Theorem pnt 27998

Description: The Prime Number Theorem: the number of prime numbers less than 𝑥 tends asymptotically to 𝑥 / log(𝑥) as 𝑥 goes to infinity. This is Metamath 100 proof #5. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt	⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11407	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		1lt2 12555	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
3		df-ioo 13520	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
4		df-ico 13522	. . . . . . 7 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5		xrltletr 13326	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑤) → 1 < 𝑤))
6	3, 4, 5	ixxss1 13534	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 < 2) → (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞))
7	1, 2, 6	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞)
8		resmpt 6047	. . . . 5 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞) → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
9	7, 8	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
10	7	sseli 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
11		ioossre 13578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
12	11	sseli 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		2re 12457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		pnfxr 11402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		elico2 13581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
18	17	simp2bi 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
19		chtrpcl 27559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
20	13, 18, 19	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
21		0red 11350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
22		1red 11348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
23		0lt1 11878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 1)
25		eliooord 13576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
26	25	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
27	21, 22, 12, 24, 26	lttrd 11510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 𝑥)
28	12, 27	elrpd 13201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	10, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
30	20, 29	rpdivcld 13221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
31	30	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
32		ppinncl 27558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
33	13, 18, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
34	33	nnrpd 13202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
35	12, 26	rplogcld 27014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
36	10, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
37	34, 36	rpmulcld 13220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
38	20, 37	rpdivcld 13221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
39	38	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
40	29	ssriv 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
41		resmpt 6047	. . . . . . . 8 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
43		pnt2 27997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
44		rlimres 15769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
45	43, 44	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
46	42, 45	eqbrtrrid 5147	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
47		chtppilim 27859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
49		ax-1ne0 11308	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
51	38	rpne0d 13209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
52	51	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
53	31, 39, 46, 48, 50, 52	rlimdiv 15857	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
54	13	recnd 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
55		chtcl 27493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
56	12, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
58	10, 57	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
59	54, 58	mulcomd 11369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 · (θ‘𝑥)) = ((θ‘𝑥) · 𝑥))
60	59	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)))
61	37	rpcnd 13206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
62	29	rpne0d 13209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ≠ 0)
63	20	rpne0d 13209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
64	61, 54, 58, 62, 63	divcan5d 12159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
65	60, 64	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
66	37	rpne0d 13209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
67	58, 54, 58, 61, 62, 66, 63	divdivdivd 12180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))))
68	33	nncnd 12391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
69	36	rpcnd 13206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
70	36	rpne0d 13209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
71	68, 54, 69, 62, 70	divdiv2d 12165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
72	65, 67, 71	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
73	72	mpteq2ia 5206	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
74		1div1e1 12047	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
75	53, 73, 74	3brtr3g 5144	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
76	9, 75	eqbrtrd 5133	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
77		ppicl 27515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (π‘𝑥) ∈ ℕ0)
78	12, 77	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ0)
79	78	nn0red 12708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ)
80	28, 35	rpdivcld 13221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
81	79, 80	rerpdivcld 13235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
82	81	recnd 11376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
83	82	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
84	83	fmpttd 7147	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))):(1(,)+∞)⟶ℂ)
85	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
86	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
87	84, 85, 86	rlimresb 15776	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1))
88	76, 87	mpbird 260	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
89	88	mptru 1577	1 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646  ℝ⁺crp 13160  (,)cioo 13516  [,)cico 13518   ⇝_𝑟 crli 15696  logclog 26939  θccht 27475  πcppi 27478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-o1 15701  df-lo1 15702  df-sum 15898  df-ef 16277  df-e 16278  df-sin 16279  df-cos 16280  df-tan 16281  df-pi 16282  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891  df-pc 17059  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-ulm 26761  df-log 26941  df-cxp 26942  df-atan 27252  df-em 27377  df-cht 27481  df-vma 27482  df-chp 27483  df-ppi 27484  df-mu 27485

This theorem is used by: (None)