Theorem omeulem1 8191

Description: Lemma for omeu 8194: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
omeulem1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem omeulem1

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
2		sucelon 7512	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ suc 𝐵 ∈ On)
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ∈ On)
4		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5		on0eln0 6214	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	5	biimpar 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
7	6	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
8		omword2 8183	. . . . 5 ⊢ (((suc 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
9	3, 4, 7, 8	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
10		sucidg 6237	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ suc 𝐵)
11		ssel 3908	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ suc 𝐵 → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
12	10, 11	syl5 34	. . . 4 ⊢ (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
13	9, 1, 12	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵))
14		suceq 6224	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
15	14	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝐵))
16	15	eleq2d 2875	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
17	16	rspcev 3571	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
18	1, 13, 17	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
19		suceq 6224	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → suc 𝑥 = suc 𝑧)
20	19	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑧))
21	20	eleq2d 2875	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
22	21	onminex 7502	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
23		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
24	23	elon 6168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ On ↔ Ord 𝑥)
25		ordzsl 7540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝑥 ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
26	24, 25	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ On ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
27		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o ∅))
28		om0 8125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
29	27, 28	sylan9eqr 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐴 ·o 𝑥) = ∅)
30		ne0i 4250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → (𝐴 ·o 𝑥) ≠ ∅)
31	30	necon2bi 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ·o 𝑥) = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
33	32	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
34	33	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
35	34	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
36	35	imp 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
37		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → 𝑥 = suc 𝑤)
38		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
39		raleq 3358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
40		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑤 ∈ V
41	40	sucid 6238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑤 ∈ suc 𝑤
42		suceq 6224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → suc 𝑧 = suc 𝑤)
43	42	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐴 ·o suc 𝑧) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
44	43	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
45	44	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
46	45	rspcv 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ suc 𝑤 → (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
47	41, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
48	39, 47	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
49	37, 38, 48	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
50		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
51	50	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
52	51	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = suc 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
53	52	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 = suc 𝑤 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
54	37, 49, 53	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
55	54	3expia 1118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
56	55	rexlimdvw 3249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
57		ralnex 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
58		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
59	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝑥 ∈ V)
60		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → Lim 𝑥)
61		omlim 8141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥)) → (𝐴 ·o 𝑥) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
62	58, 59, 60, 61	syl12anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
63	62	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑥 (𝐴 ·o 𝑧)))
64		eliun 4885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧))
65		limord 6218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
66	65	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → Ord 𝑥)
67	66, 24	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
68		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)
69		onelon 6184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ On)
70	67, 68, 69	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ On)
71		suceloni 7508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → suc 𝑧 ∈ On)
73		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ On)
74		sssucid 6236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑧 ⊆ suc 𝑧
75		omwordi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑧 ⊆ suc 𝑧 → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
76	74, 75	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
77	70, 72, 73, 76	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
78	77	sseld 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
79	78	3expia 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))))
80	79	reximdvai 3231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
81	64, 80	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
82	63, 81	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
83	82	con3d 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
84	57, 83	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
85	84	expimpd 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Lim 𝑥 → ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
86	85	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
87	86	3ad2antl1 1182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
88	36, 56, 87	3jaod 1425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ((𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
89	26, 88	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
90	89	impr 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
91		simpl1 1188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐴 ∈ On)
92		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝑥 ∈ On)
93		omcl 8144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
94	91, 92, 93	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
95		simpl2 1189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
96		ontri1 6193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
97	94, 95, 96	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
98	90, 97	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵)
99		oawordex 8166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
100	94, 95, 99	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
101	98, 100	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
102	101	3adantr1 1166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
103		simp3r 1199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
104		simp21 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
105		simp11 1200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐴 ∈ On)
106		simp23 1205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑥 ∈ On)
107		omsuc 8134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
108	105, 106, 107	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
109	104, 108	eleqtrd 2892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
110	103, 109	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
111		simp3l 1198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ On)
112	105, 106, 93	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
113		oaord 8156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
114	111, 105, 112, 113	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
115	110, 114	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
116	115, 103	jca 515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
117	116	3expia 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
118	117	reximdv2 3230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
119	102, 118	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
120	119	expcom 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
121	120	3expia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
122	121	com13 88	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ On → ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
123	122	reximdvai 3231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
124	22, 123	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
125	18, 124	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ∪ ciun 4881  Ord word 6158  Oncon0 6159  Lim wlim 6160  suc csuc 6161  (class class class)co 7135   +_o coa 8082   ·_o comu 8083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090

This theorem is referenced by:  omeu  8194