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Theorem omeulem1 8604
Description: Lemma for omeu 8607: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
omeulem1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem omeulem1
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
2 onsucb 7818 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On ↔ suc 𝐵 ∈ On)
31, 2sylib 217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ∈ On)
4 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5 on0eln0 6424 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
65biimpar 476 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
763adant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
8 omword2 8596 . . . . 5 (((suc 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
93, 4, 7, 8syl21anc 836 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
10 sucidg 6449 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ suc 𝐵)
11 ssel 3972 . . . . 5 (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ suc 𝐵𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
1210, 11syl5 34 . . . 4 (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
139, 1, 12sylc 65 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵))
14 suceq 6434 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
1514oveq2d 7432 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝐵))
1615eleq2d 2812 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
1716rspcev 3607 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
181, 13, 17syl2anc 582 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
19 suceq 6434 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → suc 𝑥 = suc 𝑧)
2019oveq2d 7432 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑧))
2120eleq2d 2812 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
2221onminex 7803 . . 3 (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
23 vex 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
2423elon 6377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ On ↔ Ord 𝑥)
25 ordzsl 7847 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord 𝑥 ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
2624, 25bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
27 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ∅ → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o ∅))
28 om0 8539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
2927, 28sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐴 ·o 𝑥) = ∅)
30 ne0i 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → (𝐴 ·o 𝑥) ≠ ∅)
3130necon2bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ·o 𝑥) = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
3332ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ On → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
3433a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ On → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
35343ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
3635imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
37 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → 𝑥 = suc 𝑤)
38 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
39 raleq 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
40 vex 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤 ∈ V
4140sucid 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤 ∈ suc 𝑤
42 suceq 6434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑤 → suc 𝑧 = suc 𝑤)
4342oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑤 → (𝐴 ·o suc 𝑧) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
4443eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4544notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4645rspcv 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ suc 𝑤 → (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4741, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
4839, 47biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
4937, 38, 48sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
50 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
5150eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
5251notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = suc 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
5352biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = suc 𝑤 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
5437, 49, 53syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
55543expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
5655rexlimdvw 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
57 ralnex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
58 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
5923a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → 𝑥 ∈ V)
60 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → Lim 𝑥)
61 omlim 8555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥)) → (𝐴 ·o 𝑥) = 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
6258, 59, 60, 61syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) = 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
6362eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧)))
64 eliun 4997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧))
65 limord 6428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
66653ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → Ord 𝑥)
6766, 24sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ∈ On)
68 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
69 onelon 6393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ On)
7067, 68, 69syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ On)
71 onsuc 7812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → suc 𝑧 ∈ On)
73 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → 𝐴 ∈ On)
74 sssucid 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑧 ⊆ suc 𝑧
75 omwordi 8593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑧 ⊆ suc 𝑧 → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
7674, 75mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
7770, 72, 73, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
7877sseld 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On ∧ 𝑧𝑥) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
79783expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝑧𝑥 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))))
8079reximdvai 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8164, 80biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 𝑧𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8263, 81sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
8382con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (¬ ∃𝑧𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8457, 83biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Lim 𝑥𝐴 ∈ On) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8584expimpd 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8685com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
87863ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8836, 56, 873jaod 1426 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ((𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
8926, 88biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9089impr 453 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
91 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐴 ∈ On)
92 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝑥 ∈ On)
93 omcl 8558 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
9491, 92, 93syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
95 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
96 ontri1 6402 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9794, 95, 96syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
9890, 97mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵)
99 oawordex 8579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
10094, 95, 99syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
10198, 100mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
1021013adantr1 1166 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
103 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
104 simp21 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
105 simp11 1200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐴 ∈ On)
106 simp23 1205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑥 ∈ On)
107 omsuc 8548 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
108105, 106, 107syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
109104, 108eleqtrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
110103, 109eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
111 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ On)
112105, 106, 93syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
113 oaord 8569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
114111, 105, 112, 113syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
115110, 114mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦𝐴)
116115, 103jca 510 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
1171163expia 1118 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵) → (𝑦𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
118117reximdv2 3154 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
119102, 118mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
120119expcom 412 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
1211203expia 1118 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
122121com13 88 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ On → ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
123122reximdvai 3155 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
12422, 123syl5 34 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
12518, 124mpd 15 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3462  wss 3946  c0 4322   ciun 4993  Ord word 6367  Oncon0 6368  Lim wlim 6369  suc csuc 6370  (class class class)co 7416   +o coa 8485   ·o comu 8486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-omul 8493
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