MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dif1enlemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dif1enlemOLD 9161
Description: Obsolete version of dif1enlem 9160 as of 5-Jan-2025. (Contributed by BTernaryTau, 18-Aug-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dif1enlemOLD ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ω ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)

Proof of Theorem dif1enlemOLD
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . 2 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ω ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → 𝐹𝑉)
2 sucidg 6445 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
3 dff1o3 6839 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 ↔ (𝐹:𝐴onto→suc 𝑀 ∧ Fun 𝐹))
43simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → Fun 𝐹)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → Fun 𝐹)
6 f1ofo 6840 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝐹:𝐴onto→suc 𝑀)
7 f1ofn 6834 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝐹 Fn 𝐴)
8 fnresdm 6669 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
9 foeq1 6801 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) = 𝐹 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀𝐹:𝐴onto→suc 𝑀))
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀𝐹:𝐴onto→suc 𝑀))
116, 10mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → (𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀)
137adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → 𝐹 Fn 𝐴)
14 f1ocnvdm 7286 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹𝑀) ∈ 𝐴)
15 f1ocnvfv2 7278 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹‘(𝐹𝑀)) = 𝑀)
16 snidg 4662 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ suc 𝑀𝑀 ∈ {𝑀})
1716adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → 𝑀 ∈ {𝑀})
1815, 17eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹‘(𝐹𝑀)) ∈ {𝑀})
19 fressnfv 7160 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝐴) → ((𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀} ↔ (𝐹‘(𝐹𝑀)) ∈ {𝑀}))
2019biimp3ar 1469 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐹𝑀)) ∈ {𝑀}) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀})
2113, 14, 18, 20syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀})
22 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ ¬ (𝐹𝑀) ∈ 𝐴)
2322con2bii 357 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑀) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅)
2414, 23sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → ¬ (𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅)
25 fnresdisj 6670 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅))
267, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅))
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅))
2824, 27mtbid 324 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → ¬ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅)
2928neqned 2946 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) ≠ ∅)
30 foconst 6820 . . . . . . . 8 (((𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀} ∧ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) ≠ ∅) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}–onto→{𝑀})
3121, 29, 30syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}–onto→{𝑀})
32 resdif 6854 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀 ∧ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}–onto→{𝑀}) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
335, 12, 31, 32syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
342, 33sylan2 592 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ ω) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
35 nnord 7867 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
36 orddif 6460 . . . . . . . 8 (Ord 𝑀𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
3837f1oeq3d 6830 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ω → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀})))
3938adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ ω) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀})))
4034, 39mpbird 257 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ ω) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀)
4140ancoms 458 . . 3 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀)
42413adant1 1129 . 2 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ω ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀)
43 resexg 6027 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})) ∈ V)
44 f1oen3g 8966 . . 3 (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)
4543, 44sylan 579 . 2 ((𝐹𝑉 ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)
461, 42, 45syl2anc 583 1 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ω ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  Vcvv 3473  cdif 3945  cin 3947  c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  ccnv 5675  cres 5678  Ord word 6363  suc csuc 6366  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  wf 6539  ontowfo 6541  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  ωcom 7859  cen 8940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7860  df-en 8944
This theorem is referenced by:  rexdif1enOLD  9163  dif1enOLD  9166
  Copyright terms: Public domain W3C validator