Theorem rpge0d 12999

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 12965	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  0cc0 11068   ≤ cle 11209  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  rprege0d  13002  rpexpmord  14133  01sqrexlem5  15212  isumrpcl  15809  isumltss  15814  harmonic  15825  expcnv  15830  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  4sqlem7  16915  nmoi2  24618  reperflem  24707  lebnumii  24865  nmoleub2lem3  25015  nmoleub3  25019  lmnn  25163  minveclem3  25329  pjthlem1  25337  ovoliunlem1  25403  vitalilem4  25512  vitali  25514  itg2const2  25642  itggt0  25745  lhop1lem  25918  plyeq0lem  26115  aalioulem4  26243  aaliou3lem2  26251  aaliou3lem3  26252  pserdvlem2  26338  abelthlem7  26348  pilem2  26362  pilem3  26363  divlogrlim  26544  logtayllem  26568  cxpge0  26592  divcxp  26596  cxpsqrtlem  26611  cxpsqrt  26612  abscxpbnd  26663  asinlem3  26781  leibpi  26852  birthdaylem3  26863  rlimcnp3  26877  cxplim  26882  rlimcxp  26884  cxp2limlem  26886  cxp2lim  26887  jensenlem2  26898  amgmlem  26900  emcllem2  26907  emcllem4  26909  emcllem6  26911  fsumharmonic  26922  zetacvg  26925  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem5  26943  lgamcvg2  26965  regamcl  26971  ftalem3  26985  ftalem5  26987  basellem6  26996  basellem8  26998  chtge0  27022  chtwordi  27066  chpval2  27129  chpchtsum  27130  chpub  27131  bposlem1  27195  bposlem2  27196  bposlem4  27198  bposlem5  27199  bposlem6  27200  bposlem7  27201  bposlem9  27203  lgsquadlem2  27292  chtppilimlem1  27384  chtppilimlem2  27385  chtppilim  27386  chpchtlim  27390  rplogsumlem1  27395  rplogsumlem2  27396  dchrisum0lem1a  27397  rpvmasumlem  27398  dchrisumlema  27399  2vmadivsumlem  27451  logdivbnd  27467  selberg3lem1  27468  selberg3lem2  27469  selberg4lem1  27471  pntrsumbnd2  27478  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6a  27493  pntrlog2bndlem6  27494  pntrlog2bnd  27495  pntibndlem2  27502  pntlemg  27509  pntlemk  27517  pntlem3  27520  pntleml  27522  ostth2lem1  27529  padicabv  27541  ostth2lem3  27546  ostth3  27549  nrt2irr  30402  ubthlem2  30800  minvecolem3  30805  minvecolem5  30810  pjhthlem1  31320  fsumub  32753  constrsqrtcl  33769  sqsscirc1  33898  omssubaddlem  34290  hgt750lemd  34639  logdivsqrle  34641  hgt750lem  34642  hgt750leme  34649  knoppndvlem18  36517  taupilemrplb  37308  poimirlem29  37643  itggt0cn  37684  geomcau  37753  cntotbnd  37790  rrndstprj2  37825  aks4d1p1p7  42062  2ap1caineq  42133  fltnltalem  42650  irrapxlem5  42814  pell1qrgaplem  42861  pell14qrgapw  42864  pellqrex  42867  rmxypos  42936  binomcxplemnotnn0  44345  recnnltrp  45373  rpgtrecnn  45376  stoweidlem3  46001  stoweidlem26  46024  wallispilem4  46066  wallispi  46068  wallispi2lem1  46069  stirlinglem1  46072  stirlinglem4  46075  stirlinglem10  46081  stirlinglem11  46082  stirlinglem12  46083  fourierdlem39  46144  fourierdlem42  46147  fourierdlem87  46191  fourierdlem107  46211  rrndistlt  46288  sge0rpcpnf  46419  ovnsubaddlem1  46568  hoidmvlelem2  46594  hoidmvlelem4  46596  ovolval5lem1  46650  vonioolem1  46678