Theorem cantnfle 9711

Description: A lower bound on the CNF function. Since ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) is defined as the sum of (𝐴 ↑_o 𝑥) ·_o (𝐹‘𝑥) over all 𝑥 in the support of 𝐹, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all 𝐶 ∈ 𝐵 instead of just those 𝐶 in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g	⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
cantnfval.h	⊢ 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
cantnfle.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cantnfle	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝑧,𝐶   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝐹,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem cantnfle

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐶) = ∅ → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) = ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o ∅))
2	1	sseq1d 4015	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐶) = ∅ → (((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ↔ ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)))
3		ovexd 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
4		cantnfs.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
5		cantnfs.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
6		cantnfs.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
7		cantnfcl.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
8		cantnfcl.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	cantnfcl 9707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
10	9	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
11	7	oiiso 9577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
12	3, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
13		isof1o 7343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺–1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:dom 𝐺–1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:dom 𝐺–1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
16		f1ocnv 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:dom 𝐺–1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → ◡𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺)
17		f1of 6848	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺 → ◡𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → ◡𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
19		cantnfle.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
20	19	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅))
21	4, 5, 6	cantnfs 9706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
22	8, 21	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅))
23	22	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
25	24	ffnd 6737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → 𝐹 Fn 𝐵)
26	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
27		0ex 5307	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → ∅ ∈ V)
29		elsuppfn 8195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅)))
30	25, 26, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅)))
31	20, 30	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅))
32	18, 31	ffvelcdmd 7105	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → (◡𝐺‘𝐶) ∈ dom 𝐺)
33	9	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → dom 𝐺 ∈ ω)
35		eqimss 4042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = dom 𝐺 → 𝑥 ⊆ dom 𝐺)
36	35	biantrurd 532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = dom 𝐺 → ((◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥)))
37		eleq2 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = dom 𝐺 → ((◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (◡𝐺‘𝐶) ∈ dom 𝐺))
38	36, 37	bitr3d 281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (◡𝐺‘𝐶) ∈ dom 𝐺))
39		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = dom 𝐺 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘dom 𝐺))
40	39	sseq2d 4016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑥) ↔ ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
41	38, 40	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑥)) ↔ ((◡𝐺‘𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
42	41	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → ((◡𝐺‘𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))))
43		sseq1 4009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ ∅ ⊆ dom 𝐺))
44		eleq2 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (◡𝐺‘𝐶) ∈ ∅))
45	43, 44	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ ∅)))
46		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘∅))
47	46	sseq2d 4016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑥) ↔ ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
48	45, 47	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑥)) ↔ ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))))
49		sseq1 4009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ 𝑦 ⊆ dom 𝐺))
50		eleq2 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦))
51	49, 50	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦)))
52		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑦))
53	52	sseq2d 4016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑥) ↔ ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)))
54	51, 53	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑥)) ↔ ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦))))
55		sseq1 4009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺))
56		eleq2 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (◡𝐺‘𝐶) ∈ suc 𝑦))
57	55, 56	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ suc 𝑦)))
58		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘suc 𝑦))
59	58	sseq2d 4016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑥) ↔ ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
60	57, 59	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑥)) ↔ ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
61		noel 4338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ (◡𝐺‘𝐶) ∈ ∅
62	61	pm2.21i 119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐺‘𝐶) ∈ ∅ → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
63	62	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
65		fvex 6919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝐺‘𝐶) ∈ V
66	65	elsuc 6454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝐺‘𝐶) ∈ suc 𝑦 ↔ ((◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦))
67		sssucid 6464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑦 ⊆ suc 𝑦
68		sstr 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ⊆ suc 𝑦 ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
69	67, 68	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
70	69	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
71		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦)) → (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦)
72		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)))
73	70, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)))
74		cantnfval.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐻 = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑘)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
75	74	cantnfvalf 9705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐻:ω⟶On
76	75	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐻‘𝑦) ∈ On)
77	76	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻‘𝑦) ∈ On)
78	5	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ On)
79	6	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ On)
