MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dif1enlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dif1enlem 9195
Description: Lemma for rexdif1en 9197 and dif1en 9199. (Contributed by BTernaryTau, 18-Aug-2024.) Generalize to all ordinals and add a sethood requirement to avoid ax-un 7754. (Revised by BTernaryTau, 5-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
dif1enlem (((𝐹𝑉𝐴𝑊𝑀 ∈ On) ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)

Proof of Theorem dif1enlem
StepHypRef Expression
1 sucidg 6467 . . . . . 6 (𝑀 ∈ On → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
2 dff1o3 6855 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 ↔ (𝐹:𝐴onto→suc 𝑀 ∧ Fun 𝐹))
32simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → Fun 𝐹)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → Fun 𝐹)
5 f1ofo 6856 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝐹:𝐴onto→suc 𝑀)
6 f1ofn 6850 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝐹 Fn 𝐴)
7 fnresdm 6688 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
8 foeq1 6817 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) = 𝐹 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀𝐹:𝐴onto→suc 𝑀))
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀𝐹:𝐴onto→suc 𝑀))
105, 9mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → (𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀)
126adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → 𝐹 Fn 𝐴)
13 f1ocnvdm 7305 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹𝑀) ∈ 𝐴)
14 f1ocnvfv2 7297 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹‘(𝐹𝑀)) = 𝑀)
15 snidg 4665 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ suc 𝑀𝑀 ∈ {𝑀})
1615adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → 𝑀 ∈ {𝑀})
1714, 16eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹‘(𝐹𝑀)) ∈ {𝑀})
18 fressnfv 7180 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝐴) → ((𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀} ↔ (𝐹‘(𝐹𝑀)) ∈ {𝑀}))
1918biimp3ar 1469 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐹𝑀)) ∈ {𝑀}) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀})
2012, 13, 17, 19syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀})
21 disjsn 4716 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ ¬ (𝐹𝑀) ∈ 𝐴)
2221con2bii 357 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑀) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅)
2313, 22sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → ¬ (𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅)
24 fnresdisj 6689 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅))
256, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅))
2625adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅))
2723, 26mtbid 324 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → ¬ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅)
2827neqned 2945 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) ≠ ∅)
29 foconst 6836 . . . . . . . 8 (((𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀} ∧ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) ≠ ∅) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}–onto→{𝑀})
3020, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}–onto→{𝑀})
31 resdif 6870 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀 ∧ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}–onto→{𝑀}) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
324, 11, 30, 31syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
331, 32sylan2 593 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ On) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
34 eloni 6396 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ On → Ord 𝑀)
35 orddif 6482 . . . . . . . 8 (Ord 𝑀𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ On → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
3736f1oeq3d 6846 . . . . . 6 (𝑀 ∈ On → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀})))
3837adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ On) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀})))
3933, 38mpbird 257 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ On) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀)
4039ancoms 458 . . 3 ((𝑀 ∈ On ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀)
41403ad2antl3 1186 . 2 (((𝐹𝑉𝐴𝑊𝑀 ∈ On) ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀)
42 difexg 5335 . . 3 (𝐴𝑊 → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ∈ V)
43 resexg 6047 . . . 4 (𝐹𝑉 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})) ∈ V)
44 f1oen4g 9004 . . . 4 ((((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})) ∈ V ∧ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ∈ V ∧ 𝑀 ∈ On) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)
4543, 44syl3anl1 1411 . . 3 (((𝐹𝑉 ∧ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ∈ V ∧ 𝑀 ∈ On) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)
4642, 45syl3anl2 1412 . 2 (((𝐹𝑉𝐴𝑊𝑀 ∈ On) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)
4741, 46syldan 591 1 (((𝐹𝑉𝐴𝑊𝑀 ∈ On) ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  ccnv 5688  cres 5691  Ord word 6385  Oncon0 6386  suc csuc 6388  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  cen 8981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-en 8985
This theorem is referenced by:  rexdif1en  9197  dif1en  9199
  Copyright terms: Public domain W3C validator