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Theorem tskuni 10823
Description: The union of an element of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskuni ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)

Proof of Theorem tskuni
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsksdom 10796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
2 cardidg 10588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
32ensymd 9045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
43adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
5 sdomentr 9151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝐴 ≺ (card‘𝑇))
61, 4, 5syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → 𝐴 ≺ (card‘𝑇))
7 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥))
87rnmpt 5968 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)}
9 cardon 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘𝑇) ∈ On
10 sdomdom 9020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ≺ (card‘𝑇) → 𝐴 ≼ (card‘𝑇))
11 ondomen 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((card‘𝑇) ∈ On ∧ 𝐴 ≼ (card‘𝑇)) → 𝐴 ∈ dom card)
129, 10, 11sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ≺ (card‘𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → 𝐴 ∈ dom card)
14 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
1514imaex 7936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓𝑥) ∈ V
1615, 7fnmpti 6711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) Fn 𝐴
17 dffn4 6826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) Fn 𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴onto→ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)))
1816, 17mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴onto→ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥))
19 fodomnum 10097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom card → ((𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴onto→ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) → ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) ≼ 𝐴))
2013, 18, 19mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) ≼ 𝐴)
218, 20eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≼ 𝐴)
22 domsdomtr 9152 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≼ 𝐴𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
2321, 22sylancom 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
2423adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) ∧ 𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
256, 24mpdan 687 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
26 ne0i 4341 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑇𝑇 ≠ ∅)
27 tskcard 10821 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
2826, 27sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
29 elina 10727 . . . . . . . . . . . 12 ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
3029simp2bi 1147 . . . . . . . . . . 11 ((card‘𝑇) ∈ Inacc → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
3225, 31breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
33323adant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
3433adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
35283adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
37 inawina 10730 . . . . . . . . 9 ((card‘𝑇) ∈ Inacc → (card‘𝑇) ∈ Inaccw)
38 winalim 10735 . . . . . . . . 9 ((card‘𝑇) ∈ Inaccw → Lim (card‘𝑇))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → Lim (card‘𝑇))
40 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
41 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = (𝑓𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑓𝑥)))
4241rexbidv 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝑓𝑥)))
4340, 42elab 3679 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝑓𝑥))
44 imassrn 6089 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓𝑥) ⊆ ran 𝑓
45 f1ofo 6855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇))
46 forn 6823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → ran 𝑓 = (card‘𝑇))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → ran 𝑓 = (card‘𝑇))
4844, 47sseqtrid 4026 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
4948ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
50 f1of1 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑓: 𝐴1-1→(card‘𝑇))
51 elssuni 4937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
52 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
5352f1imaen 9057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓: 𝐴1-1→(card‘𝑇) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
5450, 51, 53syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
5554adantll 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
56 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 ∈ Tarski)
57 trss 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Tr 𝑇 → (𝐴𝑇𝐴𝑇))
5857imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
59583adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
6059sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑇)
61 tsksdom 10796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
6256, 60, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑇)
6356, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
64 sdomentr 9151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
6562, 63, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
6665adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
67 ensdomtr 9153 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑥) ≈ 𝑥𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → (𝑓𝑥) ≺ (card‘𝑇))
6855, 66, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≺ (card‘𝑇))
6936, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
7168, 70breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
72 sseq1 4009 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ↔ (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇)))
73 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)) ↔ (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇))))
7472, 73anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑓𝑥) → ((𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇))) ↔ ((𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7574biimprcd 250 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7649, 71, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7776rexlimdva 3155 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7843, 77biimtrid 242 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7978ralrimiv 3145 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇))))
