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Theorem ttukeylem3 10448
Description: Lemma for ttukey 10455. (Contributed by Mario Carneiro, 11-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:(cardβ€˜(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))–1-1-ontoβ†’(βˆͺ 𝐴 βˆ– 𝐡))
ttukeylem.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
ttukeylem.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) βŠ† 𝐴))
ttukeylem.4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
Assertion
Ref Expression
ttukeylem3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (πΊβ€˜πΆ) = if(𝐢 = βˆͺ 𝐢, if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐢   π‘₯,𝐺,𝑧   πœ‘,𝑧   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑧
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)

Proof of Theorem ttukeylem3
StepHypRef Expression
1 ttukeylem.4 . . . 4 𝐺 = recs((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
21tfr2 8345 . . 3 (𝐢 ∈ On β†’ (πΊβ€˜πΆ) = ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…))))β€˜(𝐺 β†Ύ 𝐢)))
32adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (πΊβ€˜πΆ) = ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…))))β€˜(𝐺 β†Ύ 𝐢)))
4 eqidd 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))) = (𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)))))
5 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢))
65dmeqd 5862 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ dom 𝑧 = dom (𝐺 β†Ύ 𝐢))
71tfr1 8344 . . . . . . . . 9 𝐺 Fn On
8 onss 7720 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ On β†’ 𝐢 βŠ† On)
98ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ 𝐢 βŠ† On)
10 fnssres 6625 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn On ∧ 𝐢 βŠ† On) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐢) Fn 𝐢)
117, 9, 10sylancr 588 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐢) Fn 𝐢)
1211fndmd 6608 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ dom (𝐺 β†Ύ 𝐢) = 𝐢)
136, 12eqtrd 2777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ dom 𝑧 = 𝐢)
1413unieqd 4880 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ βˆͺ dom 𝑧 = βˆͺ 𝐢)
1513, 14eqeq12d 2753 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ (dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧 ↔ 𝐢 = βˆͺ 𝐢))
1613eqeq1d 2739 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ (dom 𝑧 = βˆ… ↔ 𝐢 = βˆ…))
175rneqd 5894 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ ran 𝑧 = ran (𝐺 β†Ύ 𝐢))
18 df-ima 5647 . . . . . . . 8 (𝐺 β€œ 𝐢) = ran (𝐺 β†Ύ 𝐢)
1917, 18eqtr4di 2795 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ ran 𝑧 = (𝐺 β€œ 𝐢))
2019unieqd 4880 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ βˆͺ ran 𝑧 = βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢))
2116, 20ifbieq2d 4513 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧) = if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)))
225, 14fveq12d 6850 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ (π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) = ((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢))
2314fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧) = (πΉβ€˜βˆͺ 𝐢))
2423sneqd 4599 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)} = {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)})
2522, 24uneq12d 4125 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) = (((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}))
2625eleq1d 2823 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ (((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴 ↔ (((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴))
27 eqidd 2738 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ βˆ… = βˆ…)
2826, 24, 27ifbieq12d 4515 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…) = if((((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…))
2922, 28uneq12d 4125 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…)) = (((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if((((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…)))
3015, 21, 29ifbieq12d 4515 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…))) = if(𝐢 = βˆͺ 𝐢, if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)), (((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if((((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…))))
31 onuni 7724 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ On β†’ βˆͺ 𝐢 ∈ On)
3231ad3antlr 730 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) ∧ Β¬ 𝐢 = βˆͺ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐢 ∈ On)
33 sucidg 6399 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝐢 ∈ On β†’ βˆͺ 𝐢 ∈ suc βˆͺ 𝐢)
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) ∧ Β¬ 𝐢 = βˆͺ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐢 ∈ suc βˆͺ 𝐢)
35 eloni 6328 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ On β†’ Ord 𝐢)
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ Ord 𝐢)
