Theorem rpge0d 13060

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 13027	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  0cc0 11134   ≤ cle 11275  ℝ⁺crp 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-addrcl 11195  ax-rnegex 11205  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-rp 13014

This theorem is referenced by:  rprege0d  13063  rpexpmord  14191  01sqrexlem5  15270  isumrpcl  15864  isumltss  15869  harmonic  15880  expcnv  15885  prmreclem5  16945  prmreclem6  16946  4sqlem7  16969  nmoi2  24674  reperflem  24763  lebnumii  24921  nmoleub2lem3  25071  nmoleub3  25075  lmnn  25220  minveclem3  25386  pjthlem1  25394  ovoliunlem1  25460  vitalilem4  25569  vitali  25571  itg2const2  25699  itggt0  25802  lhop1lem  25975  plyeq0lem  26172  aalioulem4  26300  aaliou3lem2  26308  aaliou3lem3  26309  pserdvlem2  26395  abelthlem7  26405  pilem2  26419  pilem3  26420  divlogrlim  26601  logtayllem  26625  cxpge0  26649  divcxp  26653  cxpsqrtlem  26668  cxpsqrt  26669  abscxpbnd  26720  asinlem3  26838  leibpi  26909  birthdaylem3  26920  rlimcnp3  26934  cxplim  26939  rlimcxp  26941  cxp2limlem  26943  cxp2lim  26944  jensenlem2  26955  amgmlem  26957  emcllem2  26964  emcllem4  26966  emcllem6  26968  fsumharmonic  26979  zetacvg  26982  lgamgulmlem2  26997  lgamgulmlem3  26998  lgamgulmlem5  27000  lgamcvg2  27022  regamcl  27028  ftalem3  27042  ftalem5  27044  basellem6  27053  basellem8  27055  chtge0  27079  chtwordi  27123  chpval2  27186  chpchtsum  27187  chpub  27188  bposlem1  27252  bposlem2  27253  bposlem4  27255  bposlem5  27256  bposlem6  27257  bposlem7  27258  bposlem9  27260  lgsquadlem2  27349  chtppilimlem1  27441  chtppilimlem2  27442  chtppilim  27443  chpchtlim  27447  rplogsumlem1  27452  rplogsumlem2  27453  dchrisum0lem1a  27454  rpvmasumlem  27455  dchrisumlema  27456  2vmadivsumlem  27508  logdivbnd  27524  selberg3lem1  27525  selberg3lem2  27526  selberg4lem1  27528  pntrsumbnd2  27535  pntrlog2bndlem1  27545  pntrlog2bndlem2  27546  pntrlog2bndlem3  27547  pntrlog2bndlem4  27548  pntrlog2bndlem5  27549  pntrlog2bndlem6a  27550  pntrlog2bndlem6  27551  pntrlog2bnd  27552  pntibndlem2  27559  pntlemg  27566  pntlemk  27574  pntlem3  27577  pntleml  27579  ostth2lem1  27586  padicabv  27598  ostth2lem3  27603  ostth3  27606  nrt2irr  30459  ubthlem2  30857  minvecolem3  30862  minvecolem5  30867  pjhthlem1  31377  fsumub  32812  constrsqrtcl  33818  sqsscirc1  33944  omssubaddlem  34336  hgt750lemd  34685  logdivsqrle  34687  hgt750lem  34688  hgt750leme  34695  knoppndvlem18  36552  taupilemrplb  37343  poimirlem29  37678  itggt0cn  37719  geomcau  37788  cntotbnd  37825  rrndstprj2  37860  aks4d1p1p7  42092  2ap1caineq  42163  fltnltalem  42660  irrapxlem5  42824  pell1qrgaplem  42871  pell14qrgapw  42874  pellqrex  42877  rmxypos  42946  binomcxplemnotnn0  44355  recnnltrp  45384  rpgtrecnn  45387  stoweidlem3  46012  stoweidlem26  46035  wallispilem4  46077  wallispi  46079  wallispi2lem1  46080  stirlinglem1  46083  stirlinglem4  46086  stirlinglem10  46092  stirlinglem11  46093  stirlinglem12  46094  fourierdlem39  46155  fourierdlem42  46158  fourierdlem87  46202  fourierdlem107  46222  rrndistlt  46299  sge0rpcpnf  46430  ovnsubaddlem1  46579  hoidmvlelem2  46605  hoidmvlelem4  46607  ovolval5lem1  46661  vonioolem1  46689