Theorem pnt 27853

Description: The Prime Number Theorem: the number of prime numbers less than 𝑥 tends asymptotically to 𝑥 / log(𝑥) as 𝑥 goes to infinity. This is Metamath 100 proof #5. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt	⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11295	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		1lt2 12440	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
3		df-ioo 13405	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
4		df-ico 13407	. . . . . . 7 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5		xrltletr 13211	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑤) → 1 < 𝑤))
6	3, 4, 5	ixxss1 13419	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 < 2) → (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞))
7	1, 2, 6	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞)
8		resmpt 6033	. . . . 5 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞) → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
9	7, 8	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
10	7	sseli 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
11		ioossre 13463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
12	11	sseli 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		2re 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		pnfxr 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		elico2 13466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
18	17	simp2bi 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
19		chtrpcl 27414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
20	13, 18, 19	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
21		0red 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
22		1red 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
23		0lt1 11763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 1)
25		eliooord 13461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
26	25	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
27	21, 22, 12, 24, 26	lttrd 11398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 𝑥)
28	12, 27	elrpd 13086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	10, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
30	20, 29	rpdivcld 13106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
31	30	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
32		ppinncl 27413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
33	13, 18, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
34	33	nnrpd 13087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
35	12, 26	rplogcld 26869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
36	10, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
37	34, 36	rpmulcld 13105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
38	20, 37	rpdivcld 13106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
39	38	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
40	29	ssriv 3935	. . . . . . . 8 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
41		resmpt 6033	. . . . . . . 8 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
43		pnt2 27852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
44		rlimres 15648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
45	43, 44	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
46	42, 45	eqbrtrrid 5141	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
47		chtppilim 27714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
49		ax-1ne0 11196	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
51	38	rpne0d 13094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
52	51	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
53	31, 39, 46, 48, 50, 52	rlimdiv 15736	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
54	13	recnd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
55		chtcl 27348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
56	12, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
58	10, 57	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
59	54, 58	mulcomd 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 · (θ‘𝑥)) = ((θ‘𝑥) · 𝑥))
60	59	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)))
61	37	rpcnd 13091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
62	29	rpne0d 13094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ≠ 0)
63	20	rpne0d 13094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
64	61, 54, 58, 62, 63	divcan5d 12044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
65	60, 64	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
66	37	rpne0d 13094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
67	58, 54, 58, 61, 62, 66, 63	divdivdivd 12065	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))))
68	33	nncnd 12276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
69	36	rpcnd 13091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
70	36	rpne0d 13094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
71	68, 54, 69, 62, 70	divdiv2d 12050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
72	65, 67, 71	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
73	72	mpteq2ia 5200	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
74		1div1e1 11932	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
75	53, 73, 74	3brtr3g 5138	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
76	9, 75	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
77		ppicl 27370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (π‘𝑥) ∈ ℕ0)
78	12, 77	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ0)
79	78	nn0red 12593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ)
80	28, 35	rpdivcld 13106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
81	79, 80	rerpdivcld 13120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
82	81	recnd 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
83	82	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
84	83	fmpttd 7109	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))):(1(,)+∞)⟶ℂ)
85	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
86	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
87	84, 85, 86	rlimresb 15655	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1))
88	76, 87	mpbird 260	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
89	88	mptru 1577	1 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ℝ⁺crp 13045  (,)cioo 13401  [,)cico 13403   ⇝_𝑟 crli 15575  logclog 26794  θccht 27330  πcppi 27333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ioc 13406  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-fac 14341  df-bc 14370  df-hash 14398  df-shft 15143  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-limsup 15561  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-o1 15580  df-lo1 15581  df-sum 15777  df-ef 16156  df-e 16157  df-sin 16158  df-cos 16159  df-tan 16160  df-pi 16161  df-dvds 16346  df-gcd 16588  df-prm 16765  df-pc 16932  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-mulg 19194  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-fbas 21585  df-fg 21586  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-ntr 23248  df-cls 23249  df-nei 23326  df-lp 23364  df-perf 23365  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-haus 23543  df-cmp 23615  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-fil 24075  df-fm 24167  df-flim 24168  df-flf 24169  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-cncf 25109  df-limc 26096  df-dv 26097  df-ulm 26616  df-log 26796  df-cxp 26797  df-atan 27107  df-em 27232  df-cht 27336  df-vma 27337  df-chp 27338  df-ppi 27339  df-mu 27340

This theorem is used by: (None)