80 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (card‘𝑇) ∈ V
8180cfslb2n 10308 . . . . . . . 8 ((Lim (card‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))) → ({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇)))
8239, 79, 81syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → ({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇)))
8334, 82mpd 15 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇))
8415dfiun2 5033 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)}
8548ralrimivw 3150 . . . . . . . . . 10 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
86 iunss 5045 . . . . . . . . . 10 ( 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
8785, 86sylibr 234 . . . . . . . . 9 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
88 fof 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → 𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇))
89 foelrn 7127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) ∧ 𝑦 ∈ (card‘𝑇)) → ∃𝑧 𝐴𝑦 = (𝑓𝑧))
9089ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → (𝑦 ∈ (card‘𝑇) → ∃𝑧 𝐴𝑦 = (𝑓𝑧)))
91 eluni2 4911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
92 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇)
93 nfiu1 5027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)
9493nfel2 2924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)
95 ssiun2 5047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
96953ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
97 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → 𝑓 Fn 𝐴)
98973ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑓 Fn 𝐴)
99513ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑥 𝐴)
100 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
101 fnfvima 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 Fn 𝐴𝑥 𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ (𝑓𝑥))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ (𝑓𝑥))
10396, 102sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
1041033exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))))
10592, 94, 104rexlimd 3266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥 → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
10691, 105biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (𝑧 𝐴 → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
107 eleq1a 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) → (𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
108106, 107syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (𝑧 𝐴 → (𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))))
109108rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (∃𝑧 𝐴𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
11088, 90, 109sylsyld 61 . . . . . . . . . . 11 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → (𝑦 ∈ (card‘𝑇) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
11145, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → (𝑦 ∈ (card‘𝑇) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
112111ssrdv 3989 . . . . . . . . 9 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → (card‘𝑇) ⊆ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
11387, 112eqssd 4001 . . . . . . . 8 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = (card‘𝑇))
11484, 113eqtr3id 2791 . . . . . . 7 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} = (card‘𝑇))
115114necon3ai 2965 . . . . . 6 ( {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇) → ¬ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
11683, 115syl 17 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → ¬ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
117116pm2.01da 799 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ¬ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
118117nexdv 1936 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ¬ ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
119 entr 9046 . . . . . . 7 (( 𝐴𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝐴 ≈ (card‘𝑇))
1203, 119sylan2 593 . . . . . 6 (( 𝐴𝑇𝑇 ∈ Tarski) → 𝐴 ≈ (card‘𝑇))
121 bren 8995 . . . . . 6 ( 𝐴 ≈ (card‘𝑇) ↔ ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
122120, 121sylib 218 . . . . 5 (( 𝐴𝑇𝑇 ∈ Tarski) → ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
123122expcom 413 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski → ( 𝐴𝑇 → ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)))
1241233ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ( 𝐴𝑇 → ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)))
125118, 124mtod 198 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ¬ 𝐴𝑇)
126 uniss 4915 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑇 𝐴 𝑇)
127 df-tr 5260 . . . . . . . . . 10 (Tr 𝑇 𝑇𝑇)
128127biimpi 216 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑇 𝑇𝑇)
129126, 128sylan9ss 3997 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑇 ∧ Tr 𝑇) → 𝐴𝑇)
130129expcom 413 . . . . . . 7 (Tr 𝑇 → (𝐴𝑇 𝐴𝑇))
13157, 130syld 47 . . . . . 6 (Tr 𝑇 → (𝐴𝑇 𝐴𝑇))
132131imp 406 . . . . 5 ((Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
133 tsken 10794 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → ( 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
134132, 133sylan2 593 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (Tr 𝑇𝐴𝑇)) → ( 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
1351343impb 1115 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ( 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
136135ord 865 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → (¬ 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
137125, 136mpd 15 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225  Tr wtr 5259  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  Oncon0 6384  Lim wlim 6385   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1wf1 6558  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  cardccrd 9975  cfccf 9977  Inaccwcwina 10722  Inacccina 10723  Tarskictsk 10788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-smo 8386  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-har 9597  df-r1 9804  df-card 9979  df-aleph 9980  df-cf 9981  df-acn 9982  df-ac 10156  df-wina 10724  df-ina 10725  df-tsk 10789
This theorem is referenced by:  tskwun  10824  tskint  10825  tskun  10826  tskurn  10829  pwinfi3  43576
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