Theorem sucomisnotcard 43577

Description: ω +_o 1_o is not a cardinal number. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sucomisnotcard	⊢ ¬ (ω +o 1o) ∈ ran card

Proof of Theorem sucomisnotcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9531	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
2		sucidg 6384	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ suc ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ∈ suc ω
4		omensuc 9541	. . . . 5 ⊢ ω ≈ suc ω
5		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ω → (𝑥 ≈ suc ω ↔ ω ≈ suc ω))
6	5	rspcev 3572	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ suc ω ∧ ω ≈ suc ω) → ∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω)
7	3, 4, 6	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω
8		dfrex2 3059	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc ω𝑥 ≈ suc ω ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω)
9	7, 8	mpbi 230	. . 3 ⊢ ¬ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω
10	9	intnan 486	. 2 ⊢ ¬ (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω)
11		oa1suc 8441	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (ω +o 1o) = suc ω)
12	1, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ω +o 1o) = suc ω
13	12	eleq1i 2822	. . 3 ⊢ ((ω +o 1o) ∈ ran card ↔ suc ω ∈ ran card)
14		elrncard 43570	. . 3 ⊢ (suc ω ∈ ran card ↔ (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω))
15	13, 14	sylbb 219	. 2 ⊢ ((ω +o 1o) ∈ ran card → (suc ω ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ suc ω ¬ 𝑥 ≈ suc ω))
16	10, 15	mto 197	1 ⊢ ¬ (ω +o 1o) ∈ ran card

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5086  ran crn 5612  Oncon0 6301  suc csuc 6303  (class class class)co 7341  ωcom 7791  1_oc1o 8373   +_o coa 8377   ≈ cen 8861  cardccrd 9823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-card 9827

This theorem is referenced by: (None)