Theorem sucomisnotcard 44155

Description: ω +_o 1_o is not a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sucomisnotcard	⊢ ¬ (ω +o 1o) ∈ ran card

Proof of Theorem sucomisnotcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9611	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
2		sucidg 6441	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ suc ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ∈ suc ω
4		omensuc 9621	. . . . 5 ⊢ ω ≈ suc ω
5		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ω → (𝑥 ≈ suc ω ↔ ω ≈ suc ω))
6	5	rspcev 3590	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ suc ω ∧ ω ≈ suc ω) → ∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω)
7	3, 4, 6	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω
8		dfrex2 3098	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω)
9	7, 8	mpbi 233	. . 3 ⊢ ¬ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω
10	9	intnan 491	. 2 ⊢ ¬ (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω)
11		oa1suc 8512	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (ω +o 1o) = suc ω)
12	1, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ω +o 1o) = suc ω
13	12	eleq1i 2860	. . 3 ⊢ ((ω +o 1o) ∈ ran card ↔ suc ω ∈ ran card)
14		elrncard 44148	. . 3 ⊢ (suc ω ∈ ran card ↔ (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω))
15	13, 14	sylbb 222	. 2 ⊢ ((ω +o 1o) ∈ ran card → (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω))
16	10, 15	mto 200	1 ⊢ ¬ (ω +o 1o) ∈ ran card

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   class class class wbr 5110  ran crn 5660  Oncon0 6357  suc csuc 6359  (class class class)co 7408  ωcom 7858  1_oc1o 8442   +_o coa 8446   ≈ cen 8936  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-card 9921

This theorem is referenced by: (None)