MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnt 25523
Description: The Prime Number Theorem: the number of prime numbers less than 𝑥 tends asymptotically to 𝑥 / log(𝑥) as 𝑥 goes to infinity. This is Metamath 100 proof #5. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
pnt (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10244 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
21rexri 10302 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
3 1lt2 11400 . . . . . 6 1 < 2
4 df-ioo 12383 . . . . . . 7 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
5 df-ico 12385 . . . . . . 7 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
6 xrltletr 12192 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑤) → 1 < 𝑤))
74, 5, 6ixxss1 12397 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 < 2) → (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞))
82, 3, 7mp2an 672 . . . . 5 (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞)
9 resmpt 5589 . . . . 5 ((2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞) → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
108, 9mp1i 13 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
118sseli 3748 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
12 ioossre 12439 . . . . . . . . . . 11 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
1312sseli 3748 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 2re 11295 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
16 pnfxr 10297 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
17 elico2 12441 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥𝑥 < +∞)))
1815, 16, 17mp2an 672 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥𝑥 < +∞))
1918simp2bi 1140 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
20 chtrpcl 25121 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
2114, 19, 20syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
22 0red 10246 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
24 0lt1 10755 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 1)
26 eliooord 12437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
2726simpld 482 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
2822, 23, 13, 25, 27lttrd 10403 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 𝑥)
2913, 28elrpd 12071 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3011, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3121, 30rpdivcld 12091 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
3231adantl 467 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
33 ppinncl 25120 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
3414, 19, 33syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℕ)
3534nnrpd 12072 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
3613, 27rplogcld 24595 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
3711, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
3835, 37rpmulcld 12090 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
3921, 38rpdivcld 12091 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
4039adantl 467 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
4130ssriv 3756 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
42 resmpt 5589 . . . . . . . 8 ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
44 pnt2 25522 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
45 rlimres 14496 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
4644, 45mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
4743, 46syl5eqbrr 4823 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
48 chtppilim 25384 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
4948a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
50 ax-1ne0 10210 . . . . . . 7 1 ≠ 0
5150a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 0)
5239rpne0d 12079 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
5352adantl 467 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
5432, 40, 47, 49, 51, 53rlimdiv 14583 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
5514recnd 10273 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
56 chtcl 25055 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
5713, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
5857recnd 10273 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
5911, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
6055, 59mulcomd 10266 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 · (θ‘𝑥)) = ((θ‘𝑥) · 𝑥))
6160oveq2d 6811 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)))
6238rpcnd 12076 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
6330rpne0d 12079 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ≠ 0)
6421rpne0d 12079 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
6562, 55, 59, 63, 64divcan5d 11032 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
6661, 65eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
6738rpne0d 12079 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
6859, 55, 59, 62, 63, 67, 64divdivdivd 11053 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((θ‘𝑥) · ((π𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))))
6934nncnd 11241 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℂ)
7037rpcnd 12076 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
7137rpne0d 12079 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
7269, 55, 70, 63, 71divdiv2d 11038 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
7366, 68, 723eqtr4d 2815 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
7473mpteq2ia 4875 . . . . 5 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
75 1div1e1 10922 . . . . 5 (1 / 1) = 1
7654, 74, 753brtr3g 4820 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
7710, 76eqbrtrd 4809 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
78 ppicl 25077 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (π𝑥) ∈ ℕ0)
7913, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℕ0)
8079nn0red 11558 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π𝑥) ∈ ℝ)
8129, 36rpdivcld 12091 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
8280, 81rerpdivcld 12105 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
8382recnd 10273 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
8483adantl 467 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
85 eqid 2771 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
8684, 85fmptd 6529 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))):(1(,)+∞)⟶ℂ)
8712a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
8815a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
8986, 87, 88rlimresb 14503 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1))
9077, 89mpbird 247 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
9190trud 1641 1 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  wne 2943  wss 3723   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cres 5252  cfv 6030  (class class class)co 6795  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   · cmul 10146  +∞cpnf 10276  *cxr 10278   < clt 10279  cle 10280   / cdiv 10889  cn 11225  2c2 11275  0cn0 11498  +crp 12034  (,)cioo 12379  [,)cico 12381  𝑟 crli 14423  logclog 24521  θccht 25037  πcppi 25040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-xnn0 11570  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-o1 14428  df-lo1 14429  df-sum 14624  df-ef 15003  df-e 15004  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-pc 15748  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524  df-em 24939  df-cht 25043  df-vma 25044  df-chp 25045  df-ppi 25046  df-mu 25047
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator