Theorem rpge0d 13024

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 12991	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  0cc0 11112   ≤ cle 11253  ℝ⁺crp 12978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-rp 12979

This theorem is referenced by:  rprege0d  13027  rpexpmord  14137  01sqrexlem5  15197  isumrpcl  15793  isumltss  15798  harmonic  15809  expcnv  15814  prmreclem5  16857  prmreclem6  16858  4sqlem7  16881  nmoi2  24467  reperflem  24554  lebnumii  24712  nmoleub2lem3  24862  nmoleub3  24866  lmnn  25011  minveclem3  25177  pjthlem1  25185  ovoliunlem1  25251  vitalilem4  25360  vitali  25362  itg2const2  25491  itggt0  25593  lhop1lem  25765  plyeq0lem  25959  aalioulem4  26084  aaliou3lem2  26092  aaliou3lem3  26093  pserdvlem2  26176  abelthlem7  26186  pilem2  26200  pilem3  26201  divlogrlim  26379  logtayllem  26403  cxpge0  26427  divcxp  26431  cxpsqrtlem  26446  cxpsqrt  26447  abscxpbnd  26497  asinlem3  26612  leibpi  26683  birthdaylem3  26694  rlimcnp3  26708  cxplim  26712  rlimcxp  26714  cxp2limlem  26716  cxp2lim  26717  jensenlem2  26728  amgmlem  26730  emcllem2  26737  emcllem4  26739  emcllem6  26741  fsumharmonic  26752  zetacvg  26755  lgamgulmlem2  26770  lgamgulmlem3  26771  lgamgulmlem5  26773  lgamcvg2  26795  regamcl  26801  ftalem3  26815  ftalem5  26817  basellem6  26826  basellem8  26828  chtge0  26852  chtwordi  26896  chpval2  26957  chpchtsum  26958  chpub  26959  bposlem1  27023  bposlem2  27024  bposlem4  27026  bposlem5  27027  bposlem6  27028  bposlem7  27029  bposlem9  27031  lgsquadlem2  27120  chtppilimlem1  27212  chtppilimlem2  27213  chtppilim  27214  chpchtlim  27218  rplogsumlem1  27223  rplogsumlem2  27224  dchrisum0lem1a  27225  rpvmasumlem  27226  dchrisumlema  27227  2vmadivsumlem  27279  logdivbnd  27295  selberg3lem1  27296  selberg3lem2  27297  selberg4lem1  27299  pntrsumbnd2  27306  pntrlog2bndlem1  27316  pntrlog2bndlem2  27317  pntrlog2bndlem3  27318  pntrlog2bndlem4  27319  pntrlog2bndlem5  27320  pntrlog2bndlem6a  27321  pntrlog2bndlem6  27322  pntrlog2bnd  27323  pntibndlem2  27330  pntlemg  27337  pntlemk  27345  pntlem3  27348  pntleml  27350  ostth2lem1  27357  padicabv  27369  ostth2lem3  27374  ostth3  27377  nrt2irr  29993  ubthlem2  30391  minvecolem3  30396  minvecolem5  30401  pjhthlem1  30911  fsumub  32301  sqsscirc1  33186  omssubaddlem  33596  hgt750lemd  33958  logdivsqrle  33960  hgt750lem  33961  hgt750leme  33968  knoppndvlem18  35708  taupilemrplb  36504  poimirlem29  36820  itggt0cn  36861  geomcau  36930  cntotbnd  36967  rrndstprj2  37002  aks4d1p1p7  41245  2ap1caineq  41267  fltnltalem  41706  irrapxlem5  41866  pell1qrgaplem  41913  pell14qrgapw  41916  pellqrex  41919  rmxypos  41988  binomcxplemnotnn0  43417  recnnltrp  44385  rpgtrecnn  44388  stoweidlem3  45017  stoweidlem26  45040  wallispilem4  45082  wallispi  45084  wallispi2lem1  45085  stirlinglem1  45088  stirlinglem4  45091  stirlinglem10  45097  stirlinglem11  45098  stirlinglem12  45099  fourierdlem39  45160  fourierdlem42  45163  fourierdlem87  45207  fourierdlem107  45227  rrndistlt  45304  sge0rpcpnf  45435  ovnsubaddlem1  45584  hoidmvlelem2  45610  hoidmvlelem4  45612  ovolval5lem1  45666  vonioolem1  45694