MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfbas 23141
Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑌(𝑣)

Proof of Theorem trfbas
StepHypRef Expression
1 trfbas2 23140 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))
2 elfvdm 6876 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
3 ssexg 5278 . . . . . . 7 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
43ancoms 459 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
52, 4sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6 elrest 17263 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
75, 6syldan 591 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
87notbid 317 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
9 nesym 2998 . . . . 5 ((𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑣𝐴))
109ralbii 3094 . . . 4 (∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣𝐹 ¬ ∅ = (𝑣𝐴))
11 ralnex 3073 . . . 4 (∀𝑣𝐹 ¬ ∅ = (𝑣𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴))
1210, 11bitri 274 . . 3 (∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴))
138, 12bitr4di 288 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
141, 13bitrd 278 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3443  cin 3907  wss 3908  c0 4280  dom cdm 5631  cfv 6493  (class class class)co 7351  t crest 17256  fBascfbas 20731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-rest 17258  df-fbas 20740
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator