Theorem mplcoe5lem 21600

Description: Lemma for mplcoe4 21638. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplcoe1.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplcoe1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplcoe1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mplcoe1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplcoe2.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
mplcoe2.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
mplcoe2.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplcoe5.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
mplcoe5.c	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
mplcoe5.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mplcoe5lem	⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘, ↑ ,𝑦   1 ,𝑘   𝑥,𝑦, 1   𝑘,𝐺,𝑥   𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,𝑘,𝑥,𝑦   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   0 ,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦   𝑓,𝑌,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑊,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦, ↑   𝑆,𝑘,𝑦,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑥,𝑘)   𝑆(𝑓)   1 (𝑓)   ↑ (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem mplcoe5lem

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3478	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))
3	2	elrnmpt 5955	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
4	1, 3	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
5		vex 3478	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	2	elrnmpt 5955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
8		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑌‘𝑘) = (𝑌‘𝑙))
9		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑉‘𝑘) = (𝑉‘𝑙))
10	8, 9	oveq12d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)))
11	10	eqeq2d 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ↔ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))))
12	11	cbvrexvw 3235	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)))
13		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14		mplcoe2.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
15		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
16	14, 15	mgpplusg 19993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝐺)
17	16	eqcomi 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝐺) = (.r‘𝑃)
18		mplcoe2.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
19		mplcoe1.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
20		mplcoe5.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21		mplcoe1.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
22	21	mplring 21584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
23	19, 20, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
24		ringsrg 20113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ SRing)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ SRing)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑃 ∈ SRing)
28	14, 13	mgpbas 19995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
29	14	ringmgp 20064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
30	23, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
32		mplcoe5.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐼)
33	32	sseld 3981	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ 𝑆 → 𝑙 ∈ 𝐼))
34	33	imdistani 569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐼))
35		mplcoe5.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
36		mplcoe1.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
37	36	psrbag 21476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑌 ∈ 𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
38	19, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐷 ↔ (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑌 “ ℕ) ∈ Fin)))
39	35, 38	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑌 “ ℕ) ∈ Fin))
40	39	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
41	40	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑙) ∈ ℕ0)
42	34, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑙) ∈ ℕ0)
43		mplcoe2.v	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
44	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑊)
45	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
46	32	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → 𝑙 ∈ 𝐼)
47	21, 43, 13, 44, 45, 46	mvrcl 21557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
48	28, 18, 31, 42, 47	mulgnn0cld 18977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) ∈ (Base‘𝑃))
50	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑊)
51	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
52	32	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝐼)
53	21, 43, 13, 50, 51, 52	mvrcl 21557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
54	53	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑘) ∈ (Base‘𝑃))
55	40	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
56	52, 55	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
57	56	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
58	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑙) ∈ (Base‘𝑃))
59	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑙) ∈ ℕ0)
60		mplcoe5.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
61		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → (𝑉‘𝑥) = (𝑉‘𝑙))
62	61	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)))
63	61	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
64	62, 63	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑙 → (((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) ↔ ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦))))
65		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑉‘𝑦) = (𝑉‘𝑘))
66	65	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)))
67	65	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)))
68	66, 67	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) ↔ ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
69	64, 68	rspc2v 3622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
70	46, 52	anim12dan 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)) → (𝑙 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼))
71	69, 70	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) → ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
72	71	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)) → (𝜑 → ((𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)))))
73	60, 72	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑙 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘))))
74	73	impl 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑙)) = ((𝑉‘𝑙)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)))
75	13, 17, 14, 18, 27, 54, 58, 59, 74	srgpcomp 20043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑘)) = ((𝑉‘𝑘)(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))))
76	13, 17, 14, 18, 27, 49, 54, 57, 75	srgpcomp 20043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
77		oveq12 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))))
78		oveq12 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) ∧ 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
79	78	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))
80	77, 79	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) = (((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))(+g‘𝐺)((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))))
81	76, 80	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∧ 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
82	81	expd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
83	82	rexlimdva 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
84	83	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) → (𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
85	84	rexlimdva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑙) ↑ (𝑉‘𝑙)) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
86	12, 85	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑦 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
87	7, 86	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
88	87	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑆 𝑥 = ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
89	4, 88	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
90	89	imp32 419	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
91	90	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
92		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
93	30	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
94	32	sseld 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑆 → 𝑘 ∈ 𝐼))
95	94	imdistani 569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼))
96	95, 55	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑌‘𝑘) ∈ ℕ0)
97	53, 28	eleqtrdi 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑉‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
98	92, 18, 93, 96, 97	mulgnn0cld 18977	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐺))
99	98	fmpttd 7116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))):𝑆⟶(Base‘𝐺))
100	99	frnd 6725	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺))
101		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
102		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
103	92, 101, 102	sscntz 19192	. . 3 ⊢ ((ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ (Base‘𝐺)) → (ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
104	100, 100, 103	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))∀𝑦 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))(𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
105	91, 104	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675  ran crn 5677   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℕcn 12214  ℕ₀cn0 12474  Basecbs 17146  +_gcplusg 17199  ._rcmulr 17200  0_gc0g 17387  Mndcmnd 18627  ._gcmg 18952  Cntzccntz 19181  mulGrpcmgp 19989  1_rcur 20006  SRingcsrg 20011  Ringcrg 20058   mVar cmvr 21464   mPoly cmpl 21465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-srg 20012  df-ring 20060  df-subrg 20321  df-psr 21468  df-mvr 21469  df-mpl 21470

This theorem is referenced by:  mplcoe5  21601