Theorem trfbas 24196

Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfbas	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑣)

Proof of Theorem trfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trfbas2 24195	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
2		elfvdm 6945	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
3		ssexg 5286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
4	3	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6		elrest 17630	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
7	5, 6	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
8	7	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
9		nesym 3015	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
10	9	ralbii 3112	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
11		ralnex 3092	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
12	10, 11	bitri 278	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
13	8, 12	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
14	1, 13	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  dom cdm 5656  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↾_t crest 17623  fBascfbas 21699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-rest 17625  df-fbas 21708

This theorem is used by: (None)