MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpge0d 12423
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpge0d (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpge0 12390 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114   class class class wbr 5042  0cc0 10526  cle 10665  +crp 12377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-rp 12378
This theorem is referenced by:  rprege0d  12426  rpexpmord  13528  sqrlem5  14597  isumrpcl  15189  isumltss  15194  harmonic  15205  expcnv  15210  prmreclem5  16245  prmreclem6  16246  4sqlem7  16269  nmoi2  23334  reperflem  23421  lebnumii  23569  nmoleub2lem3  23718  nmoleub3  23722  lmnn  23865  minveclem3  24031  pjthlem1  24039  ovoliunlem1  24104  vitalilem4  24213  vitali  24215  itg2const2  24343  itggt0  24445  lhop1lem  24614  plyeq0lem  24805  aalioulem4  24929  aaliou3lem2  24937  aaliou3lem3  24938  pserdvlem2  25021  abelthlem7  25031  pilem2  25045  pilem3  25046  divlogrlim  25224  logtayllem  25248  cxpge0  25272  divcxp  25276  cxpsqrtlem  25291  cxpsqrt  25292  abscxpbnd  25340  asinlem3  25455  leibpi  25526  birthdaylem3  25537  rlimcnp3  25551  cxplim  25555  rlimcxp  25557  cxp2limlem  25559  cxp2lim  25560  jensenlem2  25571  amgmlem  25573  emcllem2  25580  emcllem4  25582  emcllem6  25584  fsumharmonic  25595  zetacvg  25598  lgamgulmlem2  25613  lgamgulmlem3  25614  lgamgulmlem5  25616  lgamcvg2  25638  regamcl  25644  ftalem3  25658  ftalem5  25660  basellem6  25669  basellem8  25671  chtge0  25695  chtwordi  25739  chpval2  25800  chpchtsum  25801  chpub  25802  bposlem1  25866  bposlem2  25867  bposlem4  25869  bposlem5  25870  bposlem6  25871  bposlem7  25872  bposlem9  25874  lgsquadlem2  25963  chtppilimlem1  26055  chtppilimlem2  26056  chtppilim  26057  chpchtlim  26061  rplogsumlem1  26066  rplogsumlem2  26067  dchrisum0lem1a  26068  rpvmasumlem  26069  dchrisumlema  26070  2vmadivsumlem  26122  logdivbnd  26138  selberg3lem1  26139  selberg3lem2  26140  selberg4lem1  26142  pntrsumbnd2  26149  pntrlog2bndlem1  26159  pntrlog2bndlem2  26160  pntrlog2bndlem3  26161  pntrlog2bndlem4  26162  pntrlog2bndlem5  26163  pntrlog2bndlem6a  26164  pntrlog2bndlem6  26165  pntrlog2bnd  26166  pntibndlem2  26173  pntlemg  26180  pntlemk  26188  pntlem3  26191  pntleml  26193  ostth2lem1  26200  padicabv  26212  ostth2lem3  26217  ostth3  26220  ubthlem2  28652  minvecolem3  28657  minvecolem5  28662  pjhthlem1  29172  fsumub  30554  sqsscirc1  31225  omssubaddlem  31631  hgt750lemd  31993  logdivsqrle  31995  hgt750lem  31996  hgt750leme  32003  knoppndvlem18  33942  taupilemrplb  34695  poimirlem29  35044  itggt0cn  35085  geomcau  35155  cntotbnd  35192  rrndstprj2  35227  2ap1caineq  39308  fltnltalem  39548  irrapxlem5  39697  pell1qrgaplem  39744  pell14qrgapw  39747  pellqrex  39750  rmxypos  39818  binomcxplemnotnn0  40994  recnnltrp  41948  rpgtrecnn  41952  stoweidlem3  42584  stoweidlem26  42607  wallispilem4  42649  wallispi  42651  wallispi2lem1  42652  stirlinglem1  42655  stirlinglem4  42658  stirlinglem10  42664  stirlinglem11  42665  stirlinglem12  42666  fourierdlem39  42727  fourierdlem42  42730  fourierdlem87  42774  fourierdlem107  42794  rrndistlt  42871  sge0rpcpnf  42999  ovnsubaddlem1  43148  hoidmvlelem2  43174  hoidmvlelem4  43176  ovolval5lem1  43230  vonioolem1  43258
  Copyright terms: Public domain W3C validator