Theorem trfbas 23731

Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfbas	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑣)

Proof of Theorem trfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trfbas2 23730	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
2		elfvdm 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
3		ssexg 5278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
4	3	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6		elrest 17390	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
7	5, 6	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
8	7	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
9		nesym 2981	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
10	9	ralbii 3075	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
11		ralnex 3055	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
12	10, 11	bitri 275	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
13	8, 12	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
14	1, 13	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↾_t crest 17383  fBascfbas 21252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-rest 17385  df-fbas 21261

This theorem is referenced by: (None)