Theorem rpge0d 12990

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 12956	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  0cc0 11038   ≤ cle 11180  ℝ⁺crp 12942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-rp 12943

This theorem is referenced by:  rprege0d  12993  rpexpmord  14130  01sqrexlem5  15208  isumrpcl  15808  isumltss  15813  harmonic  15824  expcnv  15829  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  4sqlem7  16915  nmoi2  24695  reperflem  24784  lebnumii  24933  nmoleub2lem3  25082  nmoleub3  25086  lmnn  25230  minveclem3  25396  pjthlem1  25404  ovoliunlem1  25469  vitalilem4  25578  vitali  25580  itg2const2  25708  itggt0  25811  lhop1lem  25980  plyeq0lem  26175  aalioulem4  26301  aaliou3lem2  26309  aaliou3lem3  26310  pserdvlem2  26393  abelthlem7  26403  pilem2  26417  pilem3  26418  divlogrlim  26599  logtayllem  26623  cxpge0  26647  divcxp  26651  cxpsqrtlem  26666  cxpsqrt  26667  abscxpbnd  26717  asinlem3  26835  leibpi  26906  birthdaylem3  26917  rlimcnp3  26931  cxplim  26935  rlimcxp  26937  cxp2limlem  26939  cxp2lim  26940  jensenlem2  26951  amgmlem  26953  emcllem2  26960  emcllem4  26962  emcllem6  26964  fsumharmonic  26975  zetacvg  26978  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  lgamgulmlem5  26996  lgamcvg2  27018  regamcl  27024  ftalem3  27038  ftalem5  27040  basellem6  27049  basellem8  27051  chtge0  27075  chtwordi  27119  chpval2  27181  chpchtsum  27182  chpub  27183  bposlem1  27247  bposlem2  27248  bposlem4  27250  bposlem5  27251  bposlem6  27252  bposlem7  27253  bposlem9  27255  lgsquadlem2  27344  chtppilimlem1  27436  chtppilimlem2  27437  chtppilim  27438  chpchtlim  27442  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  dchrisum0lem1a  27449  rpvmasumlem  27450  dchrisumlema  27451  2vmadivsumlem  27503  logdivbnd  27519  selberg3lem1  27520  selberg3lem2  27521  selberg4lem1  27523  pntrsumbnd2  27530  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6a  27545  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntibndlem2  27554  pntlemg  27561  pntlemk  27569  pntlem3  27572  pntleml  27574  ostth2lem1  27581  padicabv  27593  ostth2lem3  27598  ostth3  27601  nrt2irr  30543  ubthlem2  30942  minvecolem3  30947  minvecolem5  30952  pjhthlem1  31462  fsumub  32901  constrsqrtcl  33923  sqsscirc1  34052  omssubaddlem  34443  hgt750lemd  34792  logdivsqrle  34794  hgt750lem  34795  hgt750leme  34802  knoppndvlem18  36789  taupilemrplb  37634  poimirlem29  37970  itggt0cn  38011  geomcau  38080  cntotbnd  38117  rrndstprj2  38152  aks4d1p1p7  42513  2ap1caineq  42584  fltnltalem  43095  irrapxlem5  43254  pell1qrgaplem  43301  pell14qrgapw  43304  pellqrex  43307  rmxypos  43375  binomcxplemnotnn0  44783  recnnltrp  45806  rpgtrecnn  45809  stoweidlem3  46431  stoweidlem26  46454  wallispilem4  46496  wallispi  46498  wallispi2lem1  46499  stirlinglem1  46502  stirlinglem4  46505  stirlinglem10  46511  stirlinglem11  46512  stirlinglem12  46513  fourierdlem39  46574  fourierdlem42  46577  fourierdlem87  46621  fourierdlem107  46641  rrndistlt  46718  sge0rpcpnf  46849  ovnsubaddlem1  46998  hoidmvlelem2  47024  hoidmvlelem4  47026  ovolval5lem1  47080  vonioolem1  47108