MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfbas 22453
Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑌(𝑣)

Proof of Theorem trfbas
StepHypRef Expression
1 trfbas2 22452 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))
2 elfvdm 6681 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
3 ssexg 5194 . . . . . . 7 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
43ancoms 462 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
52, 4sylan 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6 elrest 16697 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
75, 6syldan 594 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
87notbid 321 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
9 nesym 3046 . . . . 5 ((𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑣𝐴))
109ralbii 3136 . . . 4 (∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣𝐹 ¬ ∅ = (𝑣𝐴))
11 ralnex 3202 . . . 4 (∀𝑣𝐹 ¬ ∅ = (𝑣𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴))
1210, 11bitri 278 . . 3 (∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴))
138, 12syl6bbr 292 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
141, 13bitrd 282 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  cin 3883  wss 3884  c0 4246  dom cdm 5523  cfv 6328  (class class class)co 7139  t crest 16690  fBascfbas 20083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-rest 16692  df-fbas 20092
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator