Theorem taupilemrplb 38432

Description: A set of positive reals has (in the reals) a lower bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
taupilemrplb	⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem taupilemrplb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11334	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		inss1 4136	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∩ 𝐴) ⊆ ℝ+
3	2	sseli 3909	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ+)
4	3	rpge0d 13192	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴) → 0 ≤ 𝑦)
5	4	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)0 ≤ 𝑦
6		breq1 5109	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
7	6	ralbidv 3189	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)0 ≤ 𝑦))
8	7	rspcev 3580	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦)
9	1, 5, 8	mp2an 705	1 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  ℝcr 11223  0cc0 11224   ≤ cle 11368  ℝ⁺crp 13144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-addrcl 11285  ax-rnegex 11295  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-rp 13145

This theorem is used by:  taupilem2  38434  taupi  38435