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Theorem cantnfle 9653
Description: A lower bound on the CNF function. Since ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) is defined as the sum of (𝐴o 𝑥) ·o (𝐹𝑥) over all 𝑥 in the support of 𝐹, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all 𝐶𝐵 instead of just those 𝐶 in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
cantnfval.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
cantnfle.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
cantnfle (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝑧,𝐶   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝐹,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem cantnfle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7404 . . 3 ((𝐹𝐶) = ∅ → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) = ((𝐴o 𝐶) ·o ∅))
21sseq1d 4011 . 2 ((𝐹𝐶) = ∅ → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)))
3 ovexd 7431 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
4 cantnfs.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
5 cantnfs.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ On)
6 cantnfs.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ On)
7 cantnfcl.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
8 cantnfcl.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑆)
94, 5, 6, 7, 8cantnfcl 9649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
109simpld 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
117oiiso 9519 . . . . . . . . 9 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
123, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
13 isof1o 7307 . . . . . . . 8 (𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
1514adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
16 f1ocnv 6835 . . . . . 6 (𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺)
17 f1of 6823 . . . . . 6 (𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
1815, 16, 173syl 18 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
19 cantnfle.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
2019anim1i 616 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅))
214, 5, 6cantnfs 9648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
228, 21mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
2322simpld 496 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
2423adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹:𝐵𝐴)
2524ffnd 6708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹 Fn 𝐵)
266adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
27 0ex 5303 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ∅ ∈ V)
29 elsuppfn 8143 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3120, 30mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅))
3218, 31ffvelcdmd 7075 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺)
339simprd 497 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
3433adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → dom 𝐺 ∈ ω)
35 eqimss 4038 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝐺𝑥 ⊆ dom 𝐺)
3635biantrurd 534 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥)))
37 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
3836, 37bitr3d 281 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
39 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘dom 𝐺))
4039sseq2d 4012 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
4138, 40imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
4241imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))))
43 sseq1 4005 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ ∅ ⊆ dom 𝐺))
44 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ ∅))
4543, 44anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅)))
46 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻‘∅))
4746sseq2d 4012 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
4845, 47imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))))
49 sseq1 4005 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺))
50 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦))
5149, 50anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)))
52 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
5352sseq2d 4012 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
5451, 53imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦))))
55 sseq1 4005 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺))
56 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦))
5755, 56anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦)))
58 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘suc 𝑦))
5958sseq2d 4012 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
6057, 59imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
61 noel 4328 . . . . . . . . . 10 ¬ (𝐺𝐶) ∈ ∅
6261pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝐶) ∈ ∅ → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6362adantl 483 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
65 fvex 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐶) ∈ V
6665elsuc 6426 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦))
67 sssucid 6436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ⊆ suc 𝑦
68 sstr 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ⊆ suc 𝑦 ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
6967, 68mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺)
7069ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
71 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)
72 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
7370, 71, 72syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
74 cantnfval.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
7574cantnfvalf 9647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻:ω⟶On
7675ffvelcdmi 7073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ω → (𝐻𝑦) ∈ On)
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ∈ On)
785ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ On)
796ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ On)
80 suppssdm 8149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
8180, 23fssdm 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
8281ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
83 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
84 sucidg 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8683, 85sseldd 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ dom 𝐺)
877oif 9512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
8887ffvelcdmi 7073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
8986, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
9082, 89sseldd 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐵)
91 onelon 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐺𝑦) ∈ On)
9279, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ On)
93 oecl 8524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ On) → (𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On)
9478, 92, 93syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On)
9523ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐹:𝐵𝐴)
9695, 90ffvelcdmd 7075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴)
97 onelon 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
9878, 96, 97syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
99 omcl 8523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
10094, 98, 99syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
101 oaword2 8541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐻𝑦) ∈ On ∧ ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
10277, 100, 101syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
1034, 5, 6, 7, 8, 74cantnfsuc 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
104103ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
105102, 104sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
106 sstr 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) ∧ (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
107106expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
109108adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
11073, 109syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
111110expr 458 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
112 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝐶) = 𝑦)
113112fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = (𝐺𝑦))
114 f1ocnvfv2 7262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
11515, 31, 114syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
116115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
117113, 116eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝑦) = 𝐶)
118117oveq2d 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐴o (𝐺𝑦)) = (𝐴o 𝐶))
119117fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) = (𝐹𝐶))
120118, 119oveq12d 7414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) = ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)))
121 oaword1 8540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On ∧ (𝐻𝑦) ∈ On) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
122100, 77, 121syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
123122adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
124120, 123eqsstrrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
125103ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
126124, 125sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
127126expr 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
128127a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
129111, 128jaod 858 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
13066, 129biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
131130expimpd 455 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
132131com23 86 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
133132expcom 415 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))))
13448, 54, 60, 64, 133finds2 7878 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))))
13542, 134vtoclga 3564 . . . . 5 (dom 𝐺 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
13634, 135mpcom 38 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
13732, 136mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))
1384, 5, 6, 7, 8, 74cantnfval 9650 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
139138adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
140137, 139sseqtrrd 4021 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
141 onelon 6381 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ On)
1426, 19, 141syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ On)
143 oecl 8524 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴o 𝐶) ∈ On)
1445, 142, 143syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (𝐴o 𝐶) ∈ On)
145 om0 8504 . . . 4 ((𝐴o 𝐶) ∈ On → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) = ∅)
146144, 145syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) = ∅)
147 0ss 4394 . . 3 ∅ ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)
148146, 147eqsstrdi 4034 . 2 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
1492, 140, 148pm2.61ne 3028 1 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  wss 3946  c0 4320   class class class wbr 5144   E cep 5575   We wwe 5626  ccnv 5671  dom cdm 5672  Oncon0 6356  suc csuc 6358   Fn wfn 6530  wf 6531  1-1-ontowf1o 6534  cfv 6535   Isom wiso 6536  (class class class)co 7396  cmpo 7398  ωcom 7842   supp csupp 8133  seqωcseqom 8434   +o coa 8450   ·o comu 8451  o coe 8452   finSupp cfsupp 9349  OrdIsocoi 9491   CNF ccnf 9643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-seqom 8435  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-oexp 8459  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-oi 9492  df-cnf 9644
This theorem is referenced by:  cantnflem3  9673
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