Theorem sucomisnotcard 43533

Description: ω +_o 1_o is not a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sucomisnotcard	⊢ ¬ (ω +o 1o) ∈ ran card

Proof of Theorem sucomisnotcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9599	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
2		sucidg 6415	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ suc ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ∈ suc ω
4		omensuc 9609	. . . . 5 ⊢ ω ≈ suc ω
5		breq1 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ω → (𝑥 ≈ suc ω ↔ ω ≈ suc ω))
6	5	rspcev 3588	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ suc ω ∧ ω ≈ suc ω) → ∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω)
7	3, 4, 6	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω
8		dfrex2 3056	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω)
9	7, 8	mpbi 230	. . 3 ⊢ ¬ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω
10	9	intnan 486	. 2 ⊢ ¬ (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω)
11		oa1suc 8495	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (ω +o 1o) = suc ω)
12	1, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ω +o 1o) = suc ω
13	12	eleq1i 2819	. . 3 ⊢ ((ω +o 1o) ∈ ran card ↔ suc ω ∈ ran card)
14		elrncard 43526	. . 3 ⊢ (suc ω ∈ ran card ↔ (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω))
15	13, 14	sylbb 219	. 2 ⊢ ((ω +o 1o) ∈ ran card → (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω))
16	10, 15	mto 197	1 ⊢ ¬ (ω +o 1o) ∈ ran card

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ran crn 5639  Oncon0 6332  suc csuc 6334  (class class class)co 7387  ωcom 7842  1_oc1o 8427   +_o coa 8431   ≈ cen 8915  cardccrd 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-card 9892

This theorem is referenced by: (None)