Theorem cantnflt2 9652

Description: An upper bound on the CNF function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnflt2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
cantnflt2.a	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
cantnflt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
cantnflt2.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cantnflt2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))

Proof of Theorem cantnflt2

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2766	. . 3 ⊢ OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
5		cantnflt2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
6		eqid 2766	. . 3 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cantnfval 9647	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))))
8		cantnflt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
9		ovexd 7458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
10	4	oion 9508	. . . 4 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On)
11		sucidg 6451	. . . 4 ⊢ (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
12	9, 10, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
13		cantnflt2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
14	1, 2, 3, 4, 5	cantnfcl 9646	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ ω))
15	14	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16	4	oiiso 9509	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
17	9, 15, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
18		isof1o 7332	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
19		f1ofo 6835	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅))
20		foima 6804	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅) → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
21	17, 18, 19, 20	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
22		cantnflt2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)
23	21, 22	eqsstrd 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ⊆ 𝐶)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13, 23	cantnflt 9651	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))
25	7, 24	eqeltrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289   E cep 5565   We wwe 5618  dom cdm 5666   “ cima 5669  Oncon0 6367  suc csuc 6369  –onto→wfo 6541  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  ωcom 7871   supp csupp 8165  seq_ωcseqom 8443   +_o coa 8459   ·_o comu 8460   ↑_o coe 8461  OrdIsocoi 9481   CNF ccnf 9640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-seqom 8444  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-oexp 8468  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-cnf 9641

This theorem is used by:  cantnff  9653  cantnflem1d  9667  cnfcom3lem  9682  cantnfresb  44092