Theorem rpge0d 12965

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 12931	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  0cc0 11038   ≤ cle 11179  ℝ⁺crp 12917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-rp 12918

This theorem is referenced by:  rprege0d  12968  rpexpmord  14103  01sqrexlem5  15181  isumrpcl  15778  isumltss  15783  harmonic  15794  expcnv  15799  prmreclem5  16860  prmreclem6  16861  4sqlem7  16884  nmoi2  24686  reperflem  24775  lebnumii  24933  nmoleub2lem3  25083  nmoleub3  25087  lmnn  25231  minveclem3  25397  pjthlem1  25405  ovoliunlem1  25471  vitalilem4  25580  vitali  25582  itg2const2  25710  itggt0  25813  lhop1lem  25986  plyeq0lem  26183  aalioulem4  26311  aaliou3lem2  26319  aaliou3lem3  26320  pserdvlem2  26406  abelthlem7  26416  pilem2  26430  pilem3  26431  divlogrlim  26612  logtayllem  26636  cxpge0  26660  divcxp  26664  cxpsqrtlem  26679  cxpsqrt  26680  abscxpbnd  26731  asinlem3  26849  leibpi  26920  birthdaylem3  26931  rlimcnp3  26945  cxplim  26950  rlimcxp  26952  cxp2limlem  26954  cxp2lim  26955  jensenlem2  26966  amgmlem  26968  emcllem2  26975  emcllem4  26977  emcllem6  26979  fsumharmonic  26990  zetacvg  26993  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem3  27009  lgamgulmlem5  27011  lgamcvg2  27033  regamcl  27039  ftalem3  27053  ftalem5  27055  basellem6  27064  basellem8  27066  chtge0  27090  chtwordi  27134  chpval2  27197  chpchtsum  27198  chpub  27199  bposlem1  27263  bposlem2  27264  bposlem4  27266  bposlem5  27267  bposlem6  27268  bposlem7  27269  bposlem9  27271  lgsquadlem2  27360  chtppilimlem1  27452  chtppilimlem2  27453  chtppilim  27454  chpchtlim  27458  rplogsumlem1  27463  rplogsumlem2  27464  dchrisum0lem1a  27465  rpvmasumlem  27466  dchrisumlema  27467  2vmadivsumlem  27519  logdivbnd  27535  selberg3lem1  27536  selberg3lem2  27537  selberg4lem1  27539  pntrsumbnd2  27546  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem3  27558  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  pntrlog2bndlem6a  27561  pntrlog2bndlem6  27562  pntrlog2bnd  27563  pntibndlem2  27570  pntlemg  27577  pntlemk  27585  pntlem3  27588  pntleml  27590  ostth2lem1  27597  padicabv  27609  ostth2lem3  27614  ostth3  27617  nrt2irr  30560  ubthlem2  30959  minvecolem3  30964  minvecolem5  30969  pjhthlem1  31479  fsumub  32920  constrsqrtcl  33957  sqsscirc1  34086  omssubaddlem  34477  hgt750lemd  34826  logdivsqrle  34828  hgt750lem  34829  hgt750leme  34836  knoppndvlem18  36751  taupilemrplb  37575  poimirlem29  37900  itggt0cn  37941  geomcau  38010  cntotbnd  38047  rrndstprj2  38082  aks4d1p1p7  42444  2ap1caineq  42515  fltnltalem  43020  irrapxlem5  43183  pell1qrgaplem  43230  pell14qrgapw  43233  pellqrex  43236  rmxypos  43304  binomcxplemnotnn0  44712  recnnltrp  45735  rpgtrecnn  45738  stoweidlem3  46361  stoweidlem26  46384  wallispilem4  46426  wallispi  46428  wallispi2lem1  46429  stirlinglem1  46432  stirlinglem4  46435  stirlinglem10  46441  stirlinglem11  46442  stirlinglem12  46443  fourierdlem39  46504  fourierdlem42  46507  fourierdlem87  46551  fourierdlem107  46571  rrndistlt  46648  sge0rpcpnf  46779  ovnsubaddlem1  46928  hoidmvlelem2  46954  hoidmvlelem4  46956  ovolval5lem1  47010  vonioolem1  47038