Theorem restsn2 23074

Description: The subspace topology induced by a singleton. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsn2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})

Proof of Theorem restsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4762	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
2		resttopon 23064	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) ∈ (TopOn‘{𝐴}))
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) ∈ (TopOn‘{𝐴}))
4		topsn 22834	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t {𝐴}) ∈ (TopOn‘{𝐴}) → (𝐽 ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↾_t crest 17342  TopOnctopon 22813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-en 8880  df-fin 8883  df-fi 9320  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849

This theorem is referenced by:  conncompid  23334  xkohaus  23556  xkoptsub  23557  cvmlift2lem9  35286  cncfdmsn  45875