Theorem mplcoe5lem 21997

Description: Lemma for mplcoe4 22029. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplcoe1.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplcoe1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplcoe1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mplcoe1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplcoe2.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
mplcoe2.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
mplcoe2.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplcoe5.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
mplcoe5.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
mplcoe5.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mplcoe5lem	⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘, ↑ ,𝑦   1 ,𝑘   𝑥,𝑦, 1   𝑘,𝐺,𝑥   𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,𝑘,𝑥,𝑦   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   0 ,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑊,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦, ↑   𝑆,𝑘,𝑦,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑘)   𝑆(𝑓)   1 (𝑓)   ↑ (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem mplcoe5lem

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3463	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))
3	2	elrnmpt 5938	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
4	1, 3	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
5		vex 3463	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	2	elrnmpt 5938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
8		fveq2 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑌‘𝑘) = (𝑌‘𝑙))
9		fveq2 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑉‘𝑘) = (𝑉‘𝑙))
10	8, 9	oveq12d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)))
11	10	eqeq2d 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ↔ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))))
12	11	cbvrexvw 3221	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)))
13		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14		mplcoe2.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
15		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
16	14, 15	mgpplusg 20104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝐺)
17	16	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝐺) = (.r‘𝑃)
18		mplcoe2.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
19		mplcoe1.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
20		mplcoe1.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
21		mplcoe5.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
22	19, 20, 21	mplringd 21983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
23		ringsrg 20257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ SRing)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ SRing)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
27	14, 13	mgpbas 20105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
28	14	ringmgp 20199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
29	22, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
31		mplcoe5.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐼)
32	31	sseld 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ 𝑆 → 𝑙 ∈ 𝐼))
33	32	imdistani 568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐼))
34		mplcoe5.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
35		mplcoe1.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
36	35	psrbag 21877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑌 ∈ 𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
37	20, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
38	34, 37	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑌 “ ℕ) ∈ Fin))
39	38	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
40	39	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑙) ∈ ℕ0)
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑙) ∈ ℕ0)
42		mplcoe2.v	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
43	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑊)
44	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
45	31	sselda 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝑙 ∈ 𝐼)
46	19, 42, 13, 43, 44, 45	mvrcl 21952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
47	27, 18, 30, 41, 46	mulgnn0cld 19078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
49	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑊)
50	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
51	31	sselda 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝐼)
52	19, 42, 13, 49, 50, 51	mvrcl 21952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
53	52	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
54	39	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
55	51, 54	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
56	55	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
57	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
58	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑙) ∈ ℕ0)
59		mplcoe5.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
60		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑙))
61	60	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)))
62	60	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
63	61, 62	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → (((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) ↔ ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦))))
64		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑉‘𝑦) = (𝑉‘𝑘))
65	64	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)))
66	64	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)))
67	65, 66	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) ↔ ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
68	63, 67	rspc2v 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
69	45, 51	anim12dan 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)) → (𝑙 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼))
70	68, 69	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) → ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
71	70	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) → (𝜑 → ((𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)))))
72	59, 71	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
73	72	impl 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)))
74	13, 17, 14, 18, 26, 53, 57, 58, 73	srgpcomp 20178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)) = ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))))
75	13, 17, 14, 18, 26, 48, 53, 56, 74	srgpcomp 20178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
76		oveq12 7414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))))
77		oveq12 7414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
78	77	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
79	76, 78	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))))
80	75, 79	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
81	80	expd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
82	81	rexlimdva 3141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
83	82	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
84	83	rexlimdva 3141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
85	12, 84	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
86	7, 85	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
87	86	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
88	4, 87	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
89	88	imp32 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
90	89	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
91		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
92	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
93	31	sseld 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑆 → 𝑘 ∈ 𝐼))
94	93	imdistani 568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼))
95	94, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
96	52, 27	eleqtrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
97	91, 18, 92, 95, 96	mulgnn0cld 19078	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐺))
98	97	fmpttd 7105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))):𝑆⟶(Base‘𝐺))
99	98	frnd 6714	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺))
100		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
101		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
102	91, 100, 101	sscntz 19309	. . 3 ⊢ ((ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺)) → (ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
103	99, 99, 102	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
104	90, 103	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653  ran crn 5655   “ cima 5657  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  0_gc0g 17453  Mndcmnd 18712  ._gcmg 19050  Cntzccntz 19298  mulGrpcmgp 20100  1_rcur 20141  SRingcsrg 20146  Ringcrg 20193   mVar cmvr 21865   mPoly cmpl 21866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871

This theorem is referenced by:  mplcoe5  21998