Theorem cantnflt2 9570

Description: An upper bound on the CNF function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnflt2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
cantnflt2.a	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
cantnflt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
cantnflt2.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cantnflt2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))

Proof of Theorem cantnflt2

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
5		cantnflt2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cantnfval 9565	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))))
8		cantnflt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
9		ovexd 7387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
10	4	oion 9429	. . . 4 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On)
11		sucidg 6394	. . . 4 ⊢ (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
13		cantnflt2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
14	1, 2, 3, 4, 5	cantnfcl 9564	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ ω))
15	14	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16	4	oiiso 9430	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
17	9, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
18		isof1o 7263	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
19		f1ofo 6775	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅))
20		foima 6745	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅) → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
21	17, 18, 19, 20	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
22		cantnflt2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)
23	21, 22	eqsstrd 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ⊆ 𝐶)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13, 23	cantnflt 9569	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))
25	7, 24	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   E cep 5518   We wwe 5571  dom cdm 5619   “ cima 5622  Oncon0 6311  suc csuc 6313  –onto→wfo 6484  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486   Isom wiso 6487  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  ωcom 7802   supp csupp 8096  seq_ωcseqom 8372   +_o coa 8388   ·_o comu 8389   ↑_o coe 8390  OrdIsocoi 9402   CNF ccnf 9558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-seqom 8373  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-oexp 8397  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-oi 9403  df-cnf 9559

This theorem is referenced by:  cantnff  9571  cantnflem1d  9585  cnfcom3lem  9600  cantnfresb  43442