Theorem pnt 27648

Description: The Prime Number Theorem: the number of prime numbers less than 𝑥 tends asymptotically to 𝑥 / log(𝑥) as 𝑥 goes to infinity. This is Metamath 100 proof #5. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt	⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11316	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		1lt2 12433	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
3		df-ioo 13387	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
4		df-ico 13389	. . . . . . 7 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5		xrltletr 13195	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑤) → 1 < 𝑤))
6	3, 4, 5	ixxss1 13401	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 < 2) → (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞))
7	1, 2, 6	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞)
8		resmpt 6053	. . . . 5 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞) → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
9	7, 8	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
10	7	sseli 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
11		ioossre 13444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
12	11	sseli 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		2re 12336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		pnfxr 11311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		elico2 13447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
17	14, 15, 16	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
18	17	simp2bi 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
19		chtrpcl 27208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
20	13, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
21		0red 11260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
22		1red 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
23		0lt1 11781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 1)
25		eliooord 13442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
26	25	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
27	21, 22, 12, 24, 26	lttrd 11418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 𝑥)
28	12, 27	elrpd 13070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	10, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
30	20, 29	rpdivcld 13090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
32		ppinncl 27207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
33	13, 18, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
34	33	nnrpd 13071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
35	12, 26	rplogcld 26661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
36	10, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
37	34, 36	rpmulcld 13089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
38	20, 37	rpdivcld 13090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
40	29	ssriv 3986	. . . . . . . 8 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
41		resmpt 6053	. . . . . . . 8 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
43		pnt2 27647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
44		rlimres 15590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
46	42, 45	eqbrtrrid 5177	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
47		chtppilim 27509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
49		ax-1ne0 11220	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
51	38	rpne0d 13078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
52	51	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
53	31, 39, 46, 48, 50, 52	rlimdiv 15678	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
54	13	recnd 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
55		chtcl 27142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
56	12, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
58	10, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
59	54, 58	mulcomd 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 · (θ‘𝑥)) = ((θ‘𝑥) · 𝑥))
60	59	oveq2d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)))
61	37	rpcnd 13075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
62	29	rpne0d 13078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ≠ 0)
63	20	rpne0d 13078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
64	61, 54, 58, 62, 63	divcan5d 12065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
65	60, 64	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
66	37	rpne0d 13078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
67	58, 54, 58, 61, 62, 66, 63	divdivdivd 12086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))))
68	33	nncnd 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
69	36	rpcnd 13075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
70	36	rpne0d 13078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
71	68, 54, 69, 62, 70	divdiv2d 12071	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
72	65, 67, 71	3eqtr4d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
73	72	mpteq2ia 5243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
74		1div1e1 11954	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
75	53, 73, 74	3brtr3g 5174	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
76	9, 75	eqbrtrd 5163	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
77		ppicl 27164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (π‘𝑥) ∈ ℕ0)
78	12, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ0)
79	78	nn0red 12584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ)
80	28, 35	rpdivcld 13090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
81	79, 80	rerpdivcld 13104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
82	81	recnd 11285	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
83	82	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
84	83	fmpttd 7133	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))):(1(,)+∞)⟶ℂ)
85	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
86	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
87	84, 85, 86	rlimresb 15597	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1))
88	76, 87	mpbird 257	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
89	88	mptru 1547	1 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5223   ↾ cres 5685  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  ℂcc 11149  ℝcr 11150  0cc0 11151  1c1 11152   · cmul 11156  +∞cpnf 11288  ℝ^*cxr 11290   < clt 11291   ≤ cle 11292   / cdiv 11916  ℕcn 12262  2c2 12317  ℕ₀cn0 12522  ℝ⁺crp 13030  (,)cioo 13383  [,)cico 13385   ⇝_𝑟 crli 15517  logclog 26586  θccht 27124  πcppi 27127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-inf2 9677  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229  ax-addf 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-disj 5109  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-oadd 8506  df-er 8741  df-map 8864  df-pm 8865  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9398  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13150  df-xadd 13151  df-xmul 13152  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-o1 15522  df-lo1 15523  df-sum 15719  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16871  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-starv 17308  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-ip 17311  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-unif 17316  df-hom 17317  df-cco 17318  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17543  df-qtop 17548  df-imas 17549  df-xps 17551  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-submnd 18793  df-mulg 19082  df-cntz 19331  df-cmn 19796  df-psmet 21348  df-xmet 21349  df-met 21350  df-bl 21351  df-mopn 21352  df-fbas 21353  df-fg 21354  df-cnfld 21357  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-cld 23017  df-ntr 23018  df-cls 23019  df-nei 23096  df-lp 23134  df-perf 23135  df-cn 23225  df-cnp 23226  df-haus 23313  df-cmp 23385  df-tx 23560  df-hmeo 23753  df-fil 23844  df-fm 23936  df-flim 23937  df-flf 23938  df-xms 24320  df-ms 24321  df-tms 24322  df-cncf 24894  df-limc 25891  df-dv 25892  df-ulm 26410  df-log 26588  df-cxp 26589  df-atan 26900  df-em 27026  df-cht 27130  df-vma 27131  df-chp 27132  df-ppi 27133  df-mu 27134

This theorem is referenced by: (None)