MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnt 27097
Description: The Prime Number Theorem: the number of prime numbers less than π‘₯ tends asymptotically to π‘₯ / log(π‘₯) as π‘₯ goes to infinity. This is Metamath 100 proof #5. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1

Proof of Theorem pnt
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 11269 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
2 1lt2 12379 . . . . . 6 1 < 2
3 df-ioo 13324 . . . . . . 7 (,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
4 df-ico 13326 . . . . . . 7 [,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5 xrltletr 13132 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((1 < 2 ∧ 2 ≀ 𝑀) β†’ 1 < 𝑀))
63, 4, 5ixxss1 13338 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 < 2) β†’ (2[,)+∞) βŠ† (1(,)+∞))
71, 2, 6mp2an 691 . . . . 5 (2[,)+∞) βŠ† (1(,)+∞)
8 resmpt 6035 . . . . 5 ((2[,)+∞) βŠ† (1(,)+∞) β†’ ((π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) β†Ύ (2[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))))
97, 8mp1i 13 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) β†Ύ (2[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))))
107sseli 3977 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ (1(,)+∞))
11 ioossre 13381 . . . . . . . . . . 11 (1(,)+∞) βŠ† ℝ
1211sseli 3977 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
14 2re 12282 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
15 pnfxr 11264 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
16 elico2 13384 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)))
1714, 15, 16mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
1817simp2bi 1147 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ≀ π‘₯)
19 chtrpcl 26659 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2013, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
21 0red 11213 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ 0 ∈ ℝ)
22 1red 11211 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ 1 ∈ ℝ)
23 0lt1 11732 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ 0 < 1)
25 eliooord 13379 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ (1 < π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
2625simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ 1 < π‘₯)
2721, 22, 12, 24, 26lttrd 11371 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ 0 < π‘₯)
2812, 27elrpd 13009 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
2910, 28syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
3020, 29rpdivcld 13029 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ ℝ+)
3130adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ ℝ+)
32 ppinncl 26658 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
3313, 18, 32syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
3433nnrpd 13010 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
3512, 26rplogcld 26119 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
3610, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
3734, 36rpmulcld 13028 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
3820, 37rpdivcld 13029 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
3938adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
4029ssriv 3985 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) βŠ† ℝ+
41 resmpt 6035 . . . . . . . 8 ((2[,)+∞) βŠ† ℝ+ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β†Ύ (2[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β†Ύ (2[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯))
43 pnt2 27096 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 1
44 rlimres 15498 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 1 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β†Ύ (2[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 1)
4543, 44mp1i 13 . . . . . . 7 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β†Ύ (2[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 1)
4642, 45eqbrtrrid 5183 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 1)
47 chtppilim 26958 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1
4847a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
49 ax-1ne0 11175 . . . . . . 7 1 β‰  0
5049a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 1 β‰  0)
5138rpne0d 13017 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) β‰  0)
5251adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) β‰  0)
5331, 39, 46, 48, 50, 52rlimdiv 15588 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) β‡π‘Ÿ (1 / 1))
5413recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
55 chtcl 26593 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5612, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5756recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5810, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5954, 58mulcomd 11231 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (π‘₯ Β· (ΞΈβ€˜π‘₯)) = ((ΞΈβ€˜π‘₯) Β· π‘₯))
6059oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (π‘₯ Β· (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (((ΞΈβ€˜π‘₯) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / ((ΞΈβ€˜π‘₯) Β· π‘₯)))
6137rpcnd 13014 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
6229rpne0d 13017 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ β‰  0)
6320rpne0d 13017 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0)
6461, 54, 58, 62, 63divcan5d 12012 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / ((ΞΈβ€˜π‘₯) Β· π‘₯)) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
6560, 64eqtrd 2773 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (π‘₯ Β· (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
6637rpne0d 13017 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) β‰  0)
6758, 54, 58, 61, 62, 66, 63divdivdivd 12033 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (((ΞΈβ€˜π‘₯) Β· ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) / (π‘₯ Β· (ΞΈβ€˜π‘₯))))
6833nncnd 12224 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6936rpcnd 13014 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7036rpne0d 13017 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (logβ€˜π‘₯) β‰  0)
7168, 54, 69, 62, 70divdiv2d 12018 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
7265, 67, 713eqtr4d 2783 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) = ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))))
7372mpteq2ia 5250 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))))
74 1div1e1 11900 . . . . 5 (1 / 1) = 1
7553, 73, 743brtr3g 5180 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
769, 75eqbrtrd 5169 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) β†Ύ (2[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 1)
77 ppicl 26615 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
7812, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
7978nn0red 12529 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8028, 35rpdivcld 13029 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
8179, 80rerpdivcld 13043 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
8281recnd 11238 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
8382adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (1(,)+∞)) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
8483fmpttd 7110 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))):(1(,)+∞)βŸΆβ„‚)
8511a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (1(,)+∞) βŠ† ℝ)
8614a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 2 ∈ ℝ)
8784, 85, 86rlimresb 15505 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1 ↔ ((π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) β†Ύ (2[,)+∞)) β‡π‘Ÿ 1))
8876, 87mpbird 257 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
8988mptru 1549 1 (π‘₯ ∈ (1(,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  [,)cico 13322   β‡π‘Ÿ crli 15425  logclog 26045  ΞΈccht 26575  Ο€cppi 26578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-o1 15430  df-lo1 15431  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-cmp 22873  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-ulm 25871  df-log 26047  df-cxp 26048  df-atan 26352  df-em 26477  df-cht 26581  df-vma 26582  df-chp 26583  df-ppi 26584  df-mu 26585
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator