Theorem cantnflt2 9588

Description: An upper bound on the CNF function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnflt2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
cantnflt2.a	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
cantnflt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
cantnflt2.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cantnflt2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))

Proof of Theorem cantnflt2

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
5		cantnflt2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cantnfval 9583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))))
8		cantnflt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
9		ovexd 7388	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
10	4	oion 9447	. . . 4 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On)
11		sucidg 6394	. . . 4 ⊢ (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
13		cantnflt2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
14	1, 2, 3, 4, 5	cantnfcl 9582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ ω))
15	14	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16	4	oiiso 9448	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
17	9, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
18		isof1o 7264	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
19		f1ofo 6775	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅))
20		foima 6745	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅) → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
21	17, 18, 19, 20	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
22		cantnflt2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)
23	21, 22	eqsstrd 3972	. . 3 ⊢ (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ⊆ 𝐶)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13, 23	cantnflt 9587	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))
25	7, 24	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   E cep 5522   We wwe 5575  dom cdm 5623   “ cima 5626  Oncon0 6311  suc csuc 6313  –onto→wfo 6484  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486   Isom wiso 6487  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  ωcom 7806   supp csupp 8100  seq_ωcseqom 8376   +_o coa 8392   ·_o comu 8393   ↑_o coe 8394  OrdIsocoi 9420   CNF ccnf 9576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-seqom 8377  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-oexp 8401  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-oi 9421  df-cnf 9577

This theorem is referenced by:  cantnff  9589  cantnflem1d  9603  cnfcom3lem  9618  cantnfresb  43300