MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexdif1enOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexdif1enOLD 9099
Description: Obsolete version of rexdif1en 9098 as of 5-Jan-2025. (Contributed by BTernaryTau, 26-Aug-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rexdif1enOLD ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Proof of Theorem rexdif1enOLD
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8889 . 2 (𝐴 ≈ suc 𝑀 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀)
2 19.42v 1957 . . 3 (∃𝑓(𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀))
3 sucidg 6396 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
4 f1ocnvdm 7227 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
54ancoms 459 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ suc 𝑀𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
63, 5sylan 580 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
7 vex 3447 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
8 dif1enlemOLD 9097 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀)
97, 8mp3an1 1448 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀)
10 sneq 4594 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑓𝑀) → {𝑥} = {(𝑓𝑀)})
1110difeq2d 4080 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝑀) → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
1211breq1d 5113 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑓𝑀) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 ↔ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀))
1312rspcev 3579 . . . . 5 (((𝑓𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
146, 9, 13syl2anc 584 . . . 4 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
1514exlimiv 1933 . . 3 (∃𝑓(𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
162, 15sylbir 234 . 2 ((𝑀 ∈ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
171, 16sylan2b 594 1 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wrex 3071  Vcvv 3443  cdif 3905  {csn 4584   class class class wbr 5103  ccnv 5630  suc csuc 6317  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493  ωcom 7798  cen 8876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7799  df-en 8880
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator