MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplcoe5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplcoe5lem 20853
Description: Lemma for mplcoe4 20886. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplcoe1.z 0 = (0g𝑅)
mplcoe1.o 1 = (1r𝑅)
mplcoe1.i (𝜑𝐼𝑊)
mplcoe2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
mplcoe2.m = (.g𝐺)
mplcoe2.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe5.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplcoe5.y (𝜑𝑌𝐷)
mplcoe5.c (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
mplcoe5.s (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mplcoe5lem (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘, ,𝑦   1 ,𝑘   𝑥,𝑦, 1   𝑘,𝐺,𝑥   𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,𝑘,𝑥,𝑦   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   0 ,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑊,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,   𝑆,𝑘,𝑦,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑘)   𝑆(𝑓)   1 (𝑓)   (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem mplcoe5lem
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3403 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) = (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))
32elrnmpt 5800 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
41, 3mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
5 vex 3403 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
62elrnmpt 5800 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
75, 6mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8 fveq2 6677 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑌𝑘) = (𝑌𝑙))
9 fveq2 6677 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑉𝑘) = (𝑉𝑙))
108, 9oveq12d 7191 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)))
1110eqeq2d 2750 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ↔ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
1211cbvrexvw 3351 . . . . . . . 8 (∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ↔ ∃𝑙𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)))
13 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
15 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑃) = (.r𝑃)
1614, 15mgpplusg 19365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝑃) = (+g𝐺)
1716eqcomi 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (.r𝑃)
18 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (.g𝐺)
19 mplcoe1.i . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐼𝑊)
20 mplcoe5.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
21 mplcoe1.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2221mplring 20837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
2319, 20, 22syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
24 ringsrg 19464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ SRing)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ SRing)
2625adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
2726adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
2814ringmgp 19425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
2923, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
3029adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
31 mplcoe5.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑆𝐼)
3231sseld 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑙𝑆𝑙𝐼))
3332imdistani 572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝜑𝑙𝐼))
34 mplcoe5.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑌𝐷)
35 mplcoe1.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3635psrbag 20733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼𝑊 → (𝑌𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
3719, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑌𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
3834, 37mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin))
3938simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℕ0)
4039ffvelrnda 6864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝐼) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
4133, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
42 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
4319adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝐼𝑊)
4420adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
4531sselda 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑙𝐼)
4621, 42, 13, 43, 44, 45mvrcl 20834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
4714, 13mgpbas 19367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
4847, 18mulgnn0cl 18365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑌𝑙) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
4930, 41, 46, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑙𝑆) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
5049adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
5119adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝐼𝑊)
5220adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
5331sselda 3878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝑘𝐼)
5421, 42, 13, 51, 52, 53mvrcl 20834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
5554adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
5639ffvelrnda 6864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5753, 56syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5857adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5946adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
6041adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
61 mplcoe5.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
62 fveq2 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑙 → (𝑉𝑥) = (𝑉𝑙))
6362oveq2d 7189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)))
6462oveq1d 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
6563, 64eqeq12d 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑙 → (((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) ↔ ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦))))
66 fveq2 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑘 → (𝑉𝑦) = (𝑉𝑘))
6766oveq1d 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)))
6866oveq2d 7189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))
6967, 68eqeq12d 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑘 → (((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) ↔ ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7065, 69rspc2v 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑙𝐼𝑘𝐼) → (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7145, 53anim12dan 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑆𝑘𝑆)) → (𝑙𝐼𝑘𝐼))
7270, 71syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → ((𝜑 ∧ (𝑙𝑆𝑘𝑆)) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7372expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → (𝜑 → ((𝑙𝑆𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))))
7461, 73mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑙𝑆𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7574impl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))
7613, 17, 14, 18, 27, 55, 59, 60, 75srgpcomp 19404 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)(𝑉𝑘)) = ((𝑉𝑘)(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
7713, 17, 14, 18, 27, 50, 55, 58, 76srgpcomp 19404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
78 oveq12 7182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
79 oveq12 7182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∧ 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8079ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8178, 80eqeq12d 2755 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
8277, 81syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
8382expd 419 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8483rexlimdva 3195 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝑆) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8584com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8685rexlimdva 3195 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑙𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8712, 86syl5bi 245 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
887, 87sylbid 243 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8988com23 86 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
904, 89sylbid 243 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
9190imp32 422 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
9291ralrimivva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
9329adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
9431sseld 3877 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑆𝑘𝐼))
9594imdistani 572 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝜑𝑘𝐼))
9695, 56syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
9754, 47eleqtrdi 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
98 eqid 2739 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9998, 18mulgnn0cl 18365 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑌𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∈ (Base‘𝐺))
10093, 96, 97, 99syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑆) → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∈ (Base‘𝐺))
101100fmpttd 6892 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))):𝑆⟶(Base‘𝐺))
102101frnd 6513 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺))
103 eqid 2739 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
104 eqid 2739 . . . 4 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
10598, 103, 104sscntz 18577 . . 3 ((ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺)) → (ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
106102, 102, 105syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
10792, 106mpbird 260 1 (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  Vcvv 3399  wss 3844  cmpt 5111  ccnv 5525  ran crn 5527  cima 5529  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7173  m cmap 8440  Fincfn 8558  cn 11719  0cn0 11979  Basecbs 16589  +gcplusg 16671  .rcmulr 16672  0gc0g 16819  Mndcmnd 18030  .gcmg 18345  Cntzccntz 18566  mulGrpcmgp 19361  1rcur 19373  SRingcsrg 19377  Ringcrg 19419   mVar cmvr 20721   mPoly cmpl 20722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-of 7428  df-ofr 7429  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-supp 7860  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-pm 8443  df-ixp 8511  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-fsupp 8910  df-oi 9050  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-seq 13464  df-hash 13786  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-sca 16687  df-vsca 16688  df-tset 16690  df-0g 16821  df-gsum 16822  df-mre 16963  df-mrc 16964  df-acs 16966  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-mhm 18075  df-submnd 18076  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-mulg 18346  df-subg 18397  df-ghm 18477  df-cntz 18568  df-cmn 19029  df-abl 19030  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-srg 19378  df-ring 19421  df-subrg 19655  df-psr 20725  df-mvr 20726  df-mpl 20727
This theorem is referenced by:  mplcoe5  20854
  Copyright terms: Public domain W3C validator