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Theorem ttukeylem3 10545
Description: Lemma for ttukey 10552. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (𝜑𝐹:(card‘( 𝐴𝐵))–1-1-onto→( 𝐴𝐵))
ttukeylem.2 (𝜑𝐵𝐴)
ttukeylem.3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝒫 𝑥 ∩ Fin) ⊆ 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐶   𝑥,𝐺,𝑧   𝜑,𝑧   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ttukeylem3
StepHypRef Expression
1 ttukeylem.4 . . . 4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
21tfr2 8420 . . 3 (𝐶 ∈ On → (𝐺𝐶) = ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))))‘(𝐺𝐶)))
32adantl 480 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) = ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))))‘(𝐺𝐶)))
4 eqidd 2727 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))) = (𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)))))
5 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → 𝑧 = (𝐺𝐶))
65dmeqd 5904 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom 𝑧 = dom (𝐺𝐶))
71tfr1 8419 . . . . . . . . 9 𝐺 Fn On
8 onss 7785 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ On → 𝐶 ⊆ On)
98ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → 𝐶 ⊆ On)
10 fnssres 6676 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn On ∧ 𝐶 ⊆ On) → (𝐺𝐶) Fn 𝐶)
117, 9, 10sylancr 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝐺𝐶) Fn 𝐶)
1211fndmd 6657 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom (𝐺𝐶) = 𝐶)
136, 12eqtrd 2766 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom 𝑧 = 𝐶)
1413unieqd 4918 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → dom 𝑧 = 𝐶)
1513, 14eqeq12d 2742 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (dom 𝑧 = dom 𝑧𝐶 = 𝐶))
1613eqeq1d 2728 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (dom 𝑧 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅))
175rneqd 5936 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ran 𝑧 = ran (𝐺𝐶))
18 df-ima 5687 . . . . . . . 8 (𝐺𝐶) = ran (𝐺𝐶)
1917, 18eqtr4di 2784 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ran 𝑧 = (𝐺𝐶))
2019unieqd 4918 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ran 𝑧 = (𝐺𝐶))
2116, 20ifbieq2d 4549 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧) = if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)))
225, 14fveq12d 6900 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝑧 dom 𝑧) = ((𝐺𝐶)‘ 𝐶))
2314fveq2d 6897 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝐹 dom 𝑧) = (𝐹 𝐶))
2423sneqd 4635 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → {(𝐹 dom 𝑧)} = {(𝐹 𝐶)})
2522, 24uneq12d 4161 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) = (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}))
2625eleq1d 2811 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴 ↔ (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴))
27 eqidd 2727 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ∅ = ∅)
2826, 24, 27ifbieq12d 4551 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅) = if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))
2922, 28uneq12d 4161 . . . . 5 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅)) = (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)))
3015, 21, 29ifbieq12d 4551 . . . 4 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
31 onuni 7789 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ On → 𝐶 ∈ On)
3231ad3antlr 729 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
33 sucidg 6449 . . . . . . . . 9 ( 𝐶 ∈ On → 𝐶 ∈ suc 𝐶)
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶 ∈ suc 𝐶)
35 eloni 6378 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
3635ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → Ord 𝐶)
37 orduniorsuc 7831 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐶 → (𝐶 = 𝐶𝐶 = suc 𝐶))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → (𝐶 = 𝐶𝐶 = suc 𝐶))
3938orcanai 1000 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶 = suc 𝐶)
4034, 39eleqtrrd 2829 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → 𝐶𝐶)
4140fvresd 6913 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → ((𝐺𝐶)‘ 𝐶) = (𝐺 𝐶))
4241uneq1d 4159 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) = ((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}))
4342eleq1d 2811 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → ((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴))
4443ifbid 4546 . . . . . 6 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅) = if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))
4541, 44uneq12d 4161 . . . . 5 ((((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) ∧ ¬ 𝐶 = 𝐶) → (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)) = ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)))
4645ifeq2da 4555 . . . 4 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), (((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ if((((𝐺𝐶)‘ 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
4730, 46eqtrd 2766 . . 3 (((𝜑𝐶 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺𝐶)) → if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
48 fnfun 6652 . . . . 5 (𝐺 Fn On → Fun 𝐺)
497, 48ax-mp 5 . . . 4 Fun 𝐺
50 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
51 resfunexg 7224 . . . 4 ((Fun 𝐺𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) ∈ V)
5249, 50, 51sylancr 585 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) ∈ V)
53 ttukeylem.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
5453elexd 3485 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
55 funimaexg 6637 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) ∈ V)
5649, 55mpan 688 . . . . . 6 (𝐶 ∈ On → (𝐺𝐶) ∈ V)
5756uniexd 7745 . . . . 5 (𝐶 ∈ On → (𝐺𝐶) ∈ V)
58 ifcl 4568 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐺𝐶) ∈ V) → if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)) ∈ V)
5954, 57, 58syl2an 594 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ On) → if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)) ∈ V)
60 fvex 6906 . . . . 5 (𝐺 𝐶) ∈ V
61 snex 5429 . . . . . 6 {(𝐹 𝐶)} ∈ V
62 0ex 5304 . . . . . 6 ∅ ∈ V
6361, 62ifex 4573 . . . . 5 if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅) ∈ V
6460, 63unex 7746 . . . 4 ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)) ∈ V
65 ifcl 4568 . . . 4 ((if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)) ∈ V ∧ ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅)) ∈ V) → if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))) ∈ V)
6659, 64, 65sylancl 584 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ On) → if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))) ∈ V)
674, 47, 52, 66fvmptd 7008 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ On) → ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = dom 𝑧, if(dom 𝑧 = ∅, 𝐵, ran 𝑧), ((𝑧 dom 𝑧) ∪ if(((𝑧 dom 𝑧) ∪ {(𝐹 dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 dom 𝑧)}, ∅))))‘(𝐺𝐶)) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
683, 67eqtrd 2766 1 ((𝜑𝐶 ∈ On) → (𝐺𝐶) = if(𝐶 = 𝐶, if(𝐶 = ∅, 𝐵, (𝐺𝐶)), ((𝐺 𝐶) ∪ if(((𝐺 𝐶) ∪ {(𝐹 𝐶)}) ∈ 𝐴, {(𝐹 𝐶)}, ∅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  wal 1532   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  cdif 3943  cun 3944  cin 3945  wss 3946  c0 4322  ifcif 4523  𝒫 cpw 4597  {csn 4623   cuni 4905  cmpt 5228  dom cdm 5674  ran crn 5675  cres 5676  cima 5677  Ord word 6367  Oncon0 6368  suc csuc 6370  Fun wfun 6540   Fn wfn 6541  1-1-ontowf1o 6545  cfv 6546  recscrecs 8392  Fincfn 8966  cardccrd 9971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393
This theorem is referenced by:  ttukeylem4  10546  ttukeylem5  10547  ttukeylem6  10548  ttukeylem7  10549
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