Theorem rpge0d 12975

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 12941	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  0cc0 11044   ≤ cle 11185  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  rprege0d  12978  rpexpmord  14109  01sqrexlem5  15188  isumrpcl  15785  isumltss  15790  harmonic  15801  expcnv  15806  prmreclem5  16867  prmreclem6  16868  4sqlem7  16891  nmoi2  24651  reperflem  24740  lebnumii  24898  nmoleub2lem3  25048  nmoleub3  25052  lmnn  25196  minveclem3  25362  pjthlem1  25370  ovoliunlem1  25436  vitalilem4  25545  vitali  25547  itg2const2  25675  itggt0  25778  lhop1lem  25951  plyeq0lem  26148  aalioulem4  26276  aaliou3lem2  26284  aaliou3lem3  26285  pserdvlem2  26371  abelthlem7  26381  pilem2  26395  pilem3  26396  divlogrlim  26577  logtayllem  26601  cxpge0  26625  divcxp  26629  cxpsqrtlem  26644  cxpsqrt  26645  abscxpbnd  26696  asinlem3  26814  leibpi  26885  birthdaylem3  26896  rlimcnp3  26910  cxplim  26915  rlimcxp  26917  cxp2limlem  26919  cxp2lim  26920  jensenlem2  26931  amgmlem  26933  emcllem2  26940  emcllem4  26942  emcllem6  26944  fsumharmonic  26955  zetacvg  26958  lgamgulmlem2  26973  lgamgulmlem3  26974  lgamgulmlem5  26976  lgamcvg2  26998  regamcl  27004  ftalem3  27018  ftalem5  27020  basellem6  27029  basellem8  27031  chtge0  27055  chtwordi  27099  chpval2  27162  chpchtsum  27163  chpub  27164  bposlem1  27228  bposlem2  27229  bposlem4  27231  bposlem5  27232  bposlem6  27233  bposlem7  27234  bposlem9  27236  lgsquadlem2  27325  chtppilimlem1  27417  chtppilimlem2  27418  chtppilim  27419  chpchtlim  27423  rplogsumlem1  27428  rplogsumlem2  27429  dchrisum0lem1a  27430  rpvmasumlem  27431  dchrisumlema  27432  2vmadivsumlem  27484  logdivbnd  27500  selberg3lem1  27501  selberg3lem2  27502  selberg4lem1  27504  pntrsumbnd2  27511  pntrlog2bndlem1  27521  pntrlog2bndlem2  27522  pntrlog2bndlem3  27523  pntrlog2bndlem4  27524  pntrlog2bndlem5  27525  pntrlog2bndlem6a  27526  pntrlog2bndlem6  27527  pntrlog2bnd  27528  pntibndlem2  27535  pntlemg  27542  pntlemk  27550  pntlem3  27553  pntleml  27555  ostth2lem1  27562  padicabv  27574  ostth2lem3  27579  ostth3  27582  nrt2irr  30452  ubthlem2  30850  minvecolem3  30855  minvecolem5  30860  pjhthlem1  31370  fsumub  32803  constrsqrtcl  33762  sqsscirc1  33891  omssubaddlem  34283  hgt750lemd  34632  logdivsqrle  34634  hgt750lem  34635  hgt750leme  34642  knoppndvlem18  36510  taupilemrplb  37301  poimirlem29  37636  itggt0cn  37677  geomcau  37746  cntotbnd  37783  rrndstprj2  37818  aks4d1p1p7  42055  2ap1caineq  42126  fltnltalem  42643  irrapxlem5  42807  pell1qrgaplem  42854  pell14qrgapw  42857  pellqrex  42860  rmxypos  42929  binomcxplemnotnn0  44338  recnnltrp  45366  rpgtrecnn  45369  stoweidlem3  45994  stoweidlem26  46017  wallispilem4  46059  wallispi  46061  wallispi2lem1  46062  stirlinglem1  46065  stirlinglem4  46068  stirlinglem10  46074  stirlinglem11  46075  stirlinglem12  46076  fourierdlem39  46137  fourierdlem42  46140  fourierdlem87  46184  fourierdlem107  46204  rrndistlt  46281  sge0rpcpnf  46412  ovnsubaddlem1  46561  hoidmvlelem2  46587  hoidmvlelem4  46589  ovolval5lem1  46643  vonioolem1  46671