MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfle 9665
Description: A lower bound on the CNF function. Since ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) is defined as the sum of (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) ยทo (๐นโ€˜๐‘ฅ) over all ๐‘ฅ in the support of ๐น, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all ๐ถ โˆˆ ๐ต instead of just those ๐ถ in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnfcl.g ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
cantnfcl.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
cantnfval.h ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
cantnfle.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
cantnfle (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜,๐ต   ๐‘ง,๐ถ   ๐ด,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐น,๐‘ง   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘˜,๐บ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘˜)   ๐ป(๐‘ง,๐‘˜)

Proof of Theorem cantnfle
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7416 . . 3 ((๐นโ€˜๐ถ) = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) = ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo โˆ…))
21sseq1d 4013 . 2 ((๐นโ€˜๐ถ) = โˆ… โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โ†” ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo โˆ…) โŠ† ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น)))
3 ovexd 7443 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โˆˆ V)
4 cantnfs.s . . . . . . . . . . 11 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
5 cantnfs.a . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
6 cantnfs.b . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
7 cantnfcl.g . . . . . . . . . . 11 ๐บ = OrdIso( E , (๐น supp โˆ…))
8 cantnfcl.f . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘†)
94, 5, 6, 7, 8cantnfcl 9661 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ( E We (๐น supp โˆ…) โˆง dom ๐บ โˆˆ ฯ‰))
109simpld 495 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ E We (๐น supp โˆ…))
117oiiso 9531 . . . . . . . . 9 (((๐น supp โˆ…) โˆˆ V โˆง E We (๐น supp โˆ…)) โ†’ ๐บ Isom E , E (dom ๐บ, (๐น supp โˆ…)))
123, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Isom E , E (dom ๐บ, (๐น supp โˆ…)))
13 isof1o 7319 . . . . . . . 8 (๐บ Isom E , E (dom ๐บ, (๐น supp โˆ…)) โ†’ ๐บ:dom ๐บโ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:dom ๐บโ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…))
1514adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ๐บ:dom ๐บโ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…))
16 f1ocnv 6845 . . . . . 6 (๐บ:dom ๐บโ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…) โ†’ โ—ก๐บ:(๐น supp โˆ…)โ€“1-1-ontoโ†’dom ๐บ)
17 f1of 6833 . . . . . 6 (โ—ก๐บ:(๐น supp โˆ…)โ€“1-1-ontoโ†’dom ๐บ โ†’ โ—ก๐บ:(๐น supp โˆ…)โŸถdom ๐บ)
1815, 16, 173syl 18 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ โ—ก๐บ:(๐น supp โˆ…)โŸถdom ๐บ)
19 cantnfle.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ต)
2019anim1i 615 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…))
214, 5, 6cantnfs 9660 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ ๐‘† โ†” (๐น:๐ตโŸถ๐ด โˆง ๐น finSupp โˆ…)))
228, 21mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ตโŸถ๐ด โˆง ๐น finSupp โˆ…))
2322simpld 495 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ด)
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ด)
2524ffnd 6718 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ๐น Fn ๐ต)
266adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
27 0ex 5307 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ V
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ โˆ… โˆˆ V)
29 elsuppfn 8155 . . . . . . 7 ((๐น Fn ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ V) โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†” (๐ถ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐น supp โˆ…) โ†” (๐ถ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…)))
3120, 30mpbird 256 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐น supp โˆ…))
3218, 31ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ dom ๐บ)
339simprd 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom ๐บ โˆˆ ฯ‰)
3433adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ dom ๐บ โˆˆ ฯ‰)
35 eqimss 4040 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = dom ๐บ โ†’ ๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ)
3635biantrurd 533 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = dom ๐บ โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ)))
37 eleq2 2822 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = dom ๐บ โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ โ†” (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ dom ๐บ))
3836, 37bitr3d 280 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = dom ๐บ โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ) โ†” (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ dom ๐บ))
39 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = dom ๐บ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
4039sseq2d 4014 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = dom ๐บ โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜dom ๐บ)))
4138, 40imbi12d 344 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = dom ๐บ โ†’ (((๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ dom ๐บ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜dom ๐บ))))
4241imbi2d 340 . . . . . 6 (๐‘ฅ = dom ๐บ โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฅ))) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ dom ๐บ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜dom ๐บ)))))
43 sseq1 4007 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โ†” โˆ… โŠ† dom ๐บ))
44 eleq2 2822 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ โ†” (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ โˆ…))
4543, 44anbi12d 631 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ) โ†” (โˆ… โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ โˆ…)))
46 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜โˆ…))
4746sseq2d 4014 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜โˆ…)))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (((๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((โˆ… โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜โˆ…))))
49 sseq1 4007 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โ†” ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ))
50 eleq2 2822 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ โ†” (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ))
5149, 50anbi12d 631 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ)))
52 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜๐‘ฆ))
5352sseq2d 4014 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
5451, 53imbi12d 344 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ))))
55 sseq1 4007 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โ†” suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ))
56 eleq2 2822 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ โ†” (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ suc ๐‘ฆ))
5755, 56anbi12d 631 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ) โ†” (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ suc ๐‘ฆ)))
58 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฅ) = (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ))
5958sseq2d 4014 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ)))
6057, 59imbi12d 344 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ suc ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ))))
61 noel 4330 . . . . . . . . . 10 ยฌ (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ โˆ…
6261pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜โˆ…))
6362adantl 482 . . . . . . . 8 ((โˆ… โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜โˆ…))
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ((โˆ… โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜โˆ…)))
65 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ V
6665elsuc 6434 . . . . . . . . . . 11 ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ suc ๐‘ฆ โ†” ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ โˆจ (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ))
67 sssucid 6444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ฆ โŠ† suc ๐‘ฆ
68 sstr 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โŠ† suc ๐‘ฆ โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ)
6967, 68mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โ†’ ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ)
7069ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ)
71 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ)
72 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
7370, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
74 cantnfval.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ๐ป = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘˜)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
