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Theorem omeulem1 8197
Description: Lemma for omeu 8200: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
omeulem1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem omeulem1
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
2 sucelon 7521 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On ↔ suc 𝐵 ∈ On)
31, 2sylib 219 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ∈ On)
4 simp1 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5 on0eln0 6239 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
65biimpar 478 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
763adant2 1123 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
8 omword2 8189 . . . . 5 (((suc 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
93, 4, 7, 8syl21anc 833 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
10 sucidg 6262 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ suc 𝐵)
11 ssel 3958 . . . . 5 (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ suc 𝐵𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
1210, 11syl5 34 . . . 4 (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
139, 1, 12sylc 65 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵))
14 suceq 6249 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
1514oveq2d 7161 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝐵))
1615eleq2d 2895 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
1716rspcev 3620 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
181, 13, 17syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
19 suceq 6249 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → suc 𝑥 = suc 𝑧)
2019oveq2d 7161 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑧))
2120eleq2d 2895 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
2221onminex 7511 . . 3 (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
23 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
2423elon 6193 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ On ↔ Ord 𝑥)
25 ordzsl 7549 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord 𝑥 ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
2624, 25bitri 276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
27 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ∅ → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o ∅))
28 om0 8131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
2927, 28sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐴 ·o 𝑥) = ∅)
30 ne0i 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → (𝐴 ·o 𝑥) ≠ ∅)
3130necon2bi 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ·o 𝑥) = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
3332ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ On → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
3433a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ On → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
35343ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
3635imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
37 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → 𝑥 = suc 𝑤)
38 simp2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
39 raleq 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
40 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤 ∈ V
4140sucid 6263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤 ∈ suc 𝑤
42 suceq 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑤 → suc 𝑧 = suc 𝑤)
4342oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑤 → (𝐴 ·o suc 𝑧) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
4443eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4544notbid 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4645rspcv 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ suc 𝑤 → (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4741, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
4839, 47syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4937, 38, 48sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
50 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
5150eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
5251notbid 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = suc 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
5352biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = suc 𝑤 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
5437, 49, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
55543expia 1113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
5655rexlimdvw 3287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
57 ralnex 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
58 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
5923a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → 𝑥 ∈ V)
60 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → Lim 𝑥)
61 omlim 8147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥)) → (𝐴 ·o 𝑥) = 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
6258, 59, 60, 61syl12anc 832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) = 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
6362eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧)))
64 eliun 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧))
65 limord 6243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
66653ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → Ord 𝑥)
6766, 24sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ∈ On)
68 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
69 onelon 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ On)
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ On)
71 suceloni 7517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → suc 𝑧 ∈ On)
73 simp2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝐴 ∈ On)
74 sssucid 6261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑧 ⊆ suc 𝑧
75 omwordi 8186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑧 ⊆ suc 𝑧 → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
7674, 75mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
7770, 72, 73, 76syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
7877sseld 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
79783expia 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝑧𝑥 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))))
8079reximdvai 3269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8164, 80syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8263, 81sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8382con3d 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (¬ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8457, 83syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8584expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8685com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
87863ad2antl1 1177 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8836, 56, 873jaod 1420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ((𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8926, 88syl5bi 243 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9089impr 455 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
91 simpl1 1183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐴 ∈ On)
92 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝑥 ∈ On)
93 omcl 8150 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
9491, 92, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
95 simpl2 1184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
96 ontri1 6218 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9794, 95, 96syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9890, 97mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵)
99 oawordex 8172 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
10094, 95, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
10198, 100mpbid 233 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
1021013adantr1 1161 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
103 simp3r 1194 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
104 simp21 1198 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
105 simp11 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐴 ∈ On)
106 simp23 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑥 ∈ On)
107 omsuc 8140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
108105, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
109104, 108eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
110103, 109eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
111 simp3l 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ On)
112105, 106, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
113 oaord 8162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
114111, 105, 112, 113syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
115110, 114mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦𝐴)
116115, 103jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
1171163expia 1113 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵) → (𝑦𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
118117reximdv2 3268 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
119102, 118mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
120119expcom 414 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
1211203expia 1113 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
122121com13 88 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ On → ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
123122reximdvai 3269 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
12422, 123syl5 34 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
12518, 124mpd 15 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288   ciun 4910  Ord word 6183  Oncon0 6184  Lim wlim 6185  suc csuc 6186  (class class class)co 7145   +o coa 8088   ·o comu 8089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096
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