80		suppssdm 8202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
81	80, 23	fssdm 6755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
82	81	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
83		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
84		sucidg 6465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
85	84	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
86	83, 85	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ dom 𝐺)
87	7	oif 9570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
88	87	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
89	86, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
90	82, 89	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐵)
91		onelon 6409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑦) ∈ On)
92	79, 90, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑦) ∈ On)
93		oecl 8575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ On) → (𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ∈ On)
94	78, 92, 93	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ∈ On)
95	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
96	95, 90	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺‘𝑦)) ∈ 𝐴)
97		onelon 6409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑦)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘𝑦)) ∈ On)
98	78, 96, 97	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺‘𝑦)) ∈ On)
99		omcl 8574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑦)) ∈ On) → ((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) ∈ On)
100	94, 98, 99	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) ∈ On)
101		oaword2 8591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐻‘𝑦) ∈ On ∧ ((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) ∈ On) → (𝐻‘𝑦) ⊆ (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) +o (𝐻‘𝑦)))
102	77, 100, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻‘𝑦) ⊆ (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) +o (𝐻‘𝑦)))
103	4, 5, 6, 7, 8, 74	cantnfsuc 9710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) +o (𝐻‘𝑦)))
104	103	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) +o (𝐻‘𝑦)))
105	102, 104	sseqtrrd 4021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻‘𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
106		sstr 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦) ∧ (𝐻‘𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
107	106	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐻‘𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦) → (((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
108	105, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
109	108	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
110	73, 109	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
111	110	expr 456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
112		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)) → (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)
113	112	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(◡𝐺‘𝐶)) = (𝐺‘𝑦))
114		f1ocnvfv2 7297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐺:dom 𝐺–1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(◡𝐺‘𝐶)) = 𝐶)
115	15, 31, 114	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → (𝐺‘(◡𝐺‘𝐶)) = 𝐶)
116	115	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(◡𝐺‘𝐶)) = 𝐶)
117	113, 116	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘𝑦) = 𝐶)
118	117	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)) → (𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) = (𝐴 ↑o 𝐶))
119	117	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑦)) = (𝐹‘𝐶))
120	118, 119	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) = ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)))
121		oaword1 8590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) ∈ On ∧ (𝐻‘𝑦) ∈ On) → ((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) ⊆ (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) +o (𝐻‘𝑦)))
122	100, 77, 121	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) ⊆ (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) +o (𝐻‘𝑦)))
123	122	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) ⊆ (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) +o (𝐻‘𝑦)))
124	120, 123	eqsstrrd 4019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) +o (𝐻‘𝑦)))
125	103	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴 ↑o (𝐺‘𝑦)) ·o (𝐹‘(𝐺‘𝑦))) +o (𝐻‘𝑦)))
126	124, 125	sseqtrrd 4021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
127	126	expr 456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((◡𝐺‘𝐶) = 𝑦 → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
128	127	a1dd 50	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((◡𝐺‘𝐶) = 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
129	111, 128	jaod 860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (◡𝐺‘𝐶) = 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
130	66, 129	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((◡𝐺‘𝐶) ∈ suc 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
131	130	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ suc 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
132	131	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
133	132	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))))
134	48, 54, 60, 64, 133	finds2 7920	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (◡𝐺‘𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘𝑥))))
135	42, 134	vtoclga 3577	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐺 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → ((◡𝐺‘𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
136	34, 135	mpcom 38	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → ((◡𝐺‘𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
137	32, 136	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))
138	4, 5, 6, 7, 8, 74	cantnfval 9708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
139	138	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
140	137, 139	sseqtrrd 4021	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
141		onelon 6409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ On)
142	6, 19, 141	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ On)
143		oecl 8575	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ↑o 𝐶) ∈ On)
144	5, 142, 143	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↑o 𝐶) ∈ On)
145		om0 8555	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ↑o 𝐶) ∈ On → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o ∅) = ∅)
146	144, 145	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o ∅) = ∅)
147		0ss 4400	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)
148	146, 147	eqsstrdi 4028	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
149	2, 140, 148	pm2.61ne 3027	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑o 𝐶) ·o (𝐹‘𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   E cep 5583   We wwe 5636  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685  Oncon0 6384  suc csuc 6386   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561   Isom wiso 6562  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ωcom 7887   supp csupp 8185  seq_ωcseqom 8487   +_o coa 8503   ·_o comu 8504   ↑_o coe 8505   finSupp cfsupp 9401  OrdIsocoi 9549   CNF ccnf 9701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-cnf 9702

This theorem is referenced by:  cantnflem3  9731