Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  taupilemrplb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taupilemrplb 37302
Description: A set of positive reals has (in the reals) a lower bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
taupilemrplb 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+𝐴)𝑥𝑦
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem taupilemrplb
StepHypRef Expression
1 0re 11260 . 2 0 ∈ ℝ
2 inss1 4244 . . . . 5 (ℝ+𝐴) ⊆ ℝ+
32sseli 3990 . . . 4 (𝑦 ∈ (ℝ+𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ+)
43rpge0d 13078 . . 3 (𝑦 ∈ (ℝ+𝐴) → 0 ≤ 𝑦)
54rgen 3060 . 2 𝑦 ∈ (ℝ+𝐴)0 ≤ 𝑦
6 breq1 5150 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
76ralbidv 3175 . . 3 (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+𝐴)𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+𝐴)0 ≤ 𝑦))
87rspcev 3621 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+𝐴)0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+𝐴)𝑥𝑦)
91, 5, 8mp2an 692 1 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+𝐴)𝑥𝑦
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  cin 3961   class class class wbr 5147  cr 11151  0cc0 11152  cle 11293  +crp 13031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-addrcl 11213  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-rp 13032
This theorem is referenced by:  taupilem2  37304  taupi  37305
  Copyright terms: Public domain W3C validator