
5713, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
583feq2d 6490 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
5957, 58mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6059feqmptd 6737 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑦𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑦)))
61 fveq2 6674 . . . 4 (𝑦 = (𝐺𝑥) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑦) = ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)))
6217, 56, 60, 61fmptco 6901 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) = (𝑥𝑌 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥))))
6315, 41syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ)
649feq2d 6490 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑇 D 𝐺):𝑌⟶ℂ))
6563, 64mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 D 𝐺):𝑌⟶ℂ)
6665feqmptd 6737 . . 3 (𝜑 → (𝑇 D 𝐺) = (𝑥𝑌 ↦ ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
6755, 34, 35, 62, 66offval2 7444 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) ∘f · (𝑇 D 𝐺)) = (𝑥𝑌 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥))))
6823, 54, 673eqtr4d 2783 1 (𝜑 → (𝑇 D (𝐹𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) ∘f · (𝑇 D 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  wss 3843  {cpr 4518   class class class wbr 5030  cmpt 5110  dom cdm 5525  ccom 5529  Fun wfun 6333  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  f cof 7423  cc 10613  cr 10614   · cmul 10620  TopOpenctopn 16798  fldccnfld 20217   D cdv 24615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619
This theorem is referenced by:  dvmptco  24724  dvsinax  42996  dvcosax  43009
  Copyright terms: Public domain W3C validator