Theorem symgcntz 32829

Description: All elements of a (finite) set of permutations commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgcntz.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
symgcntz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
symgcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑆)
symgcntz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
symgcntz.1	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
symgcntz	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem symgcntz

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → 𝑐 = 𝑑)
2	1	oveq1d 7441	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑑))
3	1	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑑))
4	2, 3	eqtr4d 2771	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
5		symgcntz.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		symgcntz.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		symgcntz.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		simplrl 775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sseldd 3983	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ∈ 𝐵)
11		simplrr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ 𝐴)
12	8, 11	sseldd 3983	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ 𝐵)
13		symgcntz.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))
15		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ≠ 𝑑)
16		difeq1 4115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑐 ∖ I ))
17	16	dmeqd 5912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑐 ∖ I ))
18		difeq1 4115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑑 ∖ I ))
19	18	dmeqd 5912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑑 ∖ I ))
20	17, 19	disji2 5134	. . . . . . 7 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (dom (𝑐 ∖ I ) ∩ dom (𝑑 ∖ I )) = ∅)
21	14, 9, 11, 15, 20	syl121anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (dom (𝑐 ∖ I ) ∩ dom (𝑑 ∖ I )) = ∅)
22	5, 6, 10, 12, 21	symgcom2 32828	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐 ∘ 𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑐))
23		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
24	5, 6, 23	symgov 19345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑐 ∘ 𝑑))
25	10, 12, 24	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑐 ∘ 𝑑))
26	5, 6, 23	symgov 19345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑 ∘ 𝑐))
27	12, 10, 26	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑 ∘ 𝑐))
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
29	4, 28	pm2.61dane 3026	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
30	29	ralrimivva 3198	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
31		symgcntz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑆)
32	6, 23, 31	sscntz 19284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐)))
33	7, 7, 32	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐)))
34	30, 33	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   ∖ cdif 3946   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  Disj wdisj 5117   I cid 5579  dom cdm 5682   ∘ ccom 5686  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  Cntzccntz 19273  SymGrpcsymg 19328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-tset 17259  df-efmnd 18828  df-cntz 19275  df-symg 19329

This theorem is referenced by:  tocyccntz  32886