Theorem pnt 27354

Description: The Prime Number Theorem: the number of prime numbers less than 𝑥 tends asymptotically to 𝑥 / log(𝑥) as 𝑥 goes to infinity. This is Metamath 100 proof #5. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt	⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11278	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		1lt2 12388	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
3		df-ioo 13333	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
4		df-ico 13335	. . . . . . 7 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5		xrltletr 13141	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑤) → 1 < 𝑤))
6	3, 4, 5	ixxss1 13347	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 < 2) → (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞))
7	1, 2, 6	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞)
8		resmpt 6037	. . . . 5 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞) → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
9	7, 8	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
10	7	sseli 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
11		ioossre 13390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
12	11	sseli 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		2re 12291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		pnfxr 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		elico2 13393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
17	14, 15, 16	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
18	17	simp2bi 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
19		chtrpcl 26916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
20	13, 18, 19	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
21		0red 11222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
22		1red 11220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
23		0lt1 11741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 1)
25		eliooord 13388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
26	25	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
27	21, 22, 12, 24, 26	lttrd 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 𝑥)
28	12, 27	elrpd 13018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	10, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
30	20, 29	rpdivcld 13038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
32		ppinncl 26915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
33	13, 18, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
34	33	nnrpd 13019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
35	12, 26	rplogcld 26374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
36	10, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
37	34, 36	rpmulcld 13037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
38	20, 37	rpdivcld 13038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
40	29	ssriv 3986	. . . . . . . 8 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
41		resmpt 6037	. . . . . . . 8 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
43		pnt2 27353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
44		rlimres 15507	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
46	42, 45	eqbrtrrid 5184	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
47		chtppilim 27215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
49		ax-1ne0 11183	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
51	38	rpne0d 13026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
52	51	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
53	31, 39, 46, 48, 50, 52	rlimdiv 15597	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
54	13	recnd 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
55		chtcl 26850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
56	12, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
58	10, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
59	54, 58	mulcomd 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 · (θ‘𝑥)) = ((θ‘𝑥) · 𝑥))
60	59	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)))
61	37	rpcnd 13023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
62	29	rpne0d 13026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ≠ 0)
63	20	rpne0d 13026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
64	61, 54, 58, 62, 63	divcan5d 12021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
65	60, 64	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
66	37	rpne0d 13026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
67	58, 54, 58, 61, 62, 66, 63	divdivdivd 12042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))))
68	33	nncnd 12233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
69	36	rpcnd 13023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
70	36	rpne0d 13026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
71	68, 54, 69, 62, 70	divdiv2d 12027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
72	65, 67, 71	3eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
73	72	mpteq2ia 5251	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
74		1div1e1 11909	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
75	53, 73, 74	3brtr3g 5181	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
76	9, 75	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
77		ppicl 26872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (π‘𝑥) ∈ ℕ0)
78	12, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ0)
79	78	nn0red 12538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ)
80	28, 35	rpdivcld 13038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
81	79, 80	rerpdivcld 13052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
82	81	recnd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
83	82	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
84	83	fmpttd 7116	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))):(1(,)+∞)⟶ℂ)
85	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
86	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
87	84, 85, 86	rlimresb 15514	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1))
88	76, 87	mpbird 257	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
89	88	mptru 1547	1 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  ℝcr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   · cmul 11119  +∞cpnf 11250  ℝ^*cxr 11252   < clt 11253   ≤ cle 11254   / cdiv 11876  ℕcn 12217  2c2 12272  ℕ₀cn0 12477  ℝ⁺crp 12979  (,)cioo 13329  [,)cico 13331   ⇝_𝑟 crli 15434  logclog 26300  θccht 26832  πcppi 26835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-o1 15439  df-lo1 15440  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ulm 26126  df-log 26302  df-cxp 26303  df-atan 26609  df-em 26734  df-cht 26838  df-vma 26839  df-chp 26840  df-ppi 26841  df-mu 26842

This theorem is referenced by: (None)