Theorem trfbas 23788

Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfbas	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑣)

Proof of Theorem trfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trfbas2 23787	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
2		elfvdm 6868	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
3		ssexg 5268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
4	3	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6		elrest 17347	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
7	5, 6	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
8	7	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
9		nesym 2988	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
10	9	ralbii 3082	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
11		ralnex 3062	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
12	10, 11	bitri 275	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
13	8, 12	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
14	1, 13	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↾_t crest 17340  fBascfbas 21297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-rest 17342  df-fbas 21306

This theorem is referenced by: (None)