Theorem restsn2 21922

Description: The subspace topology induced by a singleton. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsn2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})

Proof of Theorem restsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4696	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
2		resttopon 21912	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) ∈ (TopOn‘{𝐴}))
3	1, 2	sylan2 596	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) ∈ (TopOn‘{𝐴}))
4		topsn 21682	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t {𝐴}) ∈ (TopOn‘{𝐴}) → (𝐽 ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3843  𝒫 cpw 4488  {csn 4516  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170   ↾_t crest 16797  TopOnctopon 21661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-en 8556  df-fin 8559  df-fi 8948  df-rest 16799  df-topgen 16820  df-top 21645  df-topon 21662  df-bases 21697

This theorem is referenced by:  conncompid  22182  xkohaus  22404  xkoptsub  22405  cvmlift2lem9  32844  cncfdmsn  42973