Theorem rpge0d 12953

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 12919	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  0cc0 11026   ≤ cle 11167  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  rprege0d  12956  rpexpmord  14091  01sqrexlem5  15169  isumrpcl  15766  isumltss  15771  harmonic  15782  expcnv  15787  prmreclem5  16848  prmreclem6  16849  4sqlem7  16872  nmoi2  24674  reperflem  24763  lebnumii  24921  nmoleub2lem3  25071  nmoleub3  25075  lmnn  25219  minveclem3  25385  pjthlem1  25393  ovoliunlem1  25459  vitalilem4  25568  vitali  25570  itg2const2  25698  itggt0  25801  lhop1lem  25974  plyeq0lem  26171  aalioulem4  26299  aaliou3lem2  26307  aaliou3lem3  26308  pserdvlem2  26394  abelthlem7  26404  pilem2  26418  pilem3  26419  divlogrlim  26600  logtayllem  26624  cxpge0  26648  divcxp  26652  cxpsqrtlem  26667  cxpsqrt  26668  abscxpbnd  26719  asinlem3  26837  leibpi  26908  birthdaylem3  26919  rlimcnp3  26933  cxplim  26938  rlimcxp  26940  cxp2limlem  26942  cxp2lim  26943  jensenlem2  26954  amgmlem  26956  emcllem2  26963  emcllem4  26965  emcllem6  26967  fsumharmonic  26978  zetacvg  26981  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamgulmlem5  26999  lgamcvg2  27021  regamcl  27027  ftalem3  27041  ftalem5  27043  basellem6  27052  basellem8  27054  chtge0  27078  chtwordi  27122  chpval2  27185  chpchtsum  27186  chpub  27187  bposlem1  27251  bposlem2  27252  bposlem4  27254  bposlem5  27255  bposlem6  27256  bposlem7  27257  bposlem9  27259  lgsquadlem2  27348  chtppilimlem1  27440  chtppilimlem2  27441  chtppilim  27442  chpchtlim  27446  rplogsumlem1  27451  rplogsumlem2  27452  dchrisum0lem1a  27453  rpvmasumlem  27454  dchrisumlema  27455  2vmadivsumlem  27507  logdivbnd  27523  selberg3lem1  27524  selberg3lem2  27525  selberg4lem1  27527  pntrsumbnd2  27534  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bndlem6a  27549  pntrlog2bndlem6  27550  pntrlog2bnd  27551  pntibndlem2  27558  pntlemg  27565  pntlemk  27573  pntlem3  27576  pntleml  27578  ostth2lem1  27585  padicabv  27597  ostth2lem3  27602  ostth3  27605  nrt2irr  30548  ubthlem2  30946  minvecolem3  30951  minvecolem5  30956  pjhthlem1  31466  fsumub  32909  constrsqrtcl  33936  sqsscirc1  34065  omssubaddlem  34456  hgt750lemd  34805  logdivsqrle  34807  hgt750lem  34808  hgt750leme  34815  knoppndvlem18  36729  taupilemrplb  37525  poimirlem29  37850  itggt0cn  37891  geomcau  37960  cntotbnd  37997  rrndstprj2  38032  aks4d1p1p7  42328  2ap1caineq  42399  fltnltalem  42905  irrapxlem5  43068  pell1qrgaplem  43115  pell14qrgapw  43118  pellqrex  43121  rmxypos  43189  binomcxplemnotnn0  44597  recnnltrp  45621  rpgtrecnn  45624  stoweidlem3  46247  stoweidlem26  46270  wallispilem4  46312  wallispi  46314  wallispi2lem1  46315  stirlinglem1  46318  stirlinglem4  46321  stirlinglem10  46327  stirlinglem11  46328  stirlinglem12  46329  fourierdlem39  46390  fourierdlem42  46393  fourierdlem87  46437  fourierdlem107  46457  rrndistlt  46534  sge0rpcpnf  46665  ovnsubaddlem1  46814  hoidmvlelem2  46840  hoidmvlelem4  46842  ovolval5lem1  46896  vonioolem1  46924