MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplcoe5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplcoe5lem 20176
Description: Lemma for mplcoe4 20211. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplcoe1.z 0 = (0g𝑅)
mplcoe1.o 1 = (1r𝑅)
mplcoe1.i (𝜑𝐼𝑊)
mplcoe2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
mplcoe2.m = (.g𝐺)
mplcoe2.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe5.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplcoe5.y (𝜑𝑌𝐷)
mplcoe5.c (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
mplcoe5.s (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mplcoe5lem (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘, ,𝑦   1 ,𝑘   𝑥,𝑦, 1   𝑘,𝐺,𝑥   𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,𝑘,𝑥,𝑦   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   0 ,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑊,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,   𝑆,𝑘,𝑦,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑘)   𝑆(𝑓)   1 (𝑓)   (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem mplcoe5lem
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3495 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) = (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))
32elrnmpt 5821 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
41, 3mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
5 vex 3495 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
62elrnmpt 5821 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
75, 6mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑌𝑘) = (𝑌𝑙))
9 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑉𝑘) = (𝑉𝑙))
108, 9oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)))
1110eqeq2d 2829 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ↔ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
1211cbvrexvw 3448 . . . . . . . 8 (∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ↔ ∃𝑙𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)))
13 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
15 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑃) = (.r𝑃)
1614, 15mgpplusg 19172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝑃) = (+g𝐺)
1716eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (.r𝑃)
18 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (.g𝐺)
19 mplcoe1.i . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐼𝑊)
20 mplcoe5.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
21 mplcoe1.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2221mplring 20160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
2319, 20, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
24 ringsrg 19268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ SRing)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ SRing)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
2814ringmgp 19232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
2923, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
31 mplcoe5.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑆𝐼)
3231sseld 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑙𝑆𝑙𝐼))
3332imdistani 569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝜑𝑙𝐼))
34 mplcoe5.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑌𝐷)
35 mplcoe1.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3635psrbag 20072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼𝑊 → (𝑌𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
3719, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑌𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
3834, 37mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin))
3938simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℕ0)
4039ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝐼) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
4133, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
42 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
4319adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝐼𝑊)
4420adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
4531sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑙𝐼)
4621, 42, 13, 43, 44, 45mvrcl 20157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
4714, 13mgpbas 19174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
4847, 18mulgnn0cl 18182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑌𝑙) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
4930, 41, 46, 48syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑙𝑆) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
5119adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝐼𝑊)
5220adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
5331sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝑘𝐼)
5421, 42, 13, 51, 52, 53mvrcl 20157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
5554adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
5639ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5753, 56syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5857adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5946adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
6041adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
61 mplcoe5.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
62 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑙 → (𝑉𝑥) = (𝑉𝑙))
6362oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)))
6462oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
6563, 64eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑙 → (((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) ↔ ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦))))
66 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑘 → (𝑉𝑦) = (𝑉𝑘))
6766oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)))
6866oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))
6967, 68eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑘 → (((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) ↔ ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7065, 69rspc2v 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑙𝐼𝑘𝐼) → (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7145, 53anim12dan 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑆𝑘𝑆)) → (𝑙𝐼𝑘𝐼))
7270, 71syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → ((𝜑 ∧ (𝑙𝑆𝑘𝑆)) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7372expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → (𝜑 → ((𝑙𝑆𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))))
7461, 73mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑙𝑆𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7574impl 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))
7613, 17, 14, 18, 27, 55, 59, 60, 75srgpcomp 19211 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)(𝑉𝑘)) = ((𝑉𝑘)(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
7713, 17, 14, 18, 27, 50, 55, 58, 76srgpcomp 19211 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
78 oveq12 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
79 oveq12 7154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∧ 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8079ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8178, 80eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
8277, 81syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
8382expd 416 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8483rexlimdva 3281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝑆) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8584com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8685rexlimdva 3281 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑙𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8712, 86syl5bi 243 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
887, 87sylbid 241 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8988com23 86 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
904, 89sylbid 241 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
9190imp32 419 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
9291ralrimivva 3188 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
9329adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
9431sseld 3963 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑆𝑘𝐼))
9594imdistani 569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝜑𝑘𝐼))
9695, 56syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
9754, 47eleqtrdi 2920 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
98 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9998, 18mulgnn0cl 18182 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑌𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∈ (Base‘𝐺))
10093, 96, 97, 99syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑆) → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∈ (Base‘𝐺))
101100fmpttd 6871 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))):𝑆⟶(Base‘𝐺))
102101frnd 6514 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺))
103 eqid 2818 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
104 eqid 2818 . . . 4 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
10598, 103, 104sscntz 18394 . . 3 ((ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺)) → (ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
106102, 102, 105syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
10792, 106mpbird 258 1 (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  cmpt 5137  ccnv 5547  ran crn 5549  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  Fincfn 8497  cn 11626  0cn0 11885  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  0gc0g 16701  Mndcmnd 17899  .gcmg 18162  Cntzccntz 18383  mulGrpcmgp 19168  1rcur 19180  SRingcsrg 19184  Ringcrg 19226   mVar cmvr 20060   mPoly cmpl 20061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-srg 19185  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-psr 20064  df-mvr 20065  df-mpl 20066
This theorem is referenced by:  mplcoe5  20177
  Copyright terms: Public domain W3C validator