MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnflt2 9691
Description: An upper bound on the CNF function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnflt2.f (𝜑𝐹𝑆)
cantnflt2.a (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
cantnflt2.c (𝜑𝐶 ∈ On)
cantnflt2.s (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
cantnflt2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴o 𝐶))

Proof of Theorem cantnflt2
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 eqid 2728 . . 3 OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
5 cantnflt2.f . . 3 (𝜑𝐹𝑆)
6 eqid 2728 . . 3 seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 9686 . 2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))))
8 cantnflt2.a . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
9 ovexd 7450 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
104oion 9554 . . . 4 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On)
11 sucidg 6445 . . . 4 (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
129, 10, 113syl 18 . . 3 (𝜑 → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
13 cantnflt2.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ On)
141, 2, 3, 4, 5cantnfcl 9685 . . . . . . 7 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ ω))
1514simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
164oiiso 9555 . . . . . 6 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
179, 15, 16syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
18 isof1o 7326 . . . . 5 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
19 f1ofo 6841 . . . . 5 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅))
20 foima 6811 . . . . 5 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅) → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
2117, 18, 19, 204syl 19 . . . 4 (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
22 cantnflt2.s . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)
2321, 22eqsstrd 4017 . . 3 (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ⊆ 𝐶)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13, 23cantnflt 9690 . 2 (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ∈ (𝐴o 𝐶))
257, 24eqeltrd 2829 1 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴o 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3470  wss 3945  c0 4319   E cep 5576   We wwe 5627  dom cdm 5673  cima 5676  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ontowfo 6541  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7415  cmpo 7417  ωcom 7865   supp csupp 8160  seqωcseqom 8462   +o coa 8478   ·o comu 8479  o coe 8480  OrdIsocoi 9527   CNF ccnf 9679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-seqom 8463  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-oexp 8487  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-oi 9528  df-cnf 9680
This theorem is referenced by:  cantnff  9692  cantnflem1d  9706  cnfcom3lem  9721  cantnfresb  42744
  Copyright terms: Public domain W3C validator