Theorem rpge0d 12975

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 12941	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  0cc0 11044   ≤ cle 11185  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  rprege0d  12978  rpexpmord  14109  01sqrexlem5  15188  isumrpcl  15785  isumltss  15790  harmonic  15801  expcnv  15806  prmreclem5  16867  prmreclem6  16868  4sqlem7  16891  nmoi2  24594  reperflem  24683  lebnumii  24841  nmoleub2lem3  24991  nmoleub3  24995  lmnn  25139  minveclem3  25305  pjthlem1  25313  ovoliunlem1  25379  vitalilem4  25488  vitali  25490  itg2const2  25618  itggt0  25721  lhop1lem  25894  plyeq0lem  26091  aalioulem4  26219  aaliou3lem2  26227  aaliou3lem3  26228  pserdvlem2  26314  abelthlem7  26324  pilem2  26338  pilem3  26339  divlogrlim  26520  logtayllem  26544  cxpge0  26568  divcxp  26572  cxpsqrtlem  26587  cxpsqrt  26588  abscxpbnd  26639  asinlem3  26757  leibpi  26828  birthdaylem3  26839  rlimcnp3  26853  cxplim  26858  rlimcxp  26860  cxp2limlem  26862  cxp2lim  26863  jensenlem2  26874  amgmlem  26876  emcllem2  26883  emcllem4  26885  emcllem6  26887  fsumharmonic  26898  zetacvg  26901  lgamgulmlem2  26916  lgamgulmlem3  26917  lgamgulmlem5  26919  lgamcvg2  26941  regamcl  26947  ftalem3  26961  ftalem5  26963  basellem6  26972  basellem8  26974  chtge0  26998  chtwordi  27042  chpval2  27105  chpchtsum  27106  chpub  27107  bposlem1  27171  bposlem2  27172  bposlem4  27174  bposlem5  27175  bposlem6  27176  bposlem7  27177  bposlem9  27179  lgsquadlem2  27268  chtppilimlem1  27360  chtppilimlem2  27361  chtppilim  27362  chpchtlim  27366  rplogsumlem1  27371  rplogsumlem2  27372  dchrisum0lem1a  27373  rpvmasumlem  27374  dchrisumlema  27375  2vmadivsumlem  27427  logdivbnd  27443  selberg3lem1  27444  selberg3lem2  27445  selberg4lem1  27447  pntrsumbnd2  27454  pntrlog2bndlem1  27464  pntrlog2bndlem2  27465  pntrlog2bndlem3  27466  pntrlog2bndlem4  27467  pntrlog2bndlem5  27468  pntrlog2bndlem6a  27469  pntrlog2bndlem6  27470  pntrlog2bnd  27471  pntibndlem2  27478  pntlemg  27485  pntlemk  27493  pntlem3  27496  pntleml  27498  ostth2lem1  27505  padicabv  27517  ostth2lem3  27522  ostth3  27525  nrt2irr  30375  ubthlem2  30773  minvecolem3  30778  minvecolem5  30783  pjhthlem1  31293  fsumub  32726  constrsqrtcl  33742  sqsscirc1  33871  omssubaddlem  34263  hgt750lemd  34612  logdivsqrle  34614  hgt750lem  34615  hgt750leme  34622  knoppndvlem18  36490  taupilemrplb  37281  poimirlem29  37616  itggt0cn  37657  geomcau  37726  cntotbnd  37763  rrndstprj2  37798  aks4d1p1p7  42035  2ap1caineq  42106  fltnltalem  42623  irrapxlem5  42787  pell1qrgaplem  42834  pell14qrgapw  42837  pellqrex  42840  rmxypos  42909  binomcxplemnotnn0  44318  recnnltrp  45346  rpgtrecnn  45349  stoweidlem3  45974  stoweidlem26  45997  wallispilem4  46039  wallispi  46041  wallispi2lem1  46042  stirlinglem1  46045  stirlinglem4  46048  stirlinglem10  46054  stirlinglem11  46055  stirlinglem12  46056  fourierdlem39  46117  fourierdlem42  46120  fourierdlem87  46164  fourierdlem107  46184  rrndistlt  46261  sge0rpcpnf  46392  ovnsubaddlem1  46541  hoidmvlelem2  46567  hoidmvlelem4  46569  ovolval5lem1  46623  vonioolem1  46651