Theorem rpge0d 13090

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 13056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  0cc0 11124   ≤ cle 11268  ℝ⁺crp 13042

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-addrcl 11185  ax-rnegex 11195  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-rp 13043

This theorem is used by:  rprege0d  13093  rpexpmord  14232  01sqrexlem5  15333  isumrpcl  15932  isumltss  15937  harmonic  15948  expcnv  15953  prmreclem5  17012  prmreclem6  17013  4sqlem7  17036  nmoi2  24956  reperflem  25045  lebnumii  25194  nmoleub2lem3  25343  nmoleub3  25347  lmnn  25491  minveclem3  25657  pjthlem1  25665  ovoliunlem1  25730  vitalilem4  25839  vitali  25841  itg2const2  25969  itggt0  26071  lhop1lem  26240  plyeq0lem  26436  aalioulem4  26571  aaliou3lem2  26579  aaliou3lem3  26580  pserdvlem2  26664  abelthlem7  26674  pilem2  26688  pilem3  26689  divlogrlim  26872  logtayllem  26896  cxpge0  26920  divcxp  26924  cxpsqrtlem  26939  cxpsqrt  26940  abscxpbnd  26990  asinlem3  27108  leibpi  27179  birthdaylem3  27190  rlimcnp3  27204  cxplim  27208  rlimcxp  27210  cxp2limlem  27212  cxp2lim  27213  jensenlem2  27224  amgmlem  27226  emcllem2  27233  emcllem4  27235  emcllem6  27237  fsumharmonic  27248  zetacvg  27251  lgamgulmlem2  27266  lgamgulmlem3  27267  lgamgulmlem5  27269  lgamcvg2  27291  regamcl  27297  ftalem3  27311  ftalem5  27313  basellem6  27322  basellem8  27324  chtge0  27348  chtwordi  27392  chpval2  27454  chpchtsum  27455  chpub  27456  bposlem1  27520  bposlem2  27521  bposlem4  27523  bposlem5  27524  bposlem6  27525  bposlem7  27526  bposlem9  27528  lgsquadlem2  27617  chtppilimlem1  27709  chtppilimlem2  27710  chtppilim  27711  chpchtlim  27715  rplogsumlem1  27720  rplogsumlem2  27721  dchrisum0lem1a  27722  rpvmasumlem  27723  dchrisumlema  27724  2vmadivsumlem  27776  logdivbnd  27792  selberg3lem1  27793  selberg3lem2  27794  selberg4lem1  27796  pntrsumbnd2  27803  pntrlog2bndlem1  27813  pntrlog2bndlem2  27814  pntrlog2bndlem3  27815  pntrlog2bndlem4  27816  pntrlog2bndlem5  27817  pntrlog2bndlem6a  27818  pntrlog2bndlem6  27819  pntrlog2bnd  27820  pntibndlem2  27827  pntlemg  27834  pntlemk  27842  pntlem3  27845  pntleml  27847  ostth2lem1  27854  padicabv  27866  ostth2lem3  27871  ostth3  27874  nrt2irr  30953  ubthlem2  31352  minvecolem3  31357  minvecolem5  31362  pjhthlem1  31872  fsumub  33298  constrsqrtcl  34289  sqsscirc1  34418  omssubaddlem  34810  hgt750lemd  35156  logdivsqrle  35158  hgt750lem  35159  hgt750leme  35166  knoppndvlem18  37226  taupilemrplb  38072  poimirlem29  38398  itggt0cn  38439  geomcau  38509  cntotbnd  38546  rrndstprj2  38581  aks4d1p1p7  42940  2ap1caineq  43011  fltnltalem  43508  irrapxlem5  43667  pell1qrgaplem  43714  pell14qrgapw  43717  pellqrex  43720  rmxypos  43788  binomcxplemnotnn0  45180  recnnltrp  46206  rpgtrecnn  46209  stoweidlem3  46831  stoweidlem26  46854  wallispilem4  46896  wallispi  46898  wallispi2lem1  46899  stirlinglem1  46902  stirlinglem4  46905  stirlinglem10  46911  stirlinglem11  46912  stirlinglem12  46913  fourierdlem39  46974  fourierdlem42  46977  fourierdlem87  47021  fourierdlem107  47041  rrndistlt  47118  sge0rpcpnf  47249  ovnsubaddlem1  47398  hoidmvlelem2  47424  hoidmvlelem4  47426  ovolval5lem1  47480  vonioolem1  47508