Theorem sucomisnotcard 43562

Description: ω +_o 1_o is not a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sucomisnotcard	⊢ ¬ (ω +o 1o) ∈ ran card

Proof of Theorem sucomisnotcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9687	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
2		sucidg 6464	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ suc ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ∈ suc ω
4		omensuc 9697	. . . . 5 ⊢ ω ≈ suc ω
5		breq1 5145	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ω → (𝑥 ≈ suc ω ↔ ω ≈ suc ω))
6	5	rspcev 3621	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ suc ω ∧ ω ≈ suc ω) → ∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω)
7	3, 4, 6	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω
8		dfrex2 3072	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω)
9	7, 8	mpbi 230	. . 3 ⊢ ¬ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω
10	9	intnan 486	. 2 ⊢ ¬ (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω)
11		oa1suc 8570	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (ω +o 1o) = suc ω)
12	1, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ω +o 1o) = suc ω
13	12	eleq1i 2831	. . 3 ⊢ ((ω +o 1o) ∈ ran card ↔ suc ω ∈ ran card)
14		elrncard 43555	. . 3 ⊢ (suc ω ∈ ran card ↔ (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω))
15	13, 14	sylbb 219	. 2 ⊢ ((ω +o 1o) ∈ ran card → (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω))
16	10, 15	mto 197	1 ⊢ ¬ (ω +o 1o) ∈ ran card

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142  ran crn 5685  Oncon0 6383  suc csuc 6385  (class class class)co 7432  ωcom 7888  1_oc1o 8500   +_o coa 8504   ≈ cen 8983  cardccrd 9976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-card 9980

This theorem is referenced by: (None)