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Theorem cantnfle 9123
Description: A lower bound on the CNF function. Since ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) is defined as the sum of (𝐴o 𝑥) ·o (𝐹𝑥) over all 𝑥 in the support of 𝐹, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all 𝐶𝐵 instead of just those 𝐶 in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
cantnfval.h 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
cantnfle.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
cantnfle (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝑧,𝐶   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝐹,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem cantnfle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7156 . . 3 ((𝐹𝐶) = ∅ → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) = ((𝐴o 𝐶) ·o ∅))
21sseq1d 4002 . 2 ((𝐹𝐶) = ∅ → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)))
3 ovexd 7183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
4 cantnfs.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
5 cantnfs.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ On)
6 cantnfs.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ On)
7 cantnfcl.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
8 cantnfcl.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑆)
94, 5, 6, 7, 8cantnfcl 9119 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
109simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
117oiiso 8990 . . . . . . . . 9 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
123, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
13 isof1o 7068 . . . . . . . 8 (𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
16 f1ocnv 6624 . . . . . 6 (𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺)
17 f1of 6612 . . . . . 6 (𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
1815, 16, 173syl 18 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
19 cantnfle.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
2019anim1i 614 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅))
214, 5, 6cantnfs 9118 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
228, 21mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
2322simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹:𝐵𝐴)
2524ffnd 6512 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹 Fn 𝐵)
266adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
27 0ex 5208 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ∅ ∈ V)
29 elsuppfn 7829 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1365 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3120, 30mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅))
3218, 31ffvelrnd 6848 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺)
339simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → dom 𝐺 ∈ ω)
35 eqimss 4027 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝐺𝑥 ⊆ dom 𝐺)
3635biantrurd 533 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥)))
37 eleq2 2906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
3836, 37bitr3d 282 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
39 fveq2 6667 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘dom 𝐺))
4039sseq2d 4003 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
4138, 40imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
4241imbi2d 342 . . . . . 6 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))))
43 sseq1 3996 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ ∅ ⊆ dom 𝐺))
44 eleq2 2906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ ∅))
4543, 44anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅)))
46 fveq2 6667 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻‘∅))
4746sseq2d 4003 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
4845, 47imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))))
49 sseq1 3996 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺))
50 eleq2 2906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦))
5149, 50anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)))
52 fveq2 6667 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
5352sseq2d 4003 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
5451, 53imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦))))
55 sseq1 3996 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺))
56 eleq2 2906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦))
5755, 56anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦)))
58 fveq2 6667 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘suc 𝑦))
5958sseq2d 4003 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
6057, 59imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
61 noel 4300 . . . . . . . . . 10 ¬ (𝐺𝐶) ∈ ∅
6261pm2.21i 119 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝐶) ∈ ∅ → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6362adantl 482 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
65 fvex 6680 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐶) ∈ V
6665elsuc 6258 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦))
67 sssucid 6266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ⊆ suc 𝑦
68 sstr 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ⊆ suc 𝑦 ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
6967, 68mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺)
7069ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
71 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)
72 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
7370, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
74 cantnfval.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝐺𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
7574cantnfvalf 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻:ω⟶On
7675ffvelrni 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ω → (𝐻𝑦) ∈ On)
7776ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ∈ On)
785ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ On)
796ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ On)
80 suppssdm 7834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
8180, 23fssdm 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
8281ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
83 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
84 sucidg 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8584ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8683, 85sseldd 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ dom 𝐺)
877oif 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
8887ffvelrni 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
8986, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
9082, 89sseldd 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐵)
91 onelon 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐺𝑦) ∈ On)
9279, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ On)
93 oecl 8153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ On) → (𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On)
9478, 92, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On)
9523ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐹:𝐵𝐴)
9695, 90ffvelrnd 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴)
97 onelon 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
9878, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
99 omcl 8152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴o (𝐺𝑦)) ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
10094, 98, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
101 oaword2 8169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐻𝑦) ∈ On ∧ ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
10277, 100, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
1034, 5, 6, 7, 8, 74cantnfsuc 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
104103ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
105102, 104sseqtrrd 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
106 sstr 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) ∧ (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
107106expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
109108adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
11073, 109syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
111110expr 457 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
112 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝐶) = 𝑦)
113112fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = (𝐺𝑦))
114 f1ocnvfv2 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
11515, 31, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
116115ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
117113, 116eqtr3d 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝑦) = 𝐶)
118117oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐴o (𝐺𝑦)) = (𝐴o 𝐶))
119117fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) = (𝐹𝐶))
120118, 119oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) = ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)))
121 oaword1 8168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On ∧ (𝐻𝑦) ∈ On) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
122100, 77, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
123122adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
124120, 123eqsstrrd 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
125103ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴o (𝐺𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺𝑦))) +o (𝐻𝑦)))
126124, 125sseqtrrd 4012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
127126expr 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
128127a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
129111, 128jaod 855 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
13066, 129syl5bi 243 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
131130expimpd 454 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
132131com23 86 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
133132expcom 414 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))))
13448, 54, 60, 64, 133finds2 7598 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))))
13542, 134vtoclga 3579 . . . . 5 (dom 𝐺 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
13634, 135mpcom 38 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
13732, 136mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))
1384, 5, 6, 7, 8, 74cantnfval 9120 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
139138adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
140137, 139sseqtrrd 4012 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
141 onelon 6214 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ On)
1426, 19, 141syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ On)
143 oecl 8153 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴o 𝐶) ∈ On)
1445, 142, 143syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴o 𝐶) ∈ On)
145 om0 8133 . . . 4 ((𝐴o 𝐶) ∈ On → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) = ∅)
146144, 145syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) = ∅)
147 0ss 4354 . . 3 ∅ ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)
148146, 147eqsstrdi 4025 . 2 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
1492, 140, 148pm2.61ne 3107 1 (𝜑 → ((𝐴o 𝐶) ·o (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  Vcvv 3500  wss 3940  c0 4295   class class class wbr 5063   E cep 5463   We wwe 5512  ccnv 5553  dom cdm 5554  Oncon0 6189  suc csuc 6191   Fn wfn 6347  wf 6348  1-1-ontowf1o 6351  cfv 6352   Isom wiso 6353  (class class class)co 7148  cmpo 7150  ωcom 7568   supp csupp 7821  seqωcseqom 8074   +o coa 8090   ·o comu 8091  o coe 8092   finSupp cfsupp 8822  OrdIsocoi 8962   CNF ccnf 9113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-seqom 8075  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-oexp 8099  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-oi 8963  df-cnf 9114
This theorem is referenced by:  cantnflem3  9143
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