Theorem cantnflt2 9594

Description: An upper bound on the CNF function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnflt2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
cantnflt2.a	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
cantnflt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
cantnflt2.s	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cantnflt2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))

Proof of Theorem cantnflt2

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
5		cantnflt2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cantnfval 9589	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))))
8		cantnflt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
9		ovexd 7403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
10	4	oion 9453	. . . 4 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On)
11		sucidg 6408	. . . 4 ⊢ (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
13		cantnflt2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
14	1, 2, 3, 4, 5	cantnfcl 9588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ ω))
15	14	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
16	4	oiiso 9454	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
17	9, 15, 16	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
18		isof1o 7279	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
19		f1ofo 6789	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅))
20		foima 6759	. . . . 5 ⊢ (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅) → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
21	17, 18, 19, 20	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
22		cantnflt2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)
23	21, 22	eqsstrd 3970	. . 3 ⊢ (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ⊆ 𝐶)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 13, 23	cantnflt 9593	. 2 ⊢ (𝜑 → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))
25	7, 24	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   E cep 5531   We wwe 5584  dom cdm 5632   “ cima 5635  Oncon0 6325  suc csuc 6327  –onto→wfo 6498  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500   Isom wiso 6501  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  ωcom 7818   supp csupp 8112  seq_ωcseqom 8388   +_o coa 8404   ·_o comu 8405   ↑_o coe 8406  OrdIsocoi 9426   CNF ccnf 9582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-seqom 8389  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-oexp 8413  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-cnf 9583

This theorem is referenced by:  cantnff  9595  cantnflem1d  9609  cnfcom3lem  9624  cantnfresb  43678