Theorem rpge0d 12941

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 12907	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  0cc0 11009   ≤ cle 11150  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-addrcl 11070  ax-rnegex 11080  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  rprege0d  12944  rpexpmord  14075  01sqrexlem5  15153  isumrpcl  15750  isumltss  15755  harmonic  15766  expcnv  15771  prmreclem5  16832  prmreclem6  16833  4sqlem7  16856  nmoi2  24616  reperflem  24705  lebnumii  24863  nmoleub2lem3  25013  nmoleub3  25017  lmnn  25161  minveclem3  25327  pjthlem1  25335  ovoliunlem1  25401  vitalilem4  25510  vitali  25512  itg2const2  25640  itggt0  25743  lhop1lem  25916  plyeq0lem  26113  aalioulem4  26241  aaliou3lem2  26249  aaliou3lem3  26250  pserdvlem2  26336  abelthlem7  26346  pilem2  26360  pilem3  26361  divlogrlim  26542  logtayllem  26566  cxpge0  26590  divcxp  26594  cxpsqrtlem  26609  cxpsqrt  26610  abscxpbnd  26661  asinlem3  26779  leibpi  26850  birthdaylem3  26861  rlimcnp3  26875  cxplim  26880  rlimcxp  26882  cxp2limlem  26884  cxp2lim  26885  jensenlem2  26896  amgmlem  26898  emcllem2  26905  emcllem4  26907  emcllem6  26909  fsumharmonic  26920  zetacvg  26923  lgamgulmlem2  26938  lgamgulmlem3  26939  lgamgulmlem5  26941  lgamcvg2  26963  regamcl  26969  ftalem3  26983  ftalem5  26985  basellem6  26994  basellem8  26996  chtge0  27020  chtwordi  27064  chpval2  27127  chpchtsum  27128  chpub  27129  bposlem1  27193  bposlem2  27194  bposlem4  27196  bposlem5  27197  bposlem6  27198  bposlem7  27199  bposlem9  27201  lgsquadlem2  27290  chtppilimlem1  27382  chtppilimlem2  27383  chtppilim  27384  chpchtlim  27388  rplogsumlem1  27393  rplogsumlem2  27394  dchrisum0lem1a  27395  rpvmasumlem  27396  dchrisumlema  27397  2vmadivsumlem  27449  logdivbnd  27465  selberg3lem1  27466  selberg3lem2  27467  selberg4lem1  27469  pntrsumbnd2  27476  pntrlog2bndlem1  27486  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem3  27488  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntrlog2bndlem6a  27491  pntrlog2bndlem6  27492  pntrlog2bnd  27493  pntibndlem2  27500  pntlemg  27507  pntlemk  27515  pntlem3  27518  pntleml  27520  ostth2lem1  27527  padicabv  27539  ostth2lem3  27544  ostth3  27547  nrt2irr  30417  ubthlem2  30815  minvecolem3  30820  minvecolem5  30825  pjhthlem1  31335  fsumub  32773  constrsqrtcl  33746  sqsscirc1  33875  omssubaddlem  34267  hgt750lemd  34616  logdivsqrle  34618  hgt750lem  34619  hgt750leme  34626  knoppndvlem18  36503  taupilemrplb  37294  poimirlem29  37629  itggt0cn  37670  geomcau  37739  cntotbnd  37776  rrndstprj2  37811  aks4d1p1p7  42047  2ap1caineq  42118  fltnltalem  42635  irrapxlem5  42799  pell1qrgaplem  42846  pell14qrgapw  42849  pellqrex  42852  rmxypos  42920  binomcxplemnotnn0  44329  recnnltrp  45356  rpgtrecnn  45359  stoweidlem3  45984  stoweidlem26  46007  wallispilem4  46049  wallispi  46051  wallispi2lem1  46052  stirlinglem1  46055  stirlinglem4  46058  stirlinglem10  46064  stirlinglem11  46065  stirlinglem12  46066  fourierdlem39  46127  fourierdlem42  46130  fourierdlem87  46174  fourierdlem107  46194  rrndistlt  46271  sge0rpcpnf  46402  ovnsubaddlem1  46551  hoidmvlelem2  46577  hoidmvlelem4  46579  ovolval5lem1  46633  vonioolem1  46661