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Theorem omeulem1 8195
Description: Lemma for omeu 8198: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
omeulem1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem omeulem1
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
2 sucelon 7517 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On ↔ suc 𝐵 ∈ On)
31, 2sylib 221 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ∈ On)
4 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5 on0eln0 6224 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
65biimpar 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
763adant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
8 omword2 8187 . . . . 5 (((suc 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
93, 4, 7, 8syl21anc 836 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
10 sucidg 6247 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ suc 𝐵)
11 ssel 3935 . . . . 5 (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ suc 𝐵𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
1210, 11syl5 34 . . . 4 (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
139, 1, 12sylc 65 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵))
14 suceq 6234 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
1514oveq2d 7156 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝐵))
1615eleq2d 2899 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
1716rspcev 3598 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
181, 13, 17syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
19 suceq 6234 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → suc 𝑥 = suc 𝑧)
2019oveq2d 7156 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑧))
2120eleq2d 2899 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
2221onminex 7507 . . 3 (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
23 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
2423elon 6178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ On ↔ Ord 𝑥)
25 ordzsl 7545 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord 𝑥 ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
2624, 25bitri 278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
27 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ∅ → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o ∅))
28 om0 8129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
2927, 28sylan9eqr 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐴 ·o 𝑥) = ∅)
30 ne0i 4272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → (𝐴 ·o 𝑥) ≠ ∅)
3130necon2bi 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ·o 𝑥) = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
3332ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ On → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
3433a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ On → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
35343ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
3635imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
37 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → 𝑥 = suc 𝑤)
38 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
39 raleq 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
40 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤 ∈ V
4140sucid 6248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤 ∈ suc 𝑤
42 suceq 6234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑤 → suc 𝑧 = suc 𝑤)
4342oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑤 → (𝐴 ·o suc 𝑧) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
4443eleq2d 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4544notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4645rspcv 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ suc 𝑤 → (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4741, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
4839, 47syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4937, 38, 48sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
50 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
5150eleq2d 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
5251notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = suc 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
5352biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = suc 𝑤 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
5437, 49, 53syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
55543expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
5655rexlimdvw 3276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
57 ralnex 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
58 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
5923a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → 𝑥 ∈ V)
60 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → Lim 𝑥)
61 omlim 8145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥)) → (𝐴 ·o 𝑥) = 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
6258, 59, 60, 61syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) = 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
6362eleq2d 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧)))
64 eliun 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧))
65 limord 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
66653ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → Ord 𝑥)
6766, 24sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ∈ On)
68 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
69 onelon 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ On)
7067, 68, 69syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ On)
71 suceloni 7513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → suc 𝑧 ∈ On)
73 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝐴 ∈ On)
74 sssucid 6246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑧 ⊆ suc 𝑧
75 omwordi 8184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑧 ⊆ suc 𝑧 → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
7674, 75mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
7770, 72, 73, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
7877sseld 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
79783expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝑧𝑥 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))))
8079reximdvai 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8164, 80syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8263, 81sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8382con3d 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (¬ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8457, 83syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8584expimpd 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8685com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
87863ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8836, 56, 873jaod 1425 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ((𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8926, 88syl5bi 245 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9089impr 458 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
91 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐴 ∈ On)
92 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝑥 ∈ On)
93 omcl 8148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
9491, 92, 93syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
95 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
96 ontri1 6203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9794, 95, 96syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9890, 97mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵)
99 oawordex 8170 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
10094, 95, 99syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
10198, 100mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
1021013adantr1 1166 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
103 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
104 simp21 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
105 simp11 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐴 ∈ On)
106 simp23 1205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑥 ∈ On)
107 omsuc 8138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
108105, 106, 107syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
109104, 108eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
110103, 109eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
111 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ On)
112105, 106, 93syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
113 oaord 8160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
114111, 105, 112, 113syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
115110, 114mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦𝐴)
116115, 103jca 515 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
1171163expia 1118 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵) → (𝑦𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
118117reximdv2 3257 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
119102, 118mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
120119expcom 417 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
1211203expia 1118 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
122121com13 88 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ On → ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
123122reximdvai 3258 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
12422, 123syl5 34 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
12518, 124mpd 15 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  wrex 3131  Vcvv 3469  wss 3908  c0 4265   ciun 4894  Ord word 6168  Oncon0 6169  Lim wlim 6170  suc csuc 6171  (class class class)co 7140   +o coa 8086   ·o comu 8087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094
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