Theorem symgcntz 33267

Description: All elements of a (finite) set of permutations commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgcntz.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
symgcntz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
symgcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑆)
symgcntz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
symgcntz.1	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
symgcntz	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem symgcntz

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → 𝑐 = 𝑑)
2	1	oveq1d 7413	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑑))
3	1	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑑))
4	2, 3	eqtr4d 2802	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
5		symgcntz.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		symgcntz.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		symgcntz.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		simplrl 786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ∈ 𝐵)
11		simplrr 787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ 𝐴)
12	8, 11	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ 𝐵)
13		symgcntz.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))
14	13	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))
15		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ≠ 𝑑)
16		difeq1 4075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑐 ∖ I ))
17	16	dmeqd 5883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑐 ∖ I ))
18		difeq1 4075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑑 ∖ I ))
19	18	dmeqd 5883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑑 ∖ I ))
20	17, 19	disji2 5086	. . . . . . 7 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (dom (𝑐 ∖ I ) ∩ dom (𝑑 ∖ I )) = ∅)
21	14, 9, 11, 15, 20	syl121anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (dom (𝑐 ∖ I ) ∩ dom (𝑑 ∖ I )) = ∅)
22	5, 6, 10, 12, 21	symgcom2 33266	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐 ∘ 𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑐))
23		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
24	5, 6, 23	symgov 19426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑐 ∘ 𝑑))
25	10, 12, 24	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑐 ∘ 𝑑))
26	5, 6, 23	symgov 19426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑 ∘ 𝑐))
27	12, 10, 26	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑 ∘ 𝑐))
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2809	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
29	4, 28	pm2.61dane 3046	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
30	29	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
31		symgcntz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑆)
32	6, 23, 31	sscntz 19368	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐)))
33	7, 7, 32	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐)))
34	30, 33	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  Disj wdisj 5069   I cid 5543  dom cdm 5649   ∘ ccom 5653  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  Cntzccntz 19357  SymGrpcsymg 19411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-tset 17307  df-efmnd 18905  df-cntz 19359  df-symg 19412

This theorem is referenced by:  tocyccntz  33326