Theorem taupi 38083

Description: Relationship between τ and π. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
taupi	⊢ τ = (2 · π)

Proof of Theorem taupi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taupilem2 38082	. 2 ⊢ τ ≤ (2 · π)
2		inss1 4185	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ⊆ ℝ+
3		rpssre 13054	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 3943	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ⊆ ℝ
5		2rp 13051	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
6		pirp 26706	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ+
7		rpmulcl 13071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
8	5, 6, 7	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
9		cos2pi 26721	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(2 · π)) = 1
10		taupilem3 38079	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ↔ ((2 · π) ∈ ℝ+ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1))
11	8, 9, 10	mpbir2an 724	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))
12	11	ne0ii 4293	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ≠ ∅
13		taupilemrplb 38080	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))𝑥 ≤ 𝑦
14	4, 12, 13	3pm3.2i 1358	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))𝑥 ≤ 𝑦)
15		2re 12343	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		pire 26699	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
17	15, 16	remulcli 11253	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
18		infregelb 12227	. . . . 5 ⊢ ((((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → ((2 · π) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))(2 · π) ≤ 𝑥))
19	14, 17, 18	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((2 · π) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))(2 · π) ≤ 𝑥)
20		taupilem3 38079	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
21		taupilem1 38081	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝑥) = 1) → (2 · π) ≤ 𝑥)
22	20, 21	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (2 · π) ≤ 𝑥)
23	19, 22	mprgbir 3085	. . 3 ⊢ (2 · π) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < )
24		df-tau 16297	. . 3 ⊢ τ = inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < )
25	23, 24	breqtrri 5136	. 2 ⊢ (2 · π) ≤ τ
26		infrecl 12225	. . . . 5 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))𝑥 ≤ 𝑦) → inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	14, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) ∈ ℝ
28	24, 27	eqeltri 2858	. . 3 ⊢ τ ∈ ℝ
29	28, 17	letri3i 11354	. 2 ⊢ (τ = (2 · π) ↔ (τ ≤ (2 · π) ∧ (2 · π) ≤ τ))
30	1, 25, 29	mpbir2an 724	1 ⊢ τ = (2 · π)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  infcinf 9415  ℝcr 11127  1c1 11129   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272  2c2 12323  ℝ⁺crp 13046  cosccos 16156  πcpi 16158  τctau 16296

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-sin 16161  df-cos 16162  df-pi 16164  df-tau 16297  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-lp 23367  df-perf 23368  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cncf 25112  df-limc 26100  df-dv 26101

This theorem is used by: (None)