Theorem rpge0d 13020

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 12987	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  0cc0 11110   ≤ cle 11249  ℝ⁺crp 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-rp 12975

This theorem is referenced by:  rprege0d  13023  rpexpmord  14133  01sqrexlem5  15193  isumrpcl  15789  isumltss  15794  harmonic  15805  expcnv  15810  prmreclem5  16853  prmreclem6  16854  4sqlem7  16877  nmoi2  24247  reperflem  24334  lebnumii  24482  nmoleub2lem3  24631  nmoleub3  24635  lmnn  24780  minveclem3  24946  pjthlem1  24954  ovoliunlem1  25019  vitalilem4  25128  vitali  25130  itg2const2  25259  itggt0  25361  lhop1lem  25530  plyeq0lem  25724  aalioulem4  25848  aaliou3lem2  25856  aaliou3lem3  25857  pserdvlem2  25940  abelthlem7  25950  pilem2  25964  pilem3  25965  divlogrlim  26143  logtayllem  26167  cxpge0  26191  divcxp  26195  cxpsqrtlem  26210  cxpsqrt  26211  abscxpbnd  26261  asinlem3  26376  leibpi  26447  birthdaylem3  26458  rlimcnp3  26472  cxplim  26476  rlimcxp  26478  cxp2limlem  26480  cxp2lim  26481  jensenlem2  26492  amgmlem  26494  emcllem2  26501  emcllem4  26503  emcllem6  26505  fsumharmonic  26516  zetacvg  26519  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  lgamgulmlem5  26537  lgamcvg2  26559  regamcl  26565  ftalem3  26579  ftalem5  26581  basellem6  26590  basellem8  26592  chtge0  26616  chtwordi  26660  chpval2  26721  chpchtsum  26722  chpub  26723  bposlem1  26787  bposlem2  26788  bposlem4  26790  bposlem5  26791  bposlem6  26792  bposlem7  26793  bposlem9  26795  lgsquadlem2  26884  chtppilimlem1  26976  chtppilimlem2  26977  chtppilim  26978  chpchtlim  26982  rplogsumlem1  26987  rplogsumlem2  26988  dchrisum0lem1a  26989  rpvmasumlem  26990  dchrisumlema  26991  2vmadivsumlem  27043  logdivbnd  27059  selberg3lem1  27060  selberg3lem2  27061  selberg4lem1  27063  pntrsumbnd2  27070  pntrlog2bndlem1  27080  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntrlog2bndlem6a  27085  pntrlog2bndlem6  27086  pntrlog2bnd  27087  pntibndlem2  27094  pntlemg  27101  pntlemk  27109  pntlem3  27112  pntleml  27114  ostth2lem1  27121  padicabv  27133  ostth2lem3  27138  ostth3  27141  nrt2irr  29726  ubthlem2  30124  minvecolem3  30129  minvecolem5  30134  pjhthlem1  30644  fsumub  32034  sqsscirc1  32888  omssubaddlem  33298  hgt750lemd  33660  logdivsqrle  33662  hgt750lem  33663  hgt750leme  33670  knoppndvlem18  35405  taupilemrplb  36201  poimirlem29  36517  itggt0cn  36558  geomcau  36627  cntotbnd  36664  rrndstprj2  36699  aks4d1p1p7  40939  2ap1caineq  40961  fltnltalem  41404  irrapxlem5  41564  pell1qrgaplem  41611  pell14qrgapw  41614  pellqrex  41617  rmxypos  41686  binomcxplemnotnn0  43115  recnnltrp  44087  rpgtrecnn  44090  stoweidlem3  44719  stoweidlem26  44742  wallispilem4  44784  wallispi  44786  wallispi2lem1  44787  stirlinglem1  44790  stirlinglem4  44793  stirlinglem10  44799  stirlinglem11  44800  stirlinglem12  44801  fourierdlem39  44862  fourierdlem42  44865  fourierdlem87  44909  fourierdlem107  44929  rrndistlt  45006  sge0rpcpnf  45137  ovnsubaddlem1  45286  hoidmvlelem2  45312  hoidmvlelem4  45314  ovolval5lem1  45368  vonioolem1  45396