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Theorem mplcoe5lem 21594
Description: Lemma for mplcoe4 21632. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
mplcoe1.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mplcoe1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
mplcoe1.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplcoe2.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
mplcoe2.m ↑ = (.gβ€˜πΊ)
mplcoe2.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe5.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mplcoe5.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
mplcoe5.c (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)))
mplcoe5.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐼)
Assertion
Ref Expression
mplcoe5lem (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜, ↑ ,𝑦   1 ,π‘˜   π‘₯,𝑦, 1   π‘˜,𝐺,π‘₯   𝑓,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝐼   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑃,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑉,π‘₯   0 ,𝑓,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑓,π‘Œ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘˜,π‘Š,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦, ↑   𝑆,π‘˜,𝑦,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(π‘₯,π‘˜)   𝑆(𝑓)   1 (𝑓)   ↑ (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   π‘Š(π‘₯,𝑓)

Proof of Theorem mplcoe5lem
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3479 . . . . . 6 π‘₯ ∈ V
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))
32elrnmpt 5956 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
41, 3mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
5 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
62elrnmpt 5956 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
75, 6mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
8 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘™))
9 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘‰β€˜π‘˜) = (π‘‰β€˜π‘™))
108, 9oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)))
1110eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ↔ 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))))
1211cbvrexvw 3236 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)))
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
14 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
1614, 15mgpplusg 19991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜πΊ)
1716eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜πΊ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
18 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . 14 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
19 mplcoe1.i . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
20 mplcoe5.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21 mplcoe1.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2221mplring 21578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
2319, 20, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
24 ringsrg 20109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ SRing)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ SRing)
2625adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ 𝑃 ∈ SRing)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ 𝑃 ∈ SRing)
2814, 13mgpbas 19993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜πΊ)
2914ringmgp 20062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3023, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
32 mplcoe5.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐼)
3332sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑙 ∈ 𝑆 β†’ 𝑙 ∈ 𝐼))
3433imdistani 570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐼))
35 mplcoe5.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
36 mplcoe1.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
3736psrbag 21470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 ↔ (π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin)))
3819, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 ↔ (π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin)))
3935, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin))
4039simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
4140ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘™) ∈ β„•0)
4234, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘™) ∈ β„•0)
43 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
4419adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4520adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4632sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ 𝑙 ∈ 𝐼)
4721, 43, 13, 44, 45, 46mvrcl 21551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ (π‘‰β€˜π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
4828, 18, 31, 42, 47mulgnn0cld 18975 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5232sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
5321, 43, 13, 50, 51, 52mvrcl 21551 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘‰β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5453adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘‰β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5540ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) ∈ β„•0)
5652, 55syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) ∈ β„•0)
5756adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) ∈ β„•0)
5847adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘‰β€˜π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5942adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘™) ∈ β„•0)
60 mplcoe5.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)))
61 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑙 β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) = (π‘‰β€˜π‘™))
6261oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑙 β†’ ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)))
6361oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑙 β†’ ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)))
6462, 63eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑙 β†’ (((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦))))
65 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = π‘˜ β†’ (π‘‰β€˜π‘¦) = (π‘‰β€˜π‘˜))
6665oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = π‘˜ β†’ ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)))
6765oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = π‘˜ β†’ ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜)))
6866, 67eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = π‘˜ β†’ (((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜))))
6964, 68rspc2v 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑙 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜))))
7046, 52anim12dan 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑙 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼))
7169, 70syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜))))
7271expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑙 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜)))))
7360, 72mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑙 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜))))
7473impl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜)))
7513, 17, 14, 18, 27, 54, 58, 59, 74srgpcomp 20041 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜)) = ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))))
7613, 17, 14, 18, 27, 49, 54, 57, 75srgpcomp 20041 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) = (((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
77 oveq12 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))))
78 oveq12 7418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) ∧ π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
7978ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
8077, 79eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ↔ (((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) = (((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
8176, 80syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
8281expd 417 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
8382rexlimdva 3156 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
8483com23 86 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
8584rexlimdva 3156 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
8612, 85biimtrid 241 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
877, 86sylbid 239 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
8887com23 86 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
894, 88sylbid 239 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
9089imp32 420 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
9190ralrimivva 3201 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
92 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
9330adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
9432sseld 3982 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑆 β†’ π‘˜ ∈ 𝐼))
9594imdistani 570 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼))
9695, 55syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) ∈ β„•0)
9753, 28eleqtrdi 2844 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘‰β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
9892, 18, 93, 96, 97mulgnn0cld 18975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
9998fmpttd 7115 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))):π‘†βŸΆ(Baseβ€˜πΊ))
10099frnd 6726 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
101 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
102 eqid 2733 . . . 4 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
10392, 101, 102sscntz 19190 . . 3 ((ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
104100, 100, 103syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
10591, 104mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625  .gcmg 18950  Cntzccntz 19179  mulGrpcmgp 19987  1rcur 20004  SRingcsrg 20009  Ringcrg 20056   mVar cmvr 21458   mPoly cmpl 21459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464
This theorem is referenced by:  mplcoe5  21595
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