Theorem sucomisnotcard 44806

Description: ω +_o 1_o is not a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sucomisnotcard	⊢ ¬ (ω +o 1o) ∈ ran card

Proof of Theorem sucomisnotcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9684	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
2		sucidg 6472	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ suc ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ∈ suc ω
4		omensuc 9694	. . . . 5 ⊢ ω ≈ suc ω
5		breq1 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ω → (𝑥 ≈ suc ω ↔ ω ≈ suc ω))
6	5	rspcev 3580	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ suc ω ∧ ω ≈ suc ω) → ∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω)
7	3, 4, 6	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω
8		dfrex2 3093	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω)
9	7, 8	mpbi 233	. . 3 ⊢ ¬ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω
10	9	intnan 492	. 2 ⊢ ¬ (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω)
11		oa1suc 8577	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (ω +o 1o) = suc ω)
12	1, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ω +o 1o) = suc ω
13	12	eleq1i 2855	. . 3 ⊢ ((ω +o 1o) ∈ ran card ↔ suc ω ∈ ran card)
14		elrncard 44799	. . 3 ⊢ (suc ω ∈ ran card ↔ (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω))
15	13, 14	sylbb 222	. 2 ⊢ ((ω +o 1o) ∈ ran card → (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω))
16	10, 15	mto 200	1 ⊢ ¬ (ω +o 1o) ∈ ran card

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ran crn 5659  Oncon0 6388  suc csuc 6390  (class class class)co 7451  ωcom 7911  1_oc1o 8507   +_o coa 8511   ≈ cen 9008  cardccrd 10053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-card 10057

This theorem is used by: (None)