Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  symgcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgcntz 32752
Description: All elements of a (finite) set of permutations commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
symgcntz.s ๐‘† = (SymGrpโ€˜๐ท)
symgcntz.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
symgcntz.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘†)
symgcntz.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
symgcntz.1 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด dom (๐‘ฅ โˆ– I ))
Assertion
Ref Expression
symgcntz (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ (๐‘โ€˜๐ด))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ)   ๐‘†(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem symgcntz
Dummy variables ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ = ๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘)
21oveq1d 7420 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ = ๐‘‘) โ†’ (๐‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘‘) = (๐‘‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘‘))
31oveq2d 7421 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ = ๐‘‘) โ†’ (๐‘‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘) = (๐‘‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘‘))
42, 3eqtr4d 2769 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ = ๐‘‘) โ†’ (๐‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘‘) = (๐‘‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘))
5 symgcntz.s . . . . . 6 ๐‘† = (SymGrpโ€˜๐ท)
6 symgcntz.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
7 symgcntz.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
87ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ ๐ด โІ ๐ต)
9 simplrl 774 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ด)
108, 9sseldd 3978 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
11 simplrr 775 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)
128, 11sseldd 3978 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ ๐ต)
13 symgcntz.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด dom (๐‘ฅ โˆ– I ))
1413ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด dom (๐‘ฅ โˆ– I ))
15 simpr 484 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘‘)
16 difeq1 4110 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆ– I ) = (๐‘ โˆ– I ))
1716dmeqd 5899 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) = dom (๐‘ โˆ– I ))
18 difeq1 4110 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆ– I ) = (๐‘‘ โˆ– I ))
1918dmeqd 5899 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‘ โ†’ dom (๐‘ฅ โˆ– I ) = dom (๐‘‘ โˆ– I ))
2017, 19disji2 5123 . . . . . . 7 ((Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด dom (๐‘ฅ โˆ– I ) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ (dom (๐‘ โˆ– I ) โˆฉ dom (๐‘‘ โˆ– I )) = โˆ…)
2114, 9, 11, 15, 20syl121anc 1372 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ (dom (๐‘ โˆ– I ) โˆฉ dom (๐‘‘ โˆ– I )) = โˆ…)
225, 6, 10, 12, 21symgcom2 32751 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ (๐‘ โˆ˜ ๐‘‘) = (๐‘‘ โˆ˜ ๐‘))
23 eqid 2726 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘†) = (+gโ€˜๐‘†)
245, 6, 23symgov 19303 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘‘) = (๐‘ โˆ˜ ๐‘‘))
2510, 12, 24syl2anc 583 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ (๐‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘‘) = (๐‘ โˆ˜ ๐‘‘))
265, 6, 23symgov 19303 . . . . . 6 ((๐‘‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘) = (๐‘‘ โˆ˜ ๐‘))
2712, 10, 26syl2anc 583 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ (๐‘‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘) = (๐‘‘ โˆ˜ ๐‘))
2822, 25, 273eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘‘) โ†’ (๐‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘‘) = (๐‘‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘))
294, 28pm2.61dane 3023 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘‘) = (๐‘‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘))
3029ralrimivva 3194 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐ด (๐‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘‘) = (๐‘‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘))
31 symgcntz.z . . . 4 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘†)
326, 23, 31sscntz 19242 . . 3 ((๐ด โІ ๐ต โˆง ๐ด โІ ๐ต) โ†’ (๐ด โІ (๐‘โ€˜๐ด) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐ด (๐‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘‘) = (๐‘‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘)))
337, 7, 32syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โІ (๐‘โ€˜๐ด) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘‘ โˆˆ ๐ด (๐‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘‘) = (๐‘‘(+gโ€˜๐‘†)๐‘)))
3430, 33mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ (๐‘โ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055   โˆ– cdif 3940   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  Disj wdisj 5106   I cid 5566  dom cdm 5669   โˆ˜ ccom 5673  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Cntzccntz 19231  SymGrpcsymg 19286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-efmnd 18794  df-cntz 19233  df-symg 19287
This theorem is referenced by:  tocyccntz  32809
  Copyright terms: Public domain W3C validator