MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dif1enlemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dif1enlemOLD 9097
Description: Obsolete version of dif1enlem 9096 as of 5-Jan-2025. (Contributed by BTernaryTau, 18-Aug-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dif1enlemOLD ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ω ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)

Proof of Theorem dif1enlemOLD
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . 2 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ω ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → 𝐹𝑉)
2 sucidg 6396 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
3 dff1o3 6787 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 ↔ (𝐹:𝐴onto→suc 𝑀 ∧ Fun 𝐹))
43simprbi 497 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → Fun 𝐹)
54adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → Fun 𝐹)
6 f1ofo 6788 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝐹:𝐴onto→suc 𝑀)
7 f1ofn 6782 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝐹 Fn 𝐴)
8 fnresdm 6617 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
9 foeq1 6749 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) = 𝐹 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀𝐹:𝐴onto→suc 𝑀))
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀𝐹:𝐴onto→suc 𝑀))
116, 10mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → (𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀)
137adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → 𝐹 Fn 𝐴)
14 f1ocnvdm 7227 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹𝑀) ∈ 𝐴)
15 f1ocnvfv2 7219 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹‘(𝐹𝑀)) = 𝑀)
16 snidg 4618 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ suc 𝑀𝑀 ∈ {𝑀})
1716adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → 𝑀 ∈ {𝑀})
1815, 17eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹‘(𝐹𝑀)) ∈ {𝑀})
19 fressnfv 7102 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝐴) → ((𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀} ↔ (𝐹‘(𝐹𝑀)) ∈ {𝑀}))
2019biimp3ar 1470 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐹𝑀)) ∈ {𝑀}) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀})
2113, 14, 18, 20syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀})
22 disjsn 4670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ ¬ (𝐹𝑀) ∈ 𝐴)
2322con2bii 357 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑀) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅)
2414, 23sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → ¬ (𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅)
25 fnresdisj 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅))
267, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀 → ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅))
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → ((𝐴 ∩ {(𝐹𝑀)}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅))
2824, 27mtbid 323 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → ¬ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) = ∅)
2928neqned 2948 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) ≠ ∅)
30 foconst 6768 . . . . . . . 8 (((𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}⟶{𝑀} ∧ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}) ≠ ∅) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}–onto→{𝑀})
3121, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}–onto→{𝑀})
32 resdif 6802 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝐴):𝐴onto→suc 𝑀 ∧ (𝐹 ↾ {(𝐹𝑀)}):{(𝐹𝑀)}–onto→{𝑀}) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
335, 12, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
342, 33sylan2 593 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ ω) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
35 nnord 7806 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
36 orddif 6411 . . . . . . . 8 (Ord 𝑀𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
3837f1oeq3d 6778 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ω → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀})))
3938adantl 482 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ ω) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀 ↔ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto→(suc 𝑀 ∖ {𝑀})))
4034, 39mpbird 256 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ ω) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀)
4140ancoms 459 . . 3 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀)
42413adant1 1130 . 2 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ω ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀)
43 resexg 5981 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})) ∈ V)
44 f1oen3g 8902 . . 3 (((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})) ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)
4543, 44sylan 580 . 2 ((𝐹𝑉 ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})):(𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)})–1-1-onto𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)
461, 42, 45syl2anc 584 1 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ω ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝐹𝑀)}) ≈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  Vcvv 3443  cdif 3905  cin 3907  c0 4280  {csn 4584   class class class wbr 5103  ccnv 5630  cres 5633  Ord word 6314  suc csuc 6317  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  wf 6489  ontowfo 6491  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493  ωcom 7798  cen 8876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7799  df-en 8880
This theorem is referenced by:  rexdif1enOLD  9099  dif1enOLD  9102
  Copyright terms: Public domain W3C validator