Theorem pnt 27593

Description: The Prime Number Theorem: the number of prime numbers less than 𝑥 tends asymptotically to 𝑥 / log(𝑥) as 𝑥 goes to infinity. This is Metamath 100 proof #5. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pnt	⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem pnt

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11203	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		1lt2 12323	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
3		df-ioo 13277	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
4		df-ico 13279	. . . . . . 7 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
5		xrltletr 13083	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑤) → 1 < 𝑤))
6	3, 4, 5	ixxss1 13291	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 < 2) → (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞))
7	1, 2, 6	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞)
8		resmpt 6004	. . . . 5 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ (1(,)+∞) → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
9	7, 8	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
10	7	sseli 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
11		ioossre 13335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
12	11	sseli 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
14		2re 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
15		pnfxr 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16		elico2 13338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
17	14, 15, 16	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
18	17	simp2bi 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑥)
19		chtrpcl 27153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
20	13, 18, 19	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
21		0red 11147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 ∈ ℝ)
22		1red 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
23		0lt1 11671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 1)
25		eliooord 13333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
26	25	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 1 < 𝑥)
27	21, 22, 12, 24, 26	lttrd 11306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 0 < 𝑥)
28	12, 27	elrpd 12958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	10, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
30	20, 29	rpdivcld 12978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ+)
32		ppinncl 27152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
33	13, 18, 32	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
34	33	nnrpd 12959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
35	12, 26	rplogcld 26606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
36	10, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
37	34, 36	rpmulcld 12977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
38	20, 37	rpdivcld 12978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
40	29	ssriv 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ+
41		resmpt 6004	. . . . . . . 8 ⊢ ((2[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
43		pnt2 27592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
44		rlimres 15493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
46	42, 45	eqbrtrrid 5136	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
47		chtppilim 27454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
49		ax-1ne0 11107	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
51	38	rpne0d 12966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
52	51	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
53	31, 39, 46, 48, 50, 52	rlimdiv 15581	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
54	13	recnd 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
55		chtcl 27087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
56	12, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
58	10, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ∈ ℂ)
59	54, 58	mulcomd 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (𝑥 · (θ‘𝑥)) = ((θ‘𝑥) · 𝑥))
60	59	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)))
61	37	rpcnd 12963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
62	29	rpne0d 12966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ≠ 0)
63	20	rpne0d 12966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (θ‘𝑥) ≠ 0)
64	61, 54, 58, 62, 63	divcan5d 11955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / ((θ‘𝑥) · 𝑥)) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
65	60, 64	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
66	37	rpne0d 12966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)
67	58, 54, 58, 61, 62, 66, 63	divdivdivd 11976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((θ‘𝑥) · ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) / (𝑥 · (θ‘𝑥))))
68	33	nncnd 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
69	36	rpcnd 12963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
70	36	rpne0d 12966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (log‘𝑥) ≠ 0)
71	68, 54, 69, 62, 70	divdiv2d 11961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
72	65, 67, 71	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
73	72	mpteq2ia 5195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
74		1div1e1 11844	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) = 1
75	53, 73, 74	3brtr3g 5133	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
76	9, 75	eqbrtrd 5122	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1)
77		ppicl 27109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (π‘𝑥) ∈ ℕ0)
78	12, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℕ0)
79	78	nn0red 12475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (π‘𝑥) ∈ ℝ)
80	28, 35	rpdivcld 12978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (𝑥 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
81	79, 80	rerpdivcld 12992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
82	81	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
83	82	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
84	83	fmpttd 7069	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))):(1(,)+∞)⟶ℂ)
85	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1(,)+∞) ⊆ ℝ)
86	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
87	84, 85, 86	rlimresb 15500	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1 ↔ ((𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↾ (2[,)+∞)) ⇝𝑟 1))
88	76, 87	mpbird 257	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
89	88	mptru 1549	1 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℝ⁺crp 12917  (,)cioo 13273  [,)cico 13275   ⇝_𝑟 crli 15420  logclog 26531  θccht 27069  πcppi 27072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-o1 15425  df-lo1 15426  df-sum 15622  df-ef 16002  df-e 16003  df-sin 16004  df-cos 16005  df-tan 16006  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-pc 16777  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-ulm 26354  df-log 26533  df-cxp 26534  df-atan 26845  df-em 26971  df-cht 27075  df-vma 27076  df-chp 27077  df-ppi 27078  df-mu 27079

This theorem is referenced by: (None)