Theorem taupilem1 35992

Description: Lemma for taupi 35994. A positive real whose cosine is one is at least 2 · π. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
taupilem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → (2 · π) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem taupilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12960	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		pirp 25897	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
3		rpmulcl 12978	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
5		rpre 12963	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) ∈ ℝ+ → (2 · π) ∈ ℝ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
7	6	recni 11209	. . . 4 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
8		rpgt0 12967	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) ∈ ℝ+ → 0 < (2 · π))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (2 · π)
10	6, 9	gt0ne0ii 11731	. . . 4 ⊢ (2 · π) ≠ 0
11	7, 10	dividi 11928	. . 3 ⊢ ((2 · π) / (2 · π)) = 1
12		rpdivcl 12980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ+)
13	12	rpgt0d 13000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
14	4, 13	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
16		rpcn 12965	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
17		coseq1 25960	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
19	18	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
20		zgt0ge1 12597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ → (0 < (𝐴 / (2 · π)) ↔ 1 ≤ (𝐴 / (2 · π))))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → (0 < (𝐴 / (2 · π)) ↔ 1 ≤ (𝐴 / (2 · π))))
22	15, 21	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → 1 ≤ (𝐴 / (2 · π)))
23	11, 22	eqbrtrid 5175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → ((2 · π) / (2 · π)) ≤ (𝐴 / (2 · π)))
24		rpre 12963	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
26	6, 9	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))
27		lediv1 12060	. . . 4 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → ((2 · π) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · π) / (2 · π)) ≤ (𝐴 / (2 · π))))
28	6, 26, 27	mp3an13 1452	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · π) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · π) / (2 · π)) ≤ (𝐴 / (2 · π))))
29	25, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → ((2 · π) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · π) / (2 · π)) ≤ (𝐴 / (2 · π))))
30	23, 29	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → (2 · π) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5140  ‘cfv 6531  (class class class)co 7392  ℂcc 11089  ℝcr 11090  0cc0 11091  1c1 11092   · cmul 11096   < clt 11229   ≤ cle 11230   / cdiv 11852  2c2 12248  ℤcz 12539  ℝ⁺crp 12955  cosccos 15989  πcpi 15991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-inf2 9617  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168  ax-pre-sup 11169  ax-addf 11170  ax-mulf 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-se 5624  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7652  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-supp 8128  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-1o 8447  df-2o 8448  df-er 8685  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9344  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9486  df-card 9915  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11853  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12454  df-z 12540  df-dec 12659  df-uz 12804  df-q 12914  df-rp 12956  df-xneg 13073  df-xadd 13074  df-xmul 13075  df-ioo 13309  df-ioc 13310  df-ico 13311  df-icc 13312  df-fz 13466  df-fzo 13609  df-fl 13738  df-mod 13816  df-seq 13948  df-exp 14009  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 14995  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15614  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17061  df-sets 17078  df-slot 17096  df-ndx 17108  df-base 17126  df-ress 17155  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17349  df-topn 17350  df-0g 17368  df-gsum 17369  df-topgen 17370  df-pt 17371  df-prds 17374  df-xrs 17429  df-qtop 17434  df-imas 17435  df-xps 17437  df-mre 17511  df-mrc 17512  df-acs 17514  df-mgm 18542  df-sgrp 18591  df-mnd 18602  df-submnd 18647  df-mulg 18922  df-cntz 19146  df-cmn 19613  df-psmet 20867  df-xmet 20868  df-met 20869  df-bl 20870  df-mopn 20871  df-fbas 20872  df-fg 20873  df-cnfld 20876  df-top 22322  df-topon 22339  df-topsp 22361  df-bases 22375  df-cld 22449  df-ntr 22450  df-cls 22451  df-nei 22528  df-lp 22566  df-perf 22567  df-cn 22657  df-cnp 22658  df-haus 22745  df-tx 22992  df-hmeo 23185  df-fil 23276  df-fm 23368  df-flim 23369  df-flf 23370  df-xms 23752  df-ms 23753  df-tms 23754  df-cncf 24320  df-limc 25309  df-dv 25310

This theorem is referenced by:  taupi  35994