Theorem taupilemrplb 37680

Description: A set of positive reals has (in the reals) a lower bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
taupilemrplb	⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem taupilemrplb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11137	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		inss1 4165	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∩ 𝐴) ⊆ ℝ+
3	2	sseli 3911	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ+)
4	3	rpge0d 12981	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴) → 0 ≤ 𝑦)
5	4	rgen 3055	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)0 ≤ 𝑦
6		breq1 5075	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
7	6	ralbidv 3162	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)0 ≤ 𝑦))
8	7	rspcev 3560	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦)
9	1, 5, 8	mp2an 698	1 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ∩ cin 3882   class class class wbr 5072  ℝcr 11028  0cc0 11029   ≤ cle 11171  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  taupilem2  37682  taupi  37683