MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnt 27654
Description: The Prime Number Theorem: the number of prime numbers less than 𝑥 tends asymptotically to 𝑥 / log(𝑥) as 𝑥 goes to infinity. This is Metamath 100 proof #5. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 11311 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
2 1lt2 12428 . . . . . 6 1 < 2
3 df-ioo 13381 . . . . . . 7 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
4 df-ico 13383 . . . . . . 7 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
5 xrltletr 13189 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑤) → 1 < 𝑤))
63, 4, 5ixxss1 13395 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 < 2) → (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞))
71, 2, 6mp2an 691 . . . . 5 (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞)
8 resmpt 6051 . . . . 5 ((2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞) → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
97, 8mp1i 13 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
107sseli 3991 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
11 ioossre 13438 . . . . . . . . . . 11 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
1211sseli 3991 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
14 2re 12331 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
15 pnfxr 11306 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
16 elico2 13441 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥𝑥 < +∞)))
1714, 15, 16mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥𝑥 < +∞))
1817simp2bi 1144 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
19 chtrpcl 27214 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
2013, 18, 19syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
21 0red 11255 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
22 1red 11253 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
23 0lt1 11776 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 1)
25 eliooord 13436 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
2625simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
2721, 22, 12, 24, 26lttrd 11413 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 𝑥)
2812, 27elrpd 13065 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2910, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3020, 29rpdivcld 13085 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
3130adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
32 ppinncl 27213 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
3313, 18, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℕ)
3433nnrpd 13066 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
3512, 26rplogcld 26667 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
3610, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
3734, 36rpmulcld 13084 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
3820, 37rpdivcld 13085 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
3938adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
4029ssriv 3999 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
41 resmpt 6051 . . . . . . . 8 ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
43 pnt2 27653 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
44 rlimres 15580 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
4543, 44mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
4642, 45eqbrtrrid 5185 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
47 chtppilim 27515 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
4847a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
49 ax-1ne0 11215 . . . . . . 7 1 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 0)
5138rpne0d 13073 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
5251adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
5331, 39, 46, 48, 50, 52rlimdiv 15668 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
5413recnd 11280 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
55 chtcl 27148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
5612, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
5756recnd 11280 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
5810, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
5954, 58mulcomd 11273 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 · (θ‘𝑥)) = ((θ‘𝑥) · 𝑥))
6059oveq2d 7441 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)))
6137rpcnd 13070 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
6229rpne0d 13073 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ≠ 0)
6320rpne0d 13073 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
6461, 54, 58, 62, 63divcan5d 12060 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
6560, 64eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
6637rpne0d 13073 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
6758, 54, 58, 61, 62, 66, 63divdivdivd 12081 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))))
6833nncnd 12273 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℂ)
6936rpcnd 13070 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
7036rpne0d 13073 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
7168, 54, 69, 62, 70divdiv2d 12066 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
7265, 67, 713eqtr4d 2783 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
7372mpteq2ia 5252 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
74 1div1e1 11949 . . . . 5 (1 / 1) = 1
7553, 73, 743brtr3g 5182 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
769, 75eqbrtrd 5171 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
77 ppicl 27170 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (π𝑥) ∈ ℕ0)
7812, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℕ0)
7978nn0red 12579 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ)
8028, 35rpdivcld 13085 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
8179, 80rerpdivcld 13099 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
8281recnd 11280 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
8382adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
8483fmpttd 7129 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))):(1(,)+∞)⟶ℂ)
8511a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
8614a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
8784, 85, 86rlimresb 15587 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1))
8876, 87mpbird 257 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
8988mptru 1542 1 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  w3a 1085   = wceq 1535  wtru 1536  wcel 2104  wne 2936  wss 3963   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cres 5685  cfv 6558  (class class class)co 7425  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151  +∞cpnf 11283  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287   / cdiv 11911  cn 12257  2c2 12312  0cn0 12517  +crp 13025  (,)cioo 13377  [,)cico 13379  𝑟 crli 15507  logclog 26592  θccht 27130  πcppi 27133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5117  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-of 7691  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-supp 8179  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-oadd 8503  df-er 8738  df-map 8861  df-pm 8862  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12982  df-rp 13026  df-xneg 13145  df-xadd 13146  df-xmul 13147  df-ioo 13381  df-ioc 13382  df-ico 13383  df-icc 13384  df-fz 13538  df-fzo 13682  df-fl 13818  df-mod 13896  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14299  df-bc 14328  df-hash 14356  df-shft 15092  df-cj 15124  df-re 15125  df-im 15126  df-sqrt 15260  df-abs 15261  df-limsup 15493  df-clim 15510  df-rlim 15511  df-o1 15512  df-lo1 15513  df-sum 15709  df-ef 16089  df-e 16090  df-sin 16091  df-cos 16092  df-tan 16093  df-pi 16094  df-dvds 16277  df-gcd 16518  df-prm 16695  df-pc 16860  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17458  df-topn 17459  df-0g 17477  df-gsum 17478  df-topgen 17479  df-pt 17480  df-prds 17483  df-xrs 17538  df-qtop 17543  df-imas 17544  df-xps 17546  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-acs 17623  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18795  df-mulg 19084  df-cntz 19333  df-cmn 19800  df-psmet 21355  df-xmet 21356  df-met 21357  df-bl 21358  df-mopn 21359  df-fbas 21360  df-fg 21361  df-cnfld 21364  df-top 22897  df-topon 22914  df-topsp 22936  df-bases 22950  df-cld 23024  df-ntr 23025  df-cls 23026  df-nei 23103  df-lp 23141  df-perf 23142  df-cn 23232  df-cnp 23233  df-haus 23320  df-cmp 23392  df-tx 23567  df-hmeo 23760  df-fil 23851  df-fm 23943  df-flim 23944  df-flf 23945  df-xms 24327  df-ms 24328  df-tms 24329  df-cncf 24899  df-limc 25897  df-dv 25898  df-ulm 26416  df-log 26594  df-cxp 26595  df-atan 26906  df-em 27032  df-cht 27136  df-vma 27137  df-chp 27138  df-ppi 27139  df-mu 27140
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator