Theorem rpge0d 13103

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 13070	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  0cc0 11184   ≤ cle 11325  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  rprege0d  13106  rpexpmord  14218  01sqrexlem5  15295  isumrpcl  15891  isumltss  15896  harmonic  15907  expcnv  15912  prmreclem5  16967  prmreclem6  16968  4sqlem7  16991  nmoi2  24772  reperflem  24859  lebnumii  25017  nmoleub2lem3  25167  nmoleub3  25171  lmnn  25316  minveclem3  25482  pjthlem1  25490  ovoliunlem1  25556  vitalilem4  25665  vitali  25667  itg2const2  25796  itggt0  25899  lhop1lem  26072  plyeq0lem  26269  aalioulem4  26395  aaliou3lem2  26403  aaliou3lem3  26404  pserdvlem2  26490  abelthlem7  26500  pilem2  26514  pilem3  26515  divlogrlim  26695  logtayllem  26719  cxpge0  26743  divcxp  26747  cxpsqrtlem  26762  cxpsqrt  26763  abscxpbnd  26814  asinlem3  26932  leibpi  27003  birthdaylem3  27014  rlimcnp3  27028  cxplim  27033  rlimcxp  27035  cxp2limlem  27037  cxp2lim  27038  jensenlem2  27049  amgmlem  27051  emcllem2  27058  emcllem4  27060  emcllem6  27062  fsumharmonic  27073  zetacvg  27076  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem5  27094  lgamcvg2  27116  regamcl  27122  ftalem3  27136  ftalem5  27138  basellem6  27147  basellem8  27149  chtge0  27173  chtwordi  27217  chpval2  27280  chpchtsum  27281  chpub  27282  bposlem1  27346  bposlem2  27347  bposlem4  27349  bposlem5  27350  bposlem6  27351  bposlem7  27352  bposlem9  27354  lgsquadlem2  27443  chtppilimlem1  27535  chtppilimlem2  27536  chtppilim  27537  chpchtlim  27541  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  dchrisum0lem1a  27548  rpvmasumlem  27549  dchrisumlema  27550  2vmadivsumlem  27602  logdivbnd  27618  selberg3lem1  27619  selberg3lem2  27620  selberg4lem1  27622  pntrsumbnd2  27629  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6a  27644  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntibndlem2  27653  pntlemg  27660  pntlemk  27668  pntlem3  27671  pntleml  27673  ostth2lem1  27680  padicabv  27692  ostth2lem3  27697  ostth3  27700  nrt2irr  30505  ubthlem2  30903  minvecolem3  30908  minvecolem5  30913  pjhthlem1  31423  fsumub  32832  sqsscirc1  33854  omssubaddlem  34264  hgt750lemd  34625  logdivsqrle  34627  hgt750lem  34628  hgt750leme  34635  knoppndvlem18  36495  taupilemrplb  37286  poimirlem29  37609  itggt0cn  37650  geomcau  37719  cntotbnd  37756  rrndstprj2  37791  aks4d1p1p7  42031  2ap1caineq  42102  fltnltalem  42617  irrapxlem5  42782  pell1qrgaplem  42829  pell14qrgapw  42832  pellqrex  42835  rmxypos  42904  binomcxplemnotnn0  44325  recnnltrp  45292  rpgtrecnn  45295  stoweidlem3  45924  stoweidlem26  45947  wallispilem4  45989  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  stirlinglem1  45995  stirlinglem4  45998  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  stirlinglem12  46006  fourierdlem39  46067  fourierdlem42  46070  fourierdlem87  46114  fourierdlem107  46134  rrndistlt  46211  sge0rpcpnf  46342  ovnsubaddlem1  46491  hoidmvlelem2  46517  hoidmvlelem4  46519  ovolval5lem1  46573  vonioolem1  46601