MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnflt2 9617
Description: An upper bound on the CNF function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnflt2.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
cantnflt2.a (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
cantnflt2.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
cantnflt2.s (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
cantnflt2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ))

Proof of Theorem cantnflt2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
2 cantnfs.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 cantnfs.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
4 eqid 2733 . . 3 OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
5 cantnflt2.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
6 eqid 2733 . . 3 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 9612 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))))
8 cantnflt2.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
9 ovexd 7396 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โˆˆ V)
104oion 9480 . . . 4 ((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โ†’ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โˆˆ On)
11 sucidg 6402 . . . 4 (dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โˆˆ On โ†’ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โˆˆ suc dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
129, 10, 113syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โˆˆ suc dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
13 cantnflt2.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
141, 2, 3, 4, 5cantnfcl 9611 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ( E We (๐น supp โˆ…) โˆง dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โˆˆ ฯ‰))
1514simpld 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ E We (๐น supp โˆ…))
164oiiso 9481 . . . . . 6 (((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โˆง E We (๐น supp โˆ…)) โ†’ OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)), (๐น supp โˆ…)))
179, 15, 16syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)), (๐น supp โˆ…)))
18 isof1o 7272 . . . . 5 (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)), (๐น supp โˆ…)) โ†’ OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)):dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…))
19 f1ofo 6795 . . . . 5 (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)):dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…) โ†’ OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)):dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€“ontoโ†’(๐น supp โˆ…))
20 foima 6765 . . . . 5 (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)):dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€“ontoโ†’(๐น supp โˆ…) โ†’ (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โ€œ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))) = (๐น supp โˆ…))
2117, 18, 19, 204syl 19 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โ€œ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))) = (๐น supp โˆ…))
22 cantnflt2.s . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† ๐ถ)
2321, 22eqsstrd 3986 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โ€œ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))) โŠ† ๐ถ)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13, 23cantnflt 9616 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ))
257, 24eqeltrd 2834 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286   E cep 5540   We wwe 5591  dom cdm 5637   โ€œ cima 5640  Oncon0 6321  suc csuc 6323  โ€“ontoโ†’wfo 6498  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6499  โ€˜cfv 6500   Isom wiso 6501  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  ฯ‰com 7806   supp csupp 8096  seqฯ‰cseqom 8397   +o coa 8413   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415  OrdIsocoi 9453   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-cnf 9606
This theorem is referenced by:  cantnff  9618  cantnflem1d  9632  cnfcom3lem  9647  cantnfresb  41706
  Copyright terms: Public domain W3C validator