Theorem rpge0d 13208

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpge0 13174	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  0cc0 11239   ≤ cle 11383  ℝ⁺crp 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-addrcl 11300  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-rp 13161

This theorem is used by:  rprege0d  13211  rpexpmord  14351  01sqrexlem5  15456  isumrpcl  16056  isumltss  16061  harmonic  16072  expcnv  16077  prmreclem5  17142  prmreclem6  17143  4sqlem7  17166  nmoi2  25104  reperflem  25193  lebnumii  25342  nmoleub2lem3  25491  nmoleub3  25495  lmnn  25639  minveclem3  25805  pjthlem1  25813  ovoliunlem1  25878  vitalilem4  25987  vitali  25989  itg2const2  26117  itggt0  26219  lhop1lem  26388  plyeq0lem  26584  aalioulem4  26719  aaliou3lem2  26727  aaliou3lem3  26728  pserdvlem2  26812  abelthlem7  26822  pilem2  26836  pilem3  26837  divlogrlim  27020  logtayllem  27044  cxpge0  27068  divcxp  27072  cxpsqrtlem  27087  cxpsqrt  27088  abscxpbnd  27138  asinlem3  27256  leibpi  27327  birthdaylem3  27338  rlimcnp3  27352  cxplim  27356  rlimcxp  27358  cxp2limlem  27360  cxp2lim  27361  jensenlem2  27372  amgmlem  27374  emcllem2  27381  emcllem4  27383  emcllem6  27385  fsumharmonic  27396  zetacvg  27399  lgamgulmlem2  27414  lgamgulmlem3  27415  lgamgulmlem5  27417  lgamcvg2  27439  regamcl  27445  ftalem3  27459  ftalem5  27461  basellem6  27470  basellem8  27472  chtge0  27496  chtwordi  27540  chpval2  27602  chpchtsum  27603  chpub  27604  bposlem1  27668  bposlem2  27669  bposlem4  27671  bposlem5  27672  bposlem6  27673  bposlem7  27674  bposlem9  27676  lgsquadlem2  27765  chtppilimlem1  27857  chtppilimlem2  27858  chtppilim  27859  chpchtlim  27863  rplogsumlem1  27868  rplogsumlem2  27869  dchrisum0lem1a  27870  rpvmasumlem  27871  dchrisumlema  27872  2vmadivsumlem  27924  logdivbnd  27940  selberg3lem1  27941  selberg3lem2  27942  selberg4lem1  27944  pntrsumbnd2  27951  pntrlog2bndlem1  27961  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem3  27963  pntrlog2bndlem4  27964  pntrlog2bndlem5  27965  pntrlog2bndlem6a  27966  pntrlog2bndlem6  27967  pntrlog2bnd  27968  pntibndlem2  27975  pntlemg  27982  pntlemk  27990  pntlem3  27993  pntleml  27995  ostth2lem1  28002  padicabv  28014  ostth2lem3  28019  ostth3  28022  nrt2irr  31131  ubthlem2  31530  minvecolem3  31535  minvecolem5  31540  pjhthlem1  32050  fsumub  33515  constrsqrtcl  34522  sqsscirc1  34651  omssubaddlem  35042  hgt750lemd  35388  logdivsqrle  35390  hgt750lem  35391  hgt750leme  35398  knoppndvlem18  37610  taupilemrplb  38509  poimirlem29  38835  itggt0cn  38876  geomcau  38959  cntotbnd  38996  rrndstprj2  39031  aks4d1p1p7  43390  2ap1caineq  43461  fltnltalem  43939  irrapxlem5  44099  pell1qrgaplem  44146  pell14qrgapw  44149  pellqrex  44152  rmxypos  44220  binomcxplemnotnn0  45601  recnnltrp  46661  rpgtrecnn  46664  stoweidlem3  47286  stoweidlem26  47309  wallispilem4  47351  wallispi  47353  wallispi2lem1  47354  stirlinglem1  47357  stirlinglem4  47360  stirlinglem10  47366  stirlinglem11  47367  stirlinglem12  47368  fourierdlem39  47429  fourierdlem42  47432  fourierdlem87  47476  fourierdlem107  47496  rrndistlt  47573  sge0rpcpnf  47704  ovnsubaddlem1  47853  hoidmvlelem2  47879  hoidmvlelem4  47881  ovolval5lem1  47935  vonioolem1  47963