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Theorem mplcoe5lem 21463
Description: Lemma for mplcoe4 21502. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
mplcoe1.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mplcoe1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
mplcoe1.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplcoe2.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
mplcoe2.m ↑ = (.gβ€˜πΊ)
mplcoe2.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe5.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mplcoe5.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
mplcoe5.c (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)))
mplcoe5.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐼)
Assertion
Ref Expression
mplcoe5lem (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜, ↑ ,𝑦   1 ,π‘˜   π‘₯,𝑦, 1   π‘˜,𝐺,π‘₯   𝑓,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝐼   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑃,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑉,π‘₯   0 ,𝑓,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑓,π‘Œ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘˜,π‘Š,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦, ↑   𝑆,π‘˜,𝑦,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(π‘₯,π‘˜)   𝑆(𝑓)   1 (𝑓)   ↑ (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   π‘Š(π‘₯,𝑓)

Proof of Theorem mplcoe5lem
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3451 . . . . . 6 π‘₯ ∈ V
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))
32elrnmpt 5915 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
41, 3mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
5 vex 3451 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
62elrnmpt 5915 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
75, 6mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
8 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘™))
9 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘‰β€˜π‘˜) = (π‘‰β€˜π‘™))
108, 9oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)))
1110eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ↔ 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))))
1211cbvrexvw 3225 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)))
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
14 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
1614, 15mgpplusg 19908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜πΊ)
1716eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜πΊ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
18 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . 14 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
19 mplcoe1.i . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
20 mplcoe5.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21 mplcoe1.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2221mplring 21447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
2319, 20, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
24 ringsrg 20021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ SRing)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ SRing)
2625adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ 𝑃 ∈ SRing)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ 𝑃 ∈ SRing)
2814, 13mgpbas 19910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜πΊ)
2914ringmgp 19978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3023, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
32 mplcoe5.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐼)
3332sseld 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑙 ∈ 𝑆 β†’ 𝑙 ∈ 𝐼))
3433imdistani 570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐼))
35 mplcoe5.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
36 mplcoe1.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
3736psrbag 21342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 ↔ (π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin)))
3819, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 ↔ (π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin)))
3935, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin))
4039simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
4140ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘™) ∈ β„•0)
4234, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘™) ∈ β„•0)
43 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
4419adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4520adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4632sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ 𝑙 ∈ 𝐼)
4721, 43, 13, 44, 45, 46mvrcl 21444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ (π‘‰β€˜π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
4828, 18, 31, 42, 47mulgnn0cld 18905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5232sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
5321, 43, 13, 50, 51, 52mvrcl 21444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘‰β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5453adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘‰β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5540ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) ∈ β„•0)
5652, 55syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) ∈ β„•0)
5756adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) ∈ β„•0)
5847adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘‰β€˜π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
5942adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘™) ∈ β„•0)
60 mplcoe5.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)))
61 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑙 β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) = (π‘‰β€˜π‘™))
6261oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑙 β†’ ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)))
6361oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑙 β†’ ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)))
6462, 63eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑙 β†’ (((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦))))
65 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = π‘˜ β†’ (π‘‰β€˜π‘¦) = (π‘‰β€˜π‘˜))
6665oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = π‘˜ β†’ ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)))
6765oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = π‘˜ β†’ ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜)))
6866, 67eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = π‘˜ β†’ (((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜))))
6964, 68rspc2v 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑙 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜))))
7046, 52anim12dan 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑙 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼))
7169, 70syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜))))
7271expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑙 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜)))))
7360, 72mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑙 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜))))
7473impl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘™)) = ((π‘‰β€˜π‘™)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜)))
7513, 17, 14, 18, 27, 54, 58, 59, 74srgpcomp 19957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘˜)) = ((π‘‰β€˜π‘˜)(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))))
7613, 17, 14, 18, 27, 49, 54, 57, 75srgpcomp 19957 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) = (((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
77 oveq12 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))))
78 oveq12 7370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) ∧ π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
7978ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
8077, 79eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ↔ (((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) = (((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))(+gβ€˜πΊ)((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
8176, 80syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
8281expd 417 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
8382rexlimdva 3149 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
8483com23 86 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
8584rexlimdva 3149 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘™) ↑ (π‘‰β€˜π‘™)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
8612, 85biimtrid 241 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 𝑦 = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
877, 86sylbid 239 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
8887com23 86 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
894, 88sylbid 239 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†’ (𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
9089imp32 420 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
9190ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
92 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
9330adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
9432sseld 3947 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑆 β†’ π‘˜ ∈ 𝐼))
9594imdistani 570 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼))
9695, 55syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) ∈ β„•0)
9753, 28eleqtrdi 2844 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (π‘‰β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
9892, 18, 93, 96, 97mulgnn0cld 18905 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
9998fmpttd 7067 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))):π‘†βŸΆ(Baseβ€˜πΊ))
10099frnd 6680 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
101 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
102 eqid 2733 . . . 4 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
10392, 101, 102sscntz 19114 . . 3 ((ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
104100, 100, 103syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))βˆ€π‘¦ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
10591, 104mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝑆 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   ↦ cmpt 5192  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638   β€œ cima 5640  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Mndcmnd 18564  .gcmg 18880  Cntzccntz 19103  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  SRingcsrg 19925  Ringcrg 19972   mVar cmvr 21330   mPoly cmpl 21331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-srg 19926  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336
This theorem is referenced by:  mplcoe5  21464
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