MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexdif1enOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexdif1enOLD 9198
Description: Obsolete version of rexdif1en 9197 as of 5-Jan-2025. (Contributed by BTernaryTau, 26-Aug-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rexdif1enOLD ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Proof of Theorem rexdif1enOLD
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8994 . 2 (𝐴 ≈ suc 𝑀 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀)
2 19.42v 1951 . . 3 (∃𝑓(𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀))
3 sucidg 6467 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
4 f1ocnvdm 7305 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
54ancoms 458 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ suc 𝑀𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
63, 5sylan 580 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
7 vex 3482 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
8 dif1enlemOLD 9196 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀)
97, 8mp3an1 1447 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀)
10 sneq 4641 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑓𝑀) → {𝑥} = {(𝑓𝑀)})
1110difeq2d 4136 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝑀) → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
1211breq1d 5158 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑓𝑀) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 ↔ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀))
1312rspcev 3622 . . . . 5 (((𝑓𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
146, 9, 13syl2anc 584 . . . 4 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
1514exlimiv 1928 . . 3 (∃𝑓(𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
162, 15sylbir 235 . 2 ((𝑀 ∈ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
171, 16sylan2b 594 1 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  ccnv 5688  suc csuc 6388  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  ωcom 7887  cen 8981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-en 8985
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator