MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpge0d 12968
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpge0d (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpge0 12935 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5110  0cc0 11058  cle 11197  +crp 12922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-addrcl 11119  ax-rnegex 11129  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-rp 12923
This theorem is referenced by:  rprege0d  12971  rpexpmord  14080  01sqrexlem5  15138  isumrpcl  15735  isumltss  15740  harmonic  15751  expcnv  15756  prmreclem5  16799  prmreclem6  16800  4sqlem7  16823  nmoi2  24110  reperflem  24197  lebnumii  24345  nmoleub2lem3  24494  nmoleub3  24498  lmnn  24643  minveclem3  24809  pjthlem1  24817  ovoliunlem1  24882  vitalilem4  24991  vitali  24993  itg2const2  25122  itggt0  25224  lhop1lem  25393  plyeq0lem  25587  aalioulem4  25711  aaliou3lem2  25719  aaliou3lem3  25720  pserdvlem2  25803  abelthlem7  25813  pilem2  25827  pilem3  25828  divlogrlim  26006  logtayllem  26030  cxpge0  26054  divcxp  26058  cxpsqrtlem  26073  cxpsqrt  26074  abscxpbnd  26122  asinlem3  26237  leibpi  26308  birthdaylem3  26319  rlimcnp3  26333  cxplim  26337  rlimcxp  26339  cxp2limlem  26341  cxp2lim  26342  jensenlem2  26353  amgmlem  26355  emcllem2  26362  emcllem4  26364  emcllem6  26366  fsumharmonic  26377  zetacvg  26380  lgamgulmlem2  26395  lgamgulmlem3  26396  lgamgulmlem5  26398  lgamcvg2  26420  regamcl  26426  ftalem3  26440  ftalem5  26442  basellem6  26451  basellem8  26453  chtge0  26477  chtwordi  26521  chpval2  26582  chpchtsum  26583  chpub  26584  bposlem1  26648  bposlem2  26649  bposlem4  26651  bposlem5  26652  bposlem6  26653  bposlem7  26654  bposlem9  26656  lgsquadlem2  26745  chtppilimlem1  26837  chtppilimlem2  26838  chtppilim  26839  chpchtlim  26843  rplogsumlem1  26848  rplogsumlem2  26849  dchrisum0lem1a  26850  rpvmasumlem  26851  dchrisumlema  26852  2vmadivsumlem  26904  logdivbnd  26920  selberg3lem1  26921  selberg3lem2  26922  selberg4lem1  26924  pntrsumbnd2  26931  pntrlog2bndlem1  26941  pntrlog2bndlem2  26942  pntrlog2bndlem3  26943  pntrlog2bndlem4  26944  pntrlog2bndlem5  26945  pntrlog2bndlem6a  26946  pntrlog2bndlem6  26947  pntrlog2bnd  26948  pntibndlem2  26955  pntlemg  26962  pntlemk  26970  pntlem3  26973  pntleml  26975  ostth2lem1  26982  padicabv  26994  ostth2lem3  26999  ostth3  27002  ubthlem2  29855  minvecolem3  29860  minvecolem5  29865  pjhthlem1  30375  fsumub  31766  sqsscirc1  32529  omssubaddlem  32939  hgt750lemd  33301  logdivsqrle  33303  hgt750lem  33304  hgt750leme  33311  knoppndvlem18  35021  taupilemrplb  35820  poimirlem29  36136  itggt0cn  36177  geomcau  36247  cntotbnd  36284  rrndstprj2  36319  aks4d1p1p7  40560  2ap1caineq  40582  fltnltalem  41029  irrapxlem5  41178  pell1qrgaplem  41225  pell14qrgapw  41228  pellqrex  41231  rmxypos  41300  binomcxplemnotnn0  42710  recnnltrp  43685  rpgtrecnn  43688  stoweidlem3  44318  stoweidlem26  44341  wallispilem4  44383  wallispi  44385  wallispi2lem1  44386  stirlinglem1  44389  stirlinglem4  44392  stirlinglem10  44398  stirlinglem11  44399  stirlinglem12  44400  fourierdlem39  44461  fourierdlem42  44464  fourierdlem87  44508  fourierdlem107  44528  rrndistlt  44605  sge0rpcpnf  44736  ovnsubaddlem1  44885  hoidmvlelem2  44911  hoidmvlelem4  44913  ovolval5lem1  44967  vonioolem1  44995
  Copyright terms: Public domain W3C validator