Theorem trfbas 22995

Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfbas	⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑣)

Proof of Theorem trfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trfbas2 22994	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴)))
2		elfvdm 6806	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
3		ssexg 5247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
4	3	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6		elrest 17138	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
7	5, 6	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
8	7	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴)))
9		nesym 3000	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
10	9	ralbii 3092	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
11		ralnex 3167	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 ¬ ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
12	10, 11	bitri 274	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝐹 ∅ = (𝑣 ∩ 𝐴))
13	8, 12	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹 ↾t 𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
14	1, 13	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐹 (𝑣 ∩ 𝐴) ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↾_t crest 17131  fBascfbas 20585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-rest 17133  df-fbas 20594

This theorem is referenced by: (None)