MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnflt2 9670
Description: An upper bound on the CNF function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnflt2.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
cantnflt2.a (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
cantnflt2.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
cantnflt2.s (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โІ ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
cantnflt2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ))

Proof of Theorem cantnflt2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
2 cantnfs.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3 cantnfs.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
4 eqid 2726 . . 3 OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
5 cantnflt2.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
6 eqid 2726 . . 3 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 9665 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))))
8 cantnflt2.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
9 ovexd 7440 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โˆˆ V)
104oion 9533 . . . 4 ((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โ†’ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โˆˆ On)
11 sucidg 6439 . . . 4 (dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โˆˆ On โ†’ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โˆˆ suc dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
129, 10, 113syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โˆˆ suc dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)))
13 cantnflt2.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
141, 2, 3, 4, 5cantnfcl 9664 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ( E We (๐น supp โˆ…) โˆง dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โˆˆ ฯ‰))
1514simpld 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ E We (๐น supp โˆ…))
164oiiso 9534 . . . . . 6 (((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โˆง E We (๐น supp โˆ…)) โ†’ OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)), (๐น supp โˆ…)))
179, 15, 16syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)), (๐น supp โˆ…)))
18 isof1o 7316 . . . . 5 (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)), (๐น supp โˆ…)) โ†’ OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)):dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…))
19 f1ofo 6834 . . . . 5 (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)):dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…) โ†’ OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)):dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€“ontoโ†’(๐น supp โˆ…))
20 foima 6804 . . . . 5 (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)):dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€“ontoโ†’(๐น supp โˆ…) โ†’ (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โ€œ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))) = (๐น supp โˆ…))
2117, 18, 19, 204syl 19 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โ€œ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))) = (๐น supp โˆ…))
22 cantnflt2.s . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โІ ๐ถ)
2321, 22eqsstrd 4015 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…)) โ€œ dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))) โІ ๐ถ)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13, 23cantnflt 9669 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ))
257, 24eqeltrd 2827 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317   E cep 5572   We wwe 5623  dom cdm 5669   โ€œ cima 5672  Oncon0 6358  suc csuc 6360  โ€“ontoโ†’wfo 6535  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537   Isom wiso 6538  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  ฯ‰com 7852   supp csupp 8146  seqฯ‰cseqom 8448   +o coa 8464   ยทo comu 8465   โ†‘o coe 8466  OrdIsocoi 9506   CNF ccnf 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-seqom 8449  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-oexp 8473  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-cnf 9659
This theorem is referenced by:  cantnff  9671  cantnflem1d  9685  cnfcom3lem  9700  cantnfresb  42650
  Copyright terms: Public domain W3C validator