37 orduniorsuc 7766 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐢 β†’ (𝐢 = βˆͺ 𝐢 ∨ 𝐢 = suc βˆͺ 𝐢))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ (𝐢 = βˆͺ 𝐢 ∨ 𝐢 = suc βˆͺ 𝐢))
3938orcanai 1002 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) ∧ Β¬ 𝐢 = βˆͺ 𝐢) β†’ 𝐢 = suc βˆͺ 𝐢)
4034, 39eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) ∧ Β¬ 𝐢 = βˆͺ 𝐢) β†’ βˆͺ 𝐢 ∈ 𝐢)
4140fvresd 6863 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) ∧ Β¬ 𝐢 = βˆͺ 𝐢) β†’ ((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) = (πΊβ€˜βˆͺ 𝐢))
4241uneq1d 4123 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) ∧ Β¬ 𝐢 = βˆͺ 𝐢) β†’ (((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) = ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}))
4342eleq1d 2823 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) ∧ Β¬ 𝐢 = βˆͺ 𝐢) β†’ ((((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴 ↔ ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴))
4443ifbid 4510 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) ∧ Β¬ 𝐢 = βˆͺ 𝐢) β†’ if((((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…) = if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…))
4541, 44uneq12d 4125 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) ∧ Β¬ 𝐢 = βˆͺ 𝐢) β†’ (((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if((((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…)) = ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…)))
4645ifeq2da 4519 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ if(𝐢 = βˆͺ 𝐢, if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)), (((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if((((𝐺 β†Ύ 𝐢)β€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…))) = if(𝐢 = βˆͺ 𝐢, if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…))))
4730, 46eqtrd 2777 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) ∧ 𝑧 = (𝐺 β†Ύ 𝐢)) β†’ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…))) = if(𝐢 = βˆͺ 𝐢, if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…))))
48 fnfun 6603 . . . . 5 (𝐺 Fn On β†’ Fun 𝐺)
497, 48ax-mp 5 . . . 4 Fun 𝐺
50 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ 𝐢 ∈ On)
51 resfunexg 7166 . . . 4 ((Fun 𝐺 ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐢) ∈ V)
5249, 50, 51sylancr 588 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐺 β†Ύ 𝐢) ∈ V)
53 ttukeylem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
5453elexd 3466 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
55 funimaexg 6588 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺 ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (𝐺 β€œ 𝐢) ∈ V)
5649, 55mpan 689 . . . . . 6 (𝐢 ∈ On β†’ (𝐺 β€œ 𝐢) ∈ V)
5756uniexd 7680 . . . . 5 (𝐢 ∈ On β†’ βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢) ∈ V)
58 ifcl 4532 . . . . 5 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢) ∈ V) β†’ if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)) ∈ V)
5954, 57, 58syl2an 597 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)) ∈ V)
60 fvex 6856 . . . . 5 (πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) ∈ V
61 snex 5389 . . . . . 6 {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)} ∈ V
62 0ex 5265 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
6361, 62ifex 4537 . . . . 5 if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…) ∈ V
6460, 63unex 7681 . . . 4 ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…)) ∈ V
65 ifcl 4532 . . . 4 ((if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)) ∈ V ∧ ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…)) ∈ V) β†’ if(𝐢 = βˆͺ 𝐢, if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…))) ∈ V)
6659, 64, 65sylancl 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ if(𝐢 = βˆͺ 𝐢, if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…))) ∈ V)
674, 47, 52, 66fvmptd 6956 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ ((𝑧 ∈ V ↦ if(dom 𝑧 = βˆͺ dom 𝑧, if(dom 𝑧 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ ran 𝑧), ((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ if(((π‘§β€˜βˆͺ dom 𝑧) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ dom 𝑧)}, βˆ…))))β€˜(𝐺 β†Ύ 𝐢)) = if(𝐢 = βˆͺ 𝐢, if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…))))
683, 67eqtrd 2777 1 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ On) β†’ (πΊβ€˜πΆ) = if(𝐢 = βˆͺ 𝐢, if(𝐢 = βˆ…, 𝐡, βˆͺ (𝐺 β€œ 𝐢)), ((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ if(((πΊβ€˜βˆͺ 𝐢) βˆͺ {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}) ∈ 𝐴, {(πΉβ€˜βˆͺ 𝐢)}, βˆ…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Ord word 6317  Oncon0 6318  suc csuc 6320  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  recscrecs 8317  Fincfn 8884  cardccrd 9872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318
This theorem is referenced by:  ttukeylem4  10449  ttukeylem5  10450  ttukeylem6  10451  ttukeylem7  10452
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