7574cantnfvalf 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐ป:ฯ‰โŸถOn
7675ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On)
7776ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On)
785ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
796ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
80 suppssdm 8161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐น supp โˆ…) โŠ† dom ๐น
8180, 23fssdm 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† ๐ต)
8281ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (๐น supp โˆ…) โŠ† ๐ต)
83 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ)
84 sucidg 6445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ suc ๐‘ฆ)
8584ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ suc ๐‘ฆ)
8683, 85sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ dom ๐บ)
877oif 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ๐บ:dom ๐บโŸถ(๐น supp โˆ…)
8887ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฆ โˆˆ dom ๐บ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐น supp โˆ…))
8986, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (๐น supp โˆ…))
9082, 89sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
91 onelon 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ต โˆˆ On โˆง (๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On)
9279, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On)
93 oecl 8536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ On)
9478, 92, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ On)
9523ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ด)
9695, 90ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ ๐ด)
97 onelon 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ On)
9878, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ On)
99 omcl 8535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ On โˆง (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) โˆˆ On)
10094, 98, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) โˆˆ On)
101 oaword2 8552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ปโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) โˆˆ On) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฆ) โŠ† (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) +o (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
10277, 100, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฆ) โŠ† (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) +o (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
1034, 5, 6, 7, 8, 74cantnfsuc 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) +o (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
104103ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) +o (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
105102, 104sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ฆ) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ))
106 sstr 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ) โˆง (๐ปโ€˜๐‘ฆ) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ))
107106expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ปโ€˜๐‘ฆ) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ)))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ)))
109108adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ)))
11073, 109syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ)) โ†’ (((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ)))
111110expr 457 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ))))
112 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)) โ†’ (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)
113112fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)) โ†’ (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐ถ)) = (๐บโ€˜๐‘ฆ))
114 f1ocnvfv2 7274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐บ:dom ๐บโ€“1-1-ontoโ†’(๐น supp โˆ…) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐น supp โˆ…)) โ†’ (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐ถ)) = ๐ถ)
11515, 31, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐ถ)) = ๐ถ)
116115ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)) โ†’ (๐บโ€˜(โ—ก๐บโ€˜๐ถ)) = ๐ถ)
117113, 116eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) = ๐ถ)
118117oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) = (๐ด โ†‘o ๐ถ))
119117fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)) โ†’ (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜๐ถ))
120118, 119oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) = ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)))
121 oaword1 8551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) โˆˆ On โˆง (๐ปโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) โŠ† (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) +o (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
122100, 77, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) โŠ† (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) +o (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
123122adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) โŠ† (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) +o (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
124120, 123eqsstrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) +o (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
125103ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ) = (((๐ด โ†‘o (๐บโ€˜๐‘ฆ)) ยทo (๐นโ€˜(๐บโ€˜๐‘ฆ))) +o (๐ปโ€˜๐‘ฆ)))
126124, 125sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง (suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ))
127126expr 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ)))
128127a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ))))
129111, 128jaod 857 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ (((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ โˆจ (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) = ๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ))))
13066, 129biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ) โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ suc ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ))))
131130expimpd 454 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ suc ๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ))))
132131com23 86 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ suc ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ))))
133132expcom 414 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ (((๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((suc ๐‘ฆ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ suc ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜suc ๐‘ฆ)))))
13448, 54, 60, 64, 133finds2 7890 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† dom ๐บ โˆง (โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜๐‘ฅ))))
13542, 134vtoclga 3565 . . . . 5 (dom ๐บ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ dom ๐บ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜dom ๐บ))))
13634, 135mpcom 38 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ((โ—ก๐บโ€˜๐ถ) โˆˆ dom ๐บ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜dom ๐บ)))
13732, 136mpd 15 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† (๐ปโ€˜dom ๐บ))
1384, 5, 6, 7, 8, 74cantnfval 9662 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
139138adantr 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) = (๐ปโ€˜dom ๐บ))
140137, 139sseqtrrd 4023 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) โ‰  โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น))
141 onelon 6389 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
1426, 19, 141syl2anc 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
143 oecl 8536 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On)
1445, 142, 143syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On)
145 om0 8516 . . . 4 ((๐ด โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo โˆ…) = โˆ…)
146144, 145syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo โˆ…) = โˆ…)
147 0ss 4396 . . 3 โˆ… โŠ† ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น)
148146, 147eqsstrdi 4036 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo โˆ…) โŠ† ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น))
1492, 140, 148pm2.61ne 3027 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo (๐นโ€˜๐ถ)) โŠ† ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   E cep 5579   We wwe 5630  โ—กccnv 5675  dom cdm 5676  Oncon0 6364  suc csuc 6366   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7408   โˆˆ cmpo 7410  ฯ‰com 7854   supp csupp 8145  seqฯ‰cseqom 8446   +o coa 8462   ยทo comu 8463   โ†‘o coe 8464   finSupp cfsupp 9360  OrdIsocoi 9503   CNF ccnf 9655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-oexp 8471  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-cnf 9656
This theorem is referenced by:  cantnflem3  9685
  Copyright terms: Public domain W3C validator