Theorem taupilemrplb 37284

Description: A set of positive reals has (in the reals) a lower bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
taupilemrplb	⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem taupilemrplb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11235	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		inss1 4212	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∩ 𝐴) ⊆ ℝ+
3	2	sseli 3954	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ+)
4	3	rpge0d 13053	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴) → 0 ≤ 𝑦)
5	4	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)0 ≤ 𝑦
6		breq1 5122	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
7	6	ralbidv 3163	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)0 ≤ 𝑦))
8	7	rspcev 3601	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦)
9	1, 5, 8	mp2an 692	1 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ 𝐴)𝑥 ≤ 𝑦

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∩ cin 3925   class class class wbr 5119  ℝcr 11126  0cc0 11127   ≤ cle 11268  ℝ⁺crp 13006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-addrcl 11188  ax-rnegex 11198  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-rp 13007

This theorem is referenced by:  taupilem2  37286  taupi  37287