MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexdif1enOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexdif1enOLD 9103
Description: Obsolete version of rexdif1en 9102 as of 5-Jan-2025. (Contributed by BTernaryTau, 26-Aug-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rexdif1enOLD ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Proof of Theorem rexdif1enOLD
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8893 . 2 (𝐴 ≈ suc 𝑀 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀)
2 19.42v 1957 . . 3 (∃𝑓(𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀))
3 sucidg 6398 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
4 f1ocnvdm 7231 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
54ancoms 459 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ suc 𝑀𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
63, 5sylan 580 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
7 vex 3449 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
8 dif1enlemOLD 9101 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀)
97, 8mp3an1 1448 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀)
10 sneq 4596 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑓𝑀) → {𝑥} = {(𝑓𝑀)})
1110difeq2d 4082 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝑀) → (𝐴 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
1211breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑓𝑀) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 ↔ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀))
1312rspcev 3581 . . . . 5 (((𝑓𝑀) ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
146, 9, 13syl2anc 584 . . . 4 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
1514exlimiv 1933 . . 3 (∃𝑓(𝑀 ∈ ω ∧ 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
162, 15sylbir 234 . 2 ((𝑀 ∈ ω ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
171, 16sylan2b 594 1 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → ∃𝑥𝐴 (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907  {csn 4586   class class class wbr 5105  ccnv 5632  suc csuc 6319  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  ωcom 7802  cen 8880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-om 7803  df-en 8884
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator