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Theorem cantnfle 9167
 Description: A lower bound on the CNF function. Since ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) is defined as the sum of (𝐴 ↑o 𝑥) ·o (𝐹‘𝑥) over all 𝑥 in the support of 𝐹, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all 𝐶 ∈ 𝐵 instead of just those 𝐶 in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
cantnfval.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
cantnfle.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
cantnfle (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝑧,𝐶   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝐹,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem cantnfle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7158 . . 3 ((𝐹𝐶) = ∅ → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) = ((𝐴o 𝐶) ·o ∅))
21sseq1d 3923 . 2 ((𝐹𝐶) = ∅ → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)))
3 ovexd 7185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
4 cantnfs.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
5 cantnfs.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ On)
6 cantnfs.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ On)
7 cantnfcl.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
8 cantnfcl.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑆)
94, 5, 6, 7, 8cantnfcl 9163 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
109simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
117oiiso 9034 . . . . . . . . 9 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
123, 10, 11syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
13 isof1o 7070 . . . . . . . 8 (𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
16 f1ocnv 6614 . . . . . 6 (𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺)
17 f1of 6602 . . . . . 6 (𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
1815, 16, 173syl 18 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
19 cantnfle.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
2019anim1i 617 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅))
214, 5, 6cantnfs 9162 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
228, 21mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
2322simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
2423adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹:𝐵𝐴)
2524ffnd 6499 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹 Fn 𝐵)
266adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
27 0ex 5177 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ∅ ∈ V)
29 elsuppfn 7845 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3120, 30mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅))
3218, 31ffvelrnd 6843 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺)
339simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
3433adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → dom 𝐺 ∈ ω)
35 eqimss 3948 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝐺𝑥 ⊆ dom 𝐺)
3635biantrurd 536 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥)))
37 eleq2 2840 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
3836, 37bitr3d 284 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
39 fveq2 6658 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘dom 𝐺))
4039sseq2d 3924 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
4138, 40imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
4241imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))))
43 sseq1 3917 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ ∅ ⊆ dom 𝐺))
44 eleq2 2840 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ ∅))
4543, 44anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅)))
46 fveq2 6658 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻‘∅))
4746sseq2d 3924 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
4845, 47imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))))
49 sseq1 3917 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺))
50 eleq2 2840 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦))
5149, 50anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)))
52 fveq2 6658 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
5352sseq2d 3924 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
5451, 53imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦))))
55 sseq1 3917 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺))
56 eleq2 2840 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦))
5755, 56anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦)))
58 fveq2 6658 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘suc 𝑦))
5958sseq2d 3924 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
6057, 59imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
61 noel 4230 . . . . . . . . . 10 ¬ (𝐺𝐶) ∈ ∅
6261pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝐶) ∈ ∅ → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6362adantl 485 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
65 fvex 6671 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐶) ∈ V
6665elsuc 6238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦))
67 sssucid 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ⊆ suc 𝑦
68 sstr 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ⊆ suc 𝑦 ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
6967, 68mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺)
7069ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
71 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)
72 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
7370, 71, 72syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
74 cantnfval.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
7574cantnfvalf 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻:ω⟶On
7675ffvelrni 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ω → (𝐻𝑦) ∈ On)
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ∈ On)
785ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ On)
796ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ On)
80 suppssdm 7851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
8180, 23fssdm 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
8281ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
83 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
84 sucidg 6247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8683, 85sseldd 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ dom 𝐺)
877oif 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
8887ffvelrni 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
8986, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
9082, 89sseldd 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐵)
91 onelon 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐺𝑦) ∈ On)
9279, 90, 91syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ On)
93 oecl 8172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ On) → (𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On)
9478, 92, 93syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On)
9523ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐹:𝐵𝐴)
9695, 90ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴)
97 onelon 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
9878, 96, 97syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
99 omcl 8171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
10094, 98, 99syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
101 oaword2 8189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐻𝑦) ∈ On ∧ ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
10277, 100, 101syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
1034, 5, 6, 7, 8, 74cantnfsuc 9166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
104103ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
105102, 104sseqtrrd 3933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
106 sstr 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) ∧ (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
107106expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
109108adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
11073, 109syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
111110expr 460 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
112 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝐶) = 𝑦)
113112fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = (𝐺𝑦))
114 f1ocnvfv2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
11515, 31, 114syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
116115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
117113, 116eqtr3d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝑦) = 𝐶)
118117oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐴o (𝐺𝑦)) = (𝐴o 𝐶))
119117fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) = (𝐹𝐶))
120118, 119oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) = ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)))
121 oaword1 8188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On ∧ (𝐻𝑦) ∈ On) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
122100, 77, 121syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
123122adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
124120, 123eqsstrrd 3931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
125103ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
126124, 125sseqtrrd 3933 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
127126expr 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
128127a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
129111, 128jaod 856 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
13066, 129syl5bi 245 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
131130expimpd 457 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
132131com23 86 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
133132expcom 417 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))))
13448, 54, 60, 64, 133finds2 7610 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))))
13542, 134vtoclga 3492 . . . . 5 (dom 𝐺 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
13634, 135mpcom 38 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
13732, 136mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))
1384, 5, 6, 7, 8, 74cantnfval 9164 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
139138adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
140137, 139sseqtrrd 3933 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
141 onelon 6194 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ On)
1426, 19, 141syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ On)
143 oecl 8172 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴o 𝐶) ∈ On)
1445, 142, 143syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐴o 𝐶) ∈ On)
145 om0 8152 . . . 4 ((𝐴o 𝐶) ∈ On → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) = ∅)
146144, 145syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) = ∅)
147 0ss 4292 . . 3 ∅ ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)
148146, 147eqsstrdi 3946 . 2 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
1492, 140, 148pm2.61ne 3036 1 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225   class class class wbr 5032   E cep 5434   We wwe 5482  ◡ccnv 5523  dom cdm 5524  Oncon0 6169  suc csuc 6171   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  –1-1-onto→wf1o 6334  ‘cfv 6335   Isom wiso 6336  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  ωcom 7579   supp csupp 7835  seqωcseqom 8093   +o coa 8109   ·o comu 8110   ↑o coe 8111   finSupp cfsupp 8866  OrdIsocoi 9006   CNF ccnf 9157 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-seqom 8094  df-1o 8112  df-oadd 8116  df-omul 8117  df-oexp 8118  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-oi 9007  df-cnf 9158 This theorem is referenced by:  cantnflem3  9187
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