Theorem taupilem1 37528

Description: Lemma for taupi 37530. A positive real whose cosine is one is at least 2 · π. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
taupilem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → (2 · π) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem taupilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12914	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		pirp 26430	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
3		rpmulcl 12934	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
5		rpre 12918	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) ∈ ℝ+ → (2 · π) ∈ ℝ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
7	6	recni 11150	. . . 4 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
8		rpgt0 12922	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) ∈ ℝ+ → 0 < (2 · π))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (2 · π)
10	6, 9	gt0ne0ii 11677	. . . 4 ⊢ (2 · π) ≠ 0
11	7, 10	dividi 11878	. . 3 ⊢ ((2 · π) / (2 · π)) = 1
12		rpdivcl 12936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ+)
13	12	rpgt0d 12956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
14	4, 13	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
16		rpcn 12920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
17		coseq1 26494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((cos‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
19	18	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
20		zgt0ge1 12550	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ → (0 < (𝐴 / (2 · π)) ↔ 1 ≤ (𝐴 / (2 · π))))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → (0 < (𝐴 / (2 · π)) ↔ 1 ≤ (𝐴 / (2 · π))))
22	15, 21	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → 1 ≤ (𝐴 / (2 · π)))
23	11, 22	eqbrtrid 5134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → ((2 · π) / (2 · π)) ≤ (𝐴 / (2 · π)))
24		rpre 12918	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
26	6, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))
27		lediv1 12011	. . . 4 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → ((2 · π) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · π) / (2 · π)) ≤ (𝐴 / (2 · π))))
28	6, 26, 27	mp3an13 1455	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · π) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · π) / (2 · π)) ≤ (𝐴 / (2 · π))))
29	25, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → ((2 · π) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · π) / (2 · π)) ≤ (𝐴 / (2 · π))))
30	23, 29	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝐴) = 1) → (2 · π) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  2c2 12204  ℤcz 12492  ℝ⁺crp 12909  cosccos 15991  πcpi 15993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-shft 14994  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-ef 15994  df-sin 15996  df-cos 15997  df-pi 15999  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-limc 25827  df-dv 25828

This theorem is referenced by:  taupi  37530