MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplcoe5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplcoe5lem 21440
Description: Lemma for mplcoe4 21479. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplcoe1.z 0 = (0g𝑅)
mplcoe1.o 1 = (1r𝑅)
mplcoe1.i (𝜑𝐼𝑊)
mplcoe2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
mplcoe2.m = (.g𝐺)
mplcoe2.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe5.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplcoe5.y (𝜑𝑌𝐷)
mplcoe5.c (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
mplcoe5.s (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mplcoe5lem (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘, ,𝑦   1 ,𝑘   𝑥,𝑦, 1   𝑘,𝐺,𝑥   𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,𝑘,𝑥,𝑦   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   0 ,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑊,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,   𝑆,𝑘,𝑦,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑘)   𝑆(𝑓)   1 (𝑓)   (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem mplcoe5lem
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3449 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) = (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))
32elrnmpt 5911 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
41, 3mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
5 vex 3449 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
62elrnmpt 5911 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
75, 6mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ↔ ∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑌𝑘) = (𝑌𝑙))
9 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → (𝑉𝑘) = (𝑉𝑙))
108, 9oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)))
1110eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ↔ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
1211cbvrexvw 3226 . . . . . . . 8 (∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ↔ ∃𝑙𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)))
13 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑃) = (.r𝑃)
1614, 15mgpplusg 19900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝑃) = (+g𝐺)
1716eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (.r𝑃)
18 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (.g𝐺)
19 mplcoe1.i . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐼𝑊)
20 mplcoe5.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
21 mplcoe1.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2221mplring 21424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
2319, 20, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
24 ringsrg 20013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ SRing)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ SRing)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
2814, 13mgpbas 19902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
2914ringmgp 19970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
3023, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
32 mplcoe5.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑆𝐼)
3332sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑙𝑆𝑙𝐼))
3433imdistani 569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝜑𝑙𝐼))
35 mplcoe5.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑌𝐷)
36 mplcoe1.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3736psrbag 21319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼𝑊 → (𝑌𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
3819, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑌𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
3935, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑌 “ ℕ) ∈ Fin))
4039simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℕ0)
4140ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝐼) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
4234, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
43 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
4419adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝐼𝑊)
4520adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
4632sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑙𝑆) → 𝑙𝐼)
4721, 43, 13, 44, 45, 46mvrcl 21421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
4828, 18, 31, 42, 47mulgnn0cld 18897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑙𝑆) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
5019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝐼𝑊)
5120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
5232sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝑘𝐼)
5321, 43, 13, 50, 51, 52mvrcl 21421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
5453adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
5540ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5652, 55syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5756adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
5847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑉𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
5942adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑌𝑙) ∈ ℕ0)
60 mplcoe5.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
61 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑙 → (𝑉𝑥) = (𝑉𝑙))
6261oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)))
6361oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)))
6462, 63eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑙 → (((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) ↔ ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦))))
65 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑘 → (𝑉𝑦) = (𝑉𝑘))
6665oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)))
6765oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))
6866, 67eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑘 → (((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) ↔ ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
6964, 68rspc2v 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑙𝐼𝑘𝐼) → (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7046, 52anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑙𝑆𝑘𝑆)) → (𝑙𝐼𝑘𝐼))
7169, 70syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → ((𝜑 ∧ (𝑙𝑆𝑘𝑆)) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7271expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥𝐼𝑦𝐼 ((𝑉𝑦)(+g𝐺)(𝑉𝑥)) = ((𝑉𝑥)(+g𝐺)(𝑉𝑦)) → (𝜑 → ((𝑙𝑆𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))))
7360, 72mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑙𝑆𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘))))
7473impl 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑉𝑘)(+g𝐺)(𝑉𝑙)) = ((𝑉𝑙)(+g𝐺)(𝑉𝑘)))
7513, 17, 14, 18, 27, 54, 58, 59, 74srgpcomp 19949 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)(𝑉𝑘)) = ((𝑉𝑘)(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
7613, 17, 14, 18, 27, 49, 54, 57, 75srgpcomp 19949 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
77 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))))
78 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) ∧ 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
7978ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))
8077, 79eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))(+g𝐺)((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) = (((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))(+g𝐺)((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
8176, 80syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
8281expd 416 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑙𝑆) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8382rexlimdva 3152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑙𝑆) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8483com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙𝑆) → (𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8584rexlimdva 3152 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑙𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑙) (𝑉𝑙)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8612, 85biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑘𝑆 𝑦 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
877, 86sylbid 239 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
8887com23 86 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝑆 𝑥 = ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
894, 88sylbid 239 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
9089imp32 419 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
9190ralrimivva 3197 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
92 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9330adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
9432sseld 3943 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑆𝑘𝐼))
9594imdistani 569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝜑𝑘𝐼))
9695, 55syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑌𝑘) ∈ ℕ0)
9753, 28eleqtrdi 2848 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑆) → (𝑉𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
9892, 18, 93, 96, 97mulgnn0cld 18897 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑆) → ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)) ∈ (Base‘𝐺))
9998fmpttd 7063 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))):𝑆⟶(Base‘𝐺))
10099frnd 6676 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺))
101 eqid 2736 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
102 eqid 2736 . . . 4 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
10392, 101, 102sscntz 19106 . . 3 ((ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺)) → (ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
104100, 100, 103syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))(𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
10591, 104mpbird 256 1 (𝜑 → ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘𝑆 ↦ ((𝑌𝑘) (𝑉𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  cmpt 5188  ccnv 5632  ran crn 5634  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  cn 12153  0cn0 12413  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556  .gcmg 18872  Cntzccntz 19095  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  SRingcsrg 19917  Ringcrg 19964   mVar cmvr 21307   mPoly cmpl 21308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313
This theorem is referenced by:  mplcoe5  21441
  Copyright terms: Public domain W3C validator