Theorem taupi 36193

Description: Relationship between τ and π. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
taupi	⊢ τ = (2 · π)

Proof of Theorem taupi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taupilem2 36192	. 2 ⊢ τ ≤ (2 · π)
2		inss1 4228	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ⊆ ℝ+
3		rpssre 12978	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 3991	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ⊆ ℝ
5		2rp 12976	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
6		pirp 25963	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ+
7		rpmulcl 12994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
8	5, 6, 7	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
9		cos2pi 25978	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(2 · π)) = 1
10		taupilem3 36189	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ↔ ((2 · π) ∈ ℝ+ ∧ (cos‘(2 · π)) = 1))
11	8, 9, 10	mpbir2an 710	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))
12	11	ne0ii 4337	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ≠ ∅
13		taupilemrplb 36190	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))𝑥 ≤ 𝑦
14	4, 12, 13	3pm3.2i 1340	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))𝑥 ≤ 𝑦)
15		2re 12283	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		pire 25960	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
17	15, 16	remulcli 11227	. . . . 5 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
18		infregelb 12195	. . . . 5 ⊢ ((((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → ((2 · π) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))(2 · π) ≤ 𝑥))
19	14, 17, 18	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((2 · π) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))(2 · π) ≤ 𝑥)
20		taupilem3 36189	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝑥) = 1))
21		taupilem1 36191	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (cos‘𝑥) = 1) → (2 · π) ≤ 𝑥)
22	20, 21	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) → (2 · π) ≤ 𝑥)
23	19, 22	mprgbir 3069	. . 3 ⊢ (2 · π) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < )
24		df-tau 16143	. . 3 ⊢ τ = inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < )
25	23, 24	breqtrri 5175	. 2 ⊢ (2 · π) ≤ τ
26		infrecl 12193	. . . . 5 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡cos “ {1}))𝑥 ≤ 𝑦) → inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	14, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ inf((ℝ+ ∩ (◡cos “ {1})), ℝ, < ) ∈ ℝ
28	24, 27	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ τ ∈ ℝ
29	28, 17	letri3i 11327	. 2 ⊢ (τ = (2 · π) ↔ (τ ≤ (2 · π) ∧ (2 · π) ≤ τ))
30	1, 25, 29	mpbir2an 710	1 ⊢ τ = (2 · π)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  infcinf 9433  ℝcr 11106  1c1 11108   · cmul 11112   < clt 11245   ≤ cle 11246  2c2 12264  ℝ⁺crp 12971  cosccos 16005  πcpi 16007  τctau 16142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-tau 16143  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376

This theorem is referenced by: (None)