Theorem cantnflt2 9704

Description: An upper bound on the CNF function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnflt2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
cantnflt2.a	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
cantnflt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
cantnflt2.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cantnflt2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))

Proof of Theorem cantnflt2

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
5		cantnflt2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cantnfval 9699	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))))
8		cantnflt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
9		ovexd 7481	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
10	4	oion 9560	. . . 4 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On)
11		sucidg 6467	. . . 4 ⊢ (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
12	9, 10, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
13		cantnflt2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
14	1, 2, 3, 4, 5	cantnfcl 9698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ ω))
15	14	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16	4	oiiso 9561	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
17	9, 15, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
18		isof1o 7357	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))⟶1-1onto(𝐹 supp ∅))
19		f1ofo 6857	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))⟶1-1onto(𝐹 supp ∅) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))⟶onto(𝐹 supp ∅))
20		foima 6826	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))⟶onto(𝐹 supp ∅) → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
21	17, 18, 19, 20	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
22		cantnflt2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)
23	21, 22	eqsstrd 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ⊆ 𝐶)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13, 23	cantnflt 9703	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))
25	7, 24	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   E cep 5555   We wwe 5608  dom cdm 5656   “ cima 5659  Oncon0 6383  suc csuc 6385  ⟶ontowfo 6559  ⟶1-1ontowf1o 6560  ‘cfv 6561   Isom wiso 6562  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448  ωcom 7904   supp csupp 8207  seq_ωcseqom 8488   +_o coa 8504   ·_o comu 8505   ↑_o coe 8506  OrdIsocoi 9533   CNF ccnf 9692

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seqom 8489  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-oexp 8513  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-oi 9534  df-cnf 9693

This theorem is used by:  cantnff  9705  cantnflem1d  9719  cnfcom3lem  9734  cantnfresb  44529