Theorem rpge0d 12981

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 12947	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  0cc0 11029   ≤ cle 11171  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  rprege0d  12984  rpexpmord  14121  01sqrexlem5  15199  isumrpcl  15799  isumltss  15804  harmonic  15815  expcnv  15820  prmreclem5  16882  prmreclem6  16883  4sqlem7  16906  nmoi2  24713  reperflem  24802  lebnumii  24951  nmoleub2lem3  25100  nmoleub3  25104  lmnn  25248  minveclem3  25414  pjthlem1  25422  ovoliunlem1  25487  vitalilem4  25596  vitali  25598  itg2const2  25726  itggt0  25829  lhop1lem  25998  plyeq0lem  26193  aalioulem4  26319  aaliou3lem2  26327  aaliou3lem3  26328  pserdvlem2  26411  abelthlem7  26421  pilem2  26435  pilem3  26436  divlogrlim  26617  logtayllem  26641  cxpge0  26665  divcxp  26669  cxpsqrtlem  26684  cxpsqrt  26685  abscxpbnd  26735  asinlem3  26853  leibpi  26924  birthdaylem3  26935  rlimcnp3  26949  cxplim  26953  rlimcxp  26955  cxp2limlem  26957  cxp2lim  26958  jensenlem2  26969  amgmlem  26971  emcllem2  26978  emcllem4  26980  emcllem6  26982  fsumharmonic  26993  zetacvg  26996  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem3  27012  lgamgulmlem5  27014  lgamcvg2  27036  regamcl  27042  ftalem3  27056  ftalem5  27058  basellem6  27067  basellem8  27069  chtge0  27093  chtwordi  27137  chpval2  27199  chpchtsum  27200  chpub  27201  bposlem1  27265  bposlem2  27266  bposlem4  27268  bposlem5  27269  bposlem6  27270  bposlem7  27271  bposlem9  27273  lgsquadlem2  27362  chtppilimlem1  27454  chtppilimlem2  27455  chtppilim  27456  chpchtlim  27460  rplogsumlem1  27465  rplogsumlem2  27466  dchrisum0lem1a  27467  rpvmasumlem  27468  dchrisumlema  27469  2vmadivsumlem  27521  logdivbnd  27537  selberg3lem1  27538  selberg3lem2  27539  selberg4lem1  27541  pntrsumbnd2  27548  pntrlog2bndlem1  27558  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem3  27560  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem5  27562  pntrlog2bndlem6a  27563  pntrlog2bndlem6  27564  pntrlog2bnd  27565  pntibndlem2  27572  pntlemg  27579  pntlemk  27587  pntlem3  27590  pntleml  27592  ostth2lem1  27599  padicabv  27611  ostth2lem3  27616  ostth3  27619  nrt2irr  30561  ubthlem2  30960  minvecolem3  30965  minvecolem5  30970  pjhthlem1  31480  fsumub  32920  constrsqrtcl  33963  sqsscirc1  34092  omssubaddlem  34483  hgt750lemd  34832  logdivsqrle  34834  hgt750lem  34835  hgt750leme  34842  knoppndvlem18  36835  taupilemrplb  37680  poimirlem29  38016  itggt0cn  38057  geomcau  38126  cntotbnd  38163  rrndstprj2  38198  aks4d1p1p7  42559  2ap1caineq  42630  fltnltalem  43112  irrapxlem5  43271  pell1qrgaplem  43318  pell14qrgapw  43321  pellqrex  43324  rmxypos  43392  binomcxplemnotnn0  44800  recnnltrp  45821  rpgtrecnn  45824  stoweidlem3  46446  stoweidlem26  46469  wallispilem4  46511  wallispi  46513  wallispi2lem1  46514  stirlinglem1  46517  stirlinglem4  46520  stirlinglem10  46526  stirlinglem11  46527  stirlinglem12  46528  fourierdlem39  46589  fourierdlem42  46592  fourierdlem87  46636  fourierdlem107  46656  rrndistlt  46733  sge0rpcpnf  46864  ovnsubaddlem1  47013  hoidmvlelem2  47039  hoidmvlelem4  47041  ovolval5lem1  47095  vonioolem1  47123