Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnt 25755
 Description: The Prime Number Theorem: the number of prime numbers less than 𝑥 tends asymptotically to 𝑥 / log(𝑥) as 𝑥 goes to infinity. This is Metamath 100 proof #5. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 10436 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
2 1lt2 11553 . . . . . 6 1 < 2
3 df-ioo 12491 . . . . . . 7 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
4 df-ico 12493 . . . . . . 7 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
5 xrltletr 12300 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑤) → 1 < 𝑤))
63, 4, 5ixxss1 12505 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 < 2) → (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞))
71, 2, 6mp2an 682 . . . . 5 (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞)
8 resmpt 5699 . . . . 5 ((2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞) → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
97, 8mp1i 13 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
107sseli 3817 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
11 ioossre 12547 . . . . . . . . . . 11 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
1211sseli 3817 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 2re 11449 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
15 pnfxr 10430 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
16 elico2 12549 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥𝑥 < +∞)))
1714, 15, 16mp2an 682 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥𝑥 < +∞))
1817simp2bi 1137 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
19 chtrpcl 25353 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
2013, 18, 19syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
21 0red 10380 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
22 1re 10376 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
24 0lt1 10897 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 1)
26 eliooord 12545 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
2726simpld 490 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
2821, 23, 12, 25, 27lttrd 10537 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 𝑥)
2912, 28elrpd 12178 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3010, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3120, 30rpdivcld 12198 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
3231adantl 475 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
33 ppinncl 25352 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
3413, 18, 33syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℕ)
3534nnrpd 12179 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
3612, 27rplogcld 24812 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
3710, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
3835, 37rpmulcld 12197 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
3920, 38rpdivcld 12198 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
4039adantl 475 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
4130ssriv 3825 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
42 resmpt 5699 . . . . . . . 8 ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
44 pnt2 25754 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
45 rlimres 14697 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
4644, 45mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
4743, 46syl5eqbrr 4922 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
48 chtppilim 25616 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
4948a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
50 ax-1ne0 10341 . . . . . . 7 1 ≠ 0
5150a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 0)
5239rpne0d 12186 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
5352adantl 475 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
5432, 40, 47, 49, 51, 53rlimdiv 14784 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
5513recnd 10405 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
56 chtcl 25287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
5712, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
5857recnd 10405 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
5910, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
6055, 59mulcomd 10398 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 · (θ‘𝑥)) = ((θ‘𝑥) · 𝑥))
6160oveq2d 6938 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)))
6238rpcnd 12183 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
6330rpne0d 12186 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ≠ 0)
6420rpne0d 12186 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
6562, 55, 59, 63, 64divcan5d 11177 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
6661, 65eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
6738rpne0d 12186 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
6859, 55, 59, 62, 63, 67, 64divdivdivd 11198 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))))
6934nncnd 11392 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℂ)
7037rpcnd 12183 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
7137rpne0d 12186 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
7269, 55, 70, 63, 71divdiv2d 11183 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
7366, 68, 723eqtr4d 2824 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
7473mpteq2ia 4975 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
75 1div1e1 11065 . . . . 5 (1 / 1) = 1
7654, 74, 753brtr3g 4919 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
779, 76eqbrtrd 4908 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
78 ppicl 25309 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (π𝑥) ∈ ℕ0)
7912, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℕ0)
8079nn0red 11703 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ)
8129, 36rpdivcld 12198 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
8280, 81rerpdivcld 12212 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
8382recnd 10405 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
8483adantl 475 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
8584fmpttd 6649 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))):(1(,)+∞)⟶ℂ)
8611a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
8714a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
8885, 86, 87rlimresb 14704 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1))
8977, 88mpbird 249 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
9089mptru 1609 1 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ w3a 1071   = wceq 1601  ⊤wtru 1602   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965   ↾ cres 5357  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277  +∞cpnf 10408  ℝ*cxr 10410   < clt 10411   ≤ cle 10412   / cdiv 11032  ℕcn 11374  2c2 11430  ℕ0cn0 11642  ℝ+crp 12137  (,)cioo 12487  [,)cico 12489   ⇝𝑟 crli 14624  logclog 24738  θccht 25269  πcppi 25272 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-o1 14629  df-lo1 14630  df-sum 14825  df-ef 15200  df-e 15201  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-dvds 15388  df-gcd 15623  df-prm 15791  df-pc 15946  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-cxp 24741  df-em 25171  df-cht 25275  df-vma 25276  df-chp 25277  df-ppi 25278  df-mu 25279 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator