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Theorem omeulem1 8529
Description: Lemma for omeu 8532: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
omeulem1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem omeulem1
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
2 onsucb 7752 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On ↔ suc 𝐵 ∈ On)
31, 2sylib 217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ∈ On)
4 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5 on0eln0 6373 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
65biimpar 478 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
763adant2 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
8 omword2 8521 . . . . 5 (((suc 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
93, 4, 7, 8syl21anc 836 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
10 sucidg 6398 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ suc 𝐵)
11 ssel 3937 . . . . 5 (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ suc 𝐵𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
1210, 11syl5 34 . . . 4 (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
139, 1, 12sylc 65 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵))
14 suceq 6383 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
1514oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝐵))
1615eleq2d 2823 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
1716rspcev 3581 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
181, 13, 17syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
19 suceq 6383 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → suc 𝑥 = suc 𝑧)
2019oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑧))
2120eleq2d 2823 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
2221onminex 7737 . . 3 (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
23 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
2423elon 6326 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ On ↔ Ord 𝑥)
25 ordzsl 7781 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord 𝑥 ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
2624, 25bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
27 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ∅ → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o ∅))
28 om0 8463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
2927, 28sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐴 ·o 𝑥) = ∅)
30 ne0i 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → (𝐴 ·o 𝑥) ≠ ∅)
3130necon2bi 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ·o 𝑥) = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
3332ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ On → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
3433a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ On → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
35343ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
3635imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
37 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → 𝑥 = suc 𝑤)
38 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
39 raleq 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
40 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤 ∈ V
4140sucid 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤 ∈ suc 𝑤
42 suceq 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑤 → suc 𝑧 = suc 𝑤)
4342oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑤 → (𝐴 ·o suc 𝑧) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
4443eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4544notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4645rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ suc 𝑤 → (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4741, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
4839, 47syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4937, 38, 48sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
50 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
5150eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
5251notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = suc 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
5352biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = suc 𝑤 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
5437, 49, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
55543expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
5655rexlimdvw 3157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
57 ralnex 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
58 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
5923a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → 𝑥 ∈ V)
60 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → Lim 𝑥)
61 omlim 8479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥)) → (𝐴 ·o 𝑥) = 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
6258, 59, 60, 61syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) = 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
6362eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧)))
64 eliun 4958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧))
65 limord 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
66653ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → Ord 𝑥)
6766, 24sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ∈ On)
68 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
69 onelon 6342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ On)
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ On)
71 onsuc 7746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → suc 𝑧 ∈ On)
73 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝐴 ∈ On)
74 sssucid 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑧 ⊆ suc 𝑧
75 omwordi 8518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑧 ⊆ suc 𝑧 → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
7674, 75mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
7770, 72, 73, 76syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
7877sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
79783expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝑧𝑥 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))))
8079reximdvai 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8164, 80biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8263, 81sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8382con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (¬ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8457, 83biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8584expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8685com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
87863ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8836, 56, 873jaod 1428 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ((𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8926, 88biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9089impr 455 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
91 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐴 ∈ On)
92 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝑥 ∈ On)
93 omcl 8482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
9491, 92, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
95 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
96 ontri1 6351 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9794, 95, 96syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9890, 97mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵)
99 oawordex 8504 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
10094, 95, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
10198, 100mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
1021013adantr1 1169 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
103 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
104 simp21 1206 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
105 simp11 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐴 ∈ On)
106 simp23 1208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑥 ∈ On)
107 omsuc 8472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
108105, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
109104, 108eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
110103, 109eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
111 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ On)
112105, 106, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
113 oaord 8494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
114111, 105, 112, 113syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
115110, 114mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦𝐴)
116115, 103jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
1171163expia 1121 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵) → (𝑦𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
118117reximdv2 3161 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
119102, 118mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
120119expcom 414 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
1211203expia 1121 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
122121com13 88 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ On → ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
123122reximdvai 3162 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
12422, 123syl5 34 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
12518, 124mpd 15 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282   ciun 4954  Ord word 6316  Oncon0 6317  Lim wlim 6318  suc csuc 6319  (class class class)co 7357   +o coa 8409   ·o comu 8410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417
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