Theorem trfbas 23798

Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfbas	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑣)

Proof of Theorem trfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trfbas2 23797	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
2		elfvdm 6923	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
3		ssexg 5303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
4	3	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6		elrest 17443	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
7	5, 6	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
8	7	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
9		nesym 2987	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
10	9	ralbii 3081	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
11		ralnex 3061	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
12	10, 11	bitri 275	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
13	8, 12	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
14	1, 13	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  Vcvv 3463   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  dom cdm 5665  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ↾_t crest 17436  fBascfbas 21314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-rest 17438  df-fbas 21323

This theorem is referenced by: (None)