MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnflt2 9431
Description: An upper bound on the CNF function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnflt2.f (𝜑𝐹𝑆)
cantnflt2.a (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
cantnflt2.c (𝜑𝐶 ∈ On)
cantnflt2.s (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
cantnflt2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴o 𝐶))

Proof of Theorem cantnflt2
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 eqid 2738 . . 3 OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
5 cantnflt2.f . . 3 (𝜑𝐹𝑆)
6 eqid 2738 . . 3 seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 9426 . 2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))))
8 cantnflt2.a . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
9 ovexd 7310 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
104oion 9295 . . . 4 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On)
11 sucidg 6344 . . . 4 (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
129, 10, 113syl 18 . . 3 (𝜑 → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
13 cantnflt2.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ On)
141, 2, 3, 4, 5cantnfcl 9425 . . . . . . 7 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ ω))
1514simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
164oiiso 9296 . . . . . 6 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
179, 15, 16syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
18 isof1o 7194 . . . . 5 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
19 f1ofo 6723 . . . . 5 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅))
20 foima 6693 . . . . 5 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅) → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
2117, 18, 19, 204syl 19 . . . 4 (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
22 cantnflt2.s . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)
2321, 22eqsstrd 3959 . . 3 (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ⊆ 𝐶)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13, 23cantnflt 9430 . 2 (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ∈ (𝐴o 𝐶))
257, 24eqeltrd 2839 1 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴o 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  wss 3887  c0 4256   E cep 5494   We wwe 5543  dom cdm 5589  cima 5592  Oncon0 6266  suc csuc 6268  ontowfo 6431  1-1-ontowf1o 6432  cfv 6433   Isom wiso 6434  (class class class)co 7275  cmpo 7277  ωcom 7712   supp csupp 7977  seqωcseqom 8278   +o coa 8294   ·o comu 8295  o coe 8296  OrdIsocoi 9268   CNF ccnf 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-seqom 8279  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-oexp 8303  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-cnf 9420
This theorem is referenced by:  cantnff  9432  cantnflem1d  9446  cnfcom3lem  9461
  Copyright terms: Public domain W3C validator