Theorem symgcntz 33120

Description: All elements of a (finite) set of permutations commute if their orbits are disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgcntz.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
symgcntz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
symgcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑆)
symgcntz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
symgcntz.1	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
symgcntz	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem symgcntz

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → 𝑐 = 𝑑)
2	1	oveq1d 7453	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑑))
3	1	oveq2d 7454	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑑))
4	2, 3	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 = 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
5		symgcntz.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		symgcntz.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		symgcntz.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ∈ 𝐴)
10	8, 9	sseldd 3999	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ∈ 𝐵)
11		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ 𝐴)
12	8, 11	sseldd 3999	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ 𝐵)
13		symgcntz.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ))
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝑐 ≠ 𝑑)
16		difeq1 4132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑐 ∖ I ))
17	16	dmeqd 5923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑐 ∖ I ))
18		difeq1 4132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (𝑥 ∖ I ) = (𝑑 ∖ I ))
19	18	dmeqd 5923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → dom (𝑥 ∖ I ) = dom (𝑑 ∖ I ))
20	17, 19	disji2 5135	. . . . . . 7 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 dom (𝑥 ∖ I ) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (dom (𝑐 ∖ I ) ∩ dom (𝑑 ∖ I )) = ∅)
21	14, 9, 11, 15, 20	syl121anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (dom (𝑐 ∖ I ) ∩ dom (𝑑 ∖ I )) = ∅)
22	5, 6, 10, 12, 21	symgcom2 33119	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐 ∘ 𝑑) = (𝑑 ∘ 𝑐))
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
24	5, 6, 23	symgov 19425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑐 ∘ 𝑑))
25	10, 12, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑐 ∘ 𝑑))
26	5, 6, 23	symgov 19425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑 ∘ 𝑐))
27	12, 10, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑑(+g‘𝑆)𝑐) = (𝑑 ∘ 𝑐))
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
29	4, 28	pm2.61dane 3029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
30	29	ralrimivva 3202	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐))
31		symgcntz.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑆)
32	6, 23, 31	sscntz 19366	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐)))
33	7, 7, 32	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐴 ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑐(+g‘𝑆)𝑑) = (𝑑(+g‘𝑆)𝑐)))
34	30, 33	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑍‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∖ cdif 3963   ∩ cin 3965   ⊆ wss 3966  ∅c0 4342  Disj wdisj 5118   I cid 5586  dom cdm 5693   ∘ ccom 5697  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  +_gcplusg 17307  Cntzccntz 19355  SymGrpcsymg 19410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-disj 5119  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-tset 17326  df-efmnd 18904  df-cntz 19357  df-symg 19411

This theorem is referenced by:  tocyccntz  33179