MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplcoe5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplcoe5lem 22074
Description: Lemma for mplcoe4 22112. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplcoe1.z 0 = (0g𝑅)
mplcoe1.o 1 = (1r𝑅)
mplcoe1.i (𝜑𝐼𝑊)
mplcoe2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
mplcoe2.m = (.g𝐺)
mplcoe2.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe5.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplcoe5.y (𝜑𝑌𝐷)
mplcoe5.c (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
mplcoe5.s (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mplcoe5lem (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘, ,𝑦   1 ,𝑘   𝑥,𝑦, 1   𝑘,𝐺,𝑥   𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,𝑘,𝑥,𝑦   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   0 ,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑊,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,   𝑆,𝑘,𝑦,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑘)   𝑆(𝑓)   1 (𝑓)   (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem mplcoe5lem
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3481 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) = (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))
32elrnmpt 5971 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
41, 3mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
5 vex 3481 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
62elrnmpt 5971 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
75, 6mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑌𝑘) = (𝑌𝑙))
9 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑉𝑘) = (𝑉𝑙))
108, 9oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)))
1110eqeq2d 2745 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ↔ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
1211cbvrexvw 3235 . . . . . . . 8 (∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ↔ ∃𝑙𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)))
13 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
15 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑃) = (.r𝑃)
1614, 15mgpplusg 20155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝑃) = (+g𝐺)
1716eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (.r𝑃)
18 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (.g𝐺)
19 mplcoe1.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
20 mplcoe1.i . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐼𝑊)
21 mplcoe5.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2219, 20, 21mplringd 22060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
23 ringsrg 20310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ SRing)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ SRing)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
2714, 13mgpbas 20157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
2814ringmgp 20256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
2922, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
31 mplcoe5.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑆𝐼)
3231sseld 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑙𝑆𝑙𝐼))
3332imdistani 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝜑𝑙𝐼))
34 mplcoe5.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑌𝐷)
35 mplcoe1.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3635psrbag 21954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼𝑊 → (𝑌𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
3720, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑌𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
3834, 37mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin))
3938simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℕ0)
4039ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝐼) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
4133, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
42 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
4320adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝐼𝑊)
4421adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
4531sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑙𝐼)
4619, 42, 13, 43, 44, 45mvrcl 22029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
4727, 18, 30, 41, 46mulgnn0cld 19125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑙𝑆) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
4920adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝐼𝑊)
5021adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
5131sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝑘𝐼)
5219, 42, 13, 49, 50, 51mvrcl 22029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
5352adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
5439ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5551, 54syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5655adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
5841adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
59 mplcoe5.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
60 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑙 → (𝑉𝑥) = (𝑉𝑙))
6160oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)))
6260oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
6361, 62eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑙 → (((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) ↔ ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦))))
64 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑘 → (𝑉𝑦) = (𝑉𝑘))
6564oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)))
6664oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))
6765, 66eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑘 → (((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) ↔ ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
6863, 67rspc2v 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑙𝐼𝑘𝐼) → (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
6945, 51anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑆𝑘𝑆)) → (𝑙𝐼𝑘𝐼))
7068, 69syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → ((𝜑 ∧ (𝑙𝑆𝑘𝑆)) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7170expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → (𝜑 → ((𝑙𝑆𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))))
7259, 71mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑙𝑆𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7372impl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))
7413, 17, 14, 18, 26, 53, 57, 58, 73srgpcomp 20235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)(𝑉𝑘)) = ((𝑉𝑘)(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
7513, 17, 14, 18, 26, 48, 53, 56, 74srgpcomp 20235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
76 oveq12 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
77 oveq12 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∧ 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
7877ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
7976, 78eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
8075, 79syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
8180expd 415 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8281rexlimdva 3152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝑆) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8382com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8483rexlimdva 3152 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑙𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8512, 84biimtrid 242 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
867, 85sylbid 240 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8786com23 86 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
884, 87sylbid 240 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8988imp32 418 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
9089ralrimivva 3199 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
91 eqid 2734 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9229adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
9331sseld 3993 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑆𝑘𝐼))
9493imdistani 568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝜑𝑘𝐼))
9594, 54syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
9652, 27eleqtrdi 2848 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
9791, 18, 92, 95, 96mulgnn0cld 19125 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑆) → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∈ (Base‘𝐺))
9897fmpttd 7134 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))):𝑆⟶(Base‘𝐺))
9998frnd 6744 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺))
100 eqid 2734 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
101 eqid 2734 . . . 4 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
10291, 100, 101sscntz 19356 . . 3 ((ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺)) → (ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
10399, 99, 102syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
10490, 103mpbird 257 1 (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962  cmpt 5230  ccnv 5687  ran crn 5689  cima 5691  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  Fincfn 8983  cn 12263  0cn0 12523  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17485  Mndcmnd 18759  .gcmg 19097  Cntzccntz 19345  mulGrpcmgp 20151  1rcur 20198  SRingcsrg 20203  Ringcrg 20250   mVar cmvr 21942   mPoly cmpl 21943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-srg 20204  df-ring 20252  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948
This theorem is referenced by:  mplcoe5  22075
  Copyright terms: Public domain W3C validator