Theorem mplcoe5lem 21964

Description: Lemma for mplcoe4 22002. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplcoe1.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplcoe1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplcoe1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mplcoe1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplcoe2.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
mplcoe2.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
mplcoe2.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplcoe5.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
mplcoe5.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
mplcoe5.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mplcoe5lem	⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘, ↑ ,𝑦   1 ,𝑘   𝑥,𝑦, 1   𝑘,𝐺,𝑥   𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,𝑘,𝑥,𝑦   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   0 ,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑊,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦, ↑   𝑆,𝑘,𝑦,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑘)   𝑆(𝑓)   1 (𝑓)   ↑ (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem mplcoe5lem

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3473	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))
3	2	elrnmpt 5952	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
4	1, 3	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
5		vex 3473	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	2	elrnmpt 5952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
8		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑌‘𝑘) = (𝑌‘𝑙))
9		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑉‘𝑘) = (𝑉‘𝑙))
10	8, 9	oveq12d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)))
11	10	eqeq2d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ↔ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))))
12	11	cbvrexvw 3230	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)))
13		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14		mplcoe2.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
15		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
16	14, 15	mgpplusg 20069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝐺)
17	16	eqcomi 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝐺) = (.r‘𝑃)
18		mplcoe2.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
19		mplcoe1.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
20		mplcoe5.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21		mplcoe1.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
22	21	mplring 21948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
23	19, 20, 22	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
24		ringsrg 20222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ SRing)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ SRing)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
28	14, 13	mgpbas 20071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
29	14	ringmgp 20170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
30	23, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
32		mplcoe5.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐼)
33	32	sseld 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ 𝑆 → 𝑙 ∈ 𝐼))
34	33	imdistani 568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐼))
35		mplcoe5.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
36		mplcoe1.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
37	36	psrbag 21837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑌 ∈ 𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
38	19, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
39	35, 38	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑌 “ ℕ) ∈ Fin))
40	39	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
41	40	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑙) ∈ ℕ0)
42	34, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑙) ∈ ℕ0)
43		mplcoe2.v	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
44	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑊)
45	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
46	32	sselda 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝑙 ∈ 𝐼)
47	21, 43, 13, 44, 45, 46	mvrcl 21921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
48	28, 18, 31, 42, 47	mulgnn0cld 19041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
50	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑊)
51	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
52	32	sselda 3978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝐼)
53	21, 43, 13, 50, 51, 52	mvrcl 21921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
54	53	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
55	40	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
56	52, 55	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
57	56	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
58	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
59	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑙) ∈ ℕ0)
60		mplcoe5.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
61		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑙))
62	61	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)))
63	61	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
64	62, 63	eqeq12d 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → (((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) ↔ ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦))))
65		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑉‘𝑦) = (𝑉‘𝑘))
66	65	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)))
67	65	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)))
68	66, 67	eqeq12d 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) ↔ ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
69	64, 68	rspc2v 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
70	46, 52	anim12dan 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)) → (𝑙 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼))
71	69, 70	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) → ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
72	71	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) → (𝜑 → ((𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)))))
73	60, 72	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
74	73	impl 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)))
75	13, 17, 14, 18, 27, 54, 58, 59, 74	srgpcomp 20149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)) = ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))))
76	13, 17, 14, 18, 27, 49, 54, 57, 75	srgpcomp 20149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
77		oveq12 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))))
78		oveq12 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
79	78	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
80	77, 79	eqeq12d 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))))
81	76, 80	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
82	81	expd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
83	82	rexlimdva 3150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
84	83	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
85	84	rexlimdva 3150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
86	12, 85	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
87	7, 86	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
88	87	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
89	4, 88	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
90	89	imp32 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
91	90	ralrimivva 3195	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
92		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
93	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
94	32	sseld 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑆 → 𝑘 ∈ 𝐼))
95	94	imdistani 568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼))
96	95, 55	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
97	53, 28	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
98	92, 18, 93, 96, 97	mulgnn0cld 19041	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐺))
99	98	fmpttd 7119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))):𝑆⟶(Base‘𝐺))
100	99	frnd 6724	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺))
101		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
102		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
103	92, 101, 102	sscntz 19268	. . 3 ⊢ ((ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺)) → (ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
104	100, 100, 103	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
105	91, 104	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5671  ran crn 5673   “ cima 5675  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8836  Fincfn 8955  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12494  Basecbs 17171  +_gcplusg 17224  ._rcmulr 17225  0_gc0g 17412  Mndcmnd 18685  ._gcmg 19014  Cntzccntz 19257  mulGrpcmgp 20065  1_rcur 20112  SRingcsrg 20117  Ringcrg 20164   mVar cmvr 21825   mPoly cmpl 21826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-srg 20118  df-ring 20166  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831

This theorem is referenced by:  mplcoe5  21965