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Theorem cantnfle 9711
Description: A lower bound on the CNF function. Since ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) is defined as the sum of (𝐴o 𝑥) ·o (𝐹𝑥) over all 𝑥 in the support of 𝐹, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all 𝐶𝐵 instead of just those 𝐶 in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
cantnfval.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
cantnfle.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
cantnfle (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝑧,𝐶   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝐹,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem cantnfle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . 3 ((𝐹𝐶) = ∅ → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) = ((𝐴o 𝐶) ·o ∅))
21sseq1d 4015 . 2 ((𝐹𝐶) = ∅ → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)))
3 ovexd 7466 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
4 cantnfs.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
5 cantnfs.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ On)
6 cantnfs.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ On)
7 cantnfcl.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
8 cantnfcl.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑆)
94, 5, 6, 7, 8cantnfcl 9707 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
109simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
117oiiso 9577 . . . . . . . . 9 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
123, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
13 isof1o 7343 . . . . . . . 8 (𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
16 f1ocnv 6860 . . . . . 6 (𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺)
17 f1of 6848 . . . . . 6 (𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
1815, 16, 173syl 18 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
19 cantnfle.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
2019anim1i 615 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅))
214, 5, 6cantnfs 9706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
228, 21mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
2322simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹:𝐵𝐴)
2524ffnd 6737 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹 Fn 𝐵)
266adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
27 0ex 5307 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ∅ ∈ V)
29 elsuppfn 8195 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3120, 30mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅))
3218, 31ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺)
339simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
3433adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → dom 𝐺 ∈ ω)
35 eqimss 4042 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝐺𝑥 ⊆ dom 𝐺)
3635biantrurd 532 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥)))
37 eleq2 2830 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
3836, 37bitr3d 281 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
39 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘dom 𝐺))
4039sseq2d 4016 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
4138, 40imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
4241imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))))
43 sseq1 4009 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ ∅ ⊆ dom 𝐺))
44 eleq2 2830 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ ∅))
4543, 44anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅)))
46 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻‘∅))
4746sseq2d 4016 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
4845, 47imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))))
49 sseq1 4009 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺))
50 eleq2 2830 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦))
5149, 50anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)))
52 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
5352sseq2d 4016 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
5451, 53imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦))))
55 sseq1 4009 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺))
56 eleq2 2830 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦))
5755, 56anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦)))
58 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘suc 𝑦))
5958sseq2d 4016 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
6057, 59imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
61 noel 4338 . . . . . . . . . 10 ¬ (𝐺𝐶) ∈ ∅
6261pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝐶) ∈ ∅ → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6362adantl 481 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
65 fvex 6919 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐶) ∈ V
6665elsuc 6454 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦))
67 sssucid 6464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ⊆ suc 𝑦
68 sstr 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ⊆ suc 𝑦 ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
6967, 68mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺)
7069ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
71 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)
72 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
7370, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
74 cantnfval.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
7574cantnfvalf 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻:ω⟶On
7675ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ω → (𝐻𝑦) ∈ On)
7776ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ∈ On)
785ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ On)
796ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ On)
80 suppssdm 8202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
8180, 23fssdm 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
8281ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
83 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
84 sucidg 6465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8584ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8683, 85sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ dom 𝐺)
877oif 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
8887ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
8986, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
9082, 89sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐵)
91 onelon 6409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐺𝑦) ∈ On)
9279, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ On)
93 oecl 8575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ On) → (𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On)
9478, 92, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On)
9523ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐹:𝐵𝐴)
9695, 90ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴)
97 onelon 6409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
9878, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
99 omcl 8574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
10094, 98, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
101 oaword2 8591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐻𝑦) ∈ On ∧ ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
10277, 100, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
1034, 5, 6, 7, 8, 74cantnfsuc 9710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
104103ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
105102, 104sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
106 sstr 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) ∧ (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
107106expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
109108adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
11073, 109syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
111110expr 456 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
112 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝐶) = 𝑦)
113112fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = (𝐺𝑦))
114 f1ocnvfv2 7297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
11515, 31, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
116115ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
117113, 116eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝑦) = 𝐶)
118117oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐴o (𝐺𝑦)) = (𝐴o 𝐶))
119117fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) = (𝐹𝐶))
120118, 119oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) = ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)))
121 oaword1 8590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On ∧ (𝐻𝑦) ∈ On) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
122100, 77, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
123122adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
124120, 123eqsstrrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
125103ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
126124, 125sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
127126expr 456 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
128127a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
129111, 128jaod 860 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
13066, 129biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
131130expimpd 453 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
132131com23 86 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
133132expcom 413 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))))
13448, 54, 60, 64, 133finds2 7920 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))))
13542, 134vtoclga 3577 . . . . 5 (dom 𝐺 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
13634, 135mpcom 38 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
13732, 136mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))
1384, 5, 6, 7, 8, 74cantnfval 9708 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
139138adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
140137, 139sseqtrrd 4021 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
141 onelon 6409 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ On)
1426, 19, 141syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ On)
143 oecl 8575 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴o 𝐶) ∈ On)
1445, 142, 143syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴o 𝐶) ∈ On)
145 om0 8555 . . . 4 ((𝐴o 𝐶) ∈ On → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) = ∅)
146144, 145syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) = ∅)
147 0ss 4400 . . 3 ∅ ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)
148146, 147eqsstrdi 4028 . 2 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
1492, 140, 148pm2.61ne 3027 1 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   E cep 5583   We wwe 5636  ccnv 5684  dom cdm 5685  Oncon0 6384  suc csuc 6386   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561   Isom wiso 6562  (class class class)co 7431  cmpo 7433  ωcom 7887   supp csupp 8185  seqωcseqom 8487   +o coa 8503   ·o comu 8504  o coe 8505   finSupp cfsupp 9401  OrdIsocoi 9549   CNF ccnf 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-cnf 9702
This theorem is referenced by:  cantnflem3  9731
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