Theorem symgcntz 33057

Description: All elements of a (finite) set of permutations commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgcntz.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
symgcntz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
symgcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑆)
symgcntz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
symgcntz.1	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
symgcntz	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem symgcntz

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → 𝑐 = 𝑑)
2	1	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑑))
3	1	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑑))
4	2, 3	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
5		symgcntz.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		symgcntz.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		symgcntz.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sseldd 3944	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ∈ 𝐵)
11		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ 𝐴)
12	8, 11	sseldd 3944	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ 𝐵)
13		symgcntz.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ≠ 𝑑)
16		difeq1 4078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑐 ∖ I ))
17	16	dmeqd 5859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑐 ∖ I ))
18		difeq1 4078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑑 ∖ I ))
19	18	dmeqd 5859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑑 ∖ I ))
20	17, 19	disji2 5086	. . . . . . 7 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (dom (𝑐 ∖ I ) ∩ dom (𝑑 ∖ I )) = ∅)
21	14, 9, 11, 15, 20	syl121anc 1377	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (dom (𝑐 ∖ I ) ∩ dom (𝑑 ∖ I )) = ∅)
22	5, 6, 10, 12, 21	symgcom2 33056	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐 ∘ 𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑐))
23		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
24	5, 6, 23	symgov 19298	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑐 ∘ 𝑑))
25	10, 12, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑐 ∘ 𝑑))
26	5, 6, 23	symgov 19298	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑 ∘ 𝑐))
27	12, 10, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑 ∘ 𝑐))
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
29	4, 28	pm2.61dane 3012	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
30	29	ralrimivva 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
31		symgcntz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑆)
32	6, 23, 31	sscntz 19240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐)))
33	7, 7, 32	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐)))
34	30, 33	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  Disj wdisj 5069   I cid 5525  dom cdm 5631   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  Cntzccntz 19229  SymGrpcsymg 19283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18778  df-cntz 19231  df-symg 19284

This theorem is referenced by:  tocyccntz  33116