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Theorem tskuni 9858
Description: The union of an element of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskuni ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)

Proof of Theorem tskuni
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsksdom 9831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
2 cardidg 9623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
32ensymd 8211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
43adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
5 sdomentr 8301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝐴 ≺ (card‘𝑇))
61, 4, 5syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → 𝐴 ≺ (card‘𝑇))
7 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥))
87rnmpt 5540 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)}
9 cardon 9021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘𝑇) ∈ On
10 sdomdom 8188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ≺ (card‘𝑇) → 𝐴 ≼ (card‘𝑇))
11 ondomen 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((card‘𝑇) ∈ On ∧ 𝐴 ≼ (card‘𝑇)) → 𝐴 ∈ dom card)
129, 10, 11sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ≺ (card‘𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
1312adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → 𝐴 ∈ dom card)
14 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
1514imaex 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓𝑥) ∈ V
1615, 7fnmpti 6200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) Fn 𝐴
17 dffn4 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) Fn 𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴onto→ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)))
1816, 17mpbi 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴onto→ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥))
19 fodomnum 9131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom card → ((𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴onto→ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) → ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) ≼ 𝐴))
2013, 18, 19mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) ≼ 𝐴)
218, 20syl5eqbrr 4845 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≼ 𝐴)
22 domsdomtr 8302 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≼ 𝐴𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
2321, 22sylancom 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
2423adantll 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) ∧ 𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
256, 24mpdan 678 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
26 ne0i 4085 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑇𝑇 ≠ ∅)
27 tskcard 9856 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
2826, 27sylan2 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
29 elina 9762 . . . . . . . . . . . 12 ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
3029simp2bi 1176 . . . . . . . . . . 11 ((card‘𝑇) ∈ Inacc → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
3225, 31breqtrrd 4837 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
33323adant2 1161 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
3433adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
35283adant2 1161 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
3635adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
37 inawina 9765 . . . . . . . . 9 ((card‘𝑇) ∈ Inacc → (card‘𝑇) ∈ Inaccw)
38 winalim 9770 . . . . . . . . 9 ((card‘𝑇) ∈ Inaccw → Lim (card‘𝑇))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → Lim (card‘𝑇))
40 vex 3353 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
41 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = (𝑓𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑓𝑥)))
4241rexbidv 3199 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝑓𝑥)))
4340, 42elab 3504 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝑓𝑥))
44 imassrn 5659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓𝑥) ⊆ ran 𝑓
45 f1ofo 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇))
46 forn 6301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → ran 𝑓 = (card‘𝑇))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → ran 𝑓 = (card‘𝑇))
4844, 47syl5sseq 3813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
4948ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
50 f1of1 6319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑓: 𝐴1-1→(card‘𝑇))
51 elssuni 4625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
52 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
5352f1imaen 8222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓: 𝐴1-1→(card‘𝑇) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
5450, 51, 53syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
5554adantll 705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
56 simpl1 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 ∈ Tarski)
57 trss 4920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Tr 𝑇 → (𝐴𝑇𝐴𝑇))
5857imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
59583adant1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
6059sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑇)
61 tsksdom 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
6256, 60, 61syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑇)
6356, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
64 sdomentr 8301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
6562, 63, 64syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
6665adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
67 ensdomtr 8303 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑥) ≈ 𝑥𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → (𝑓𝑥) ≺ (card‘𝑇))
6855, 66, 67syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≺ (card‘𝑇))
6936, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
7069adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
7168, 70breqtrrd 4837 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
72 sseq1 3786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ↔ (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇)))
73 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)) ↔ (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇))))
7472, 73anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑓𝑥) → ((𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇))) ↔ ((𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7574biimprcd 241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7649, 71, 75syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7776rexlimdva 3178 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7843, 77syl5bi 233 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7978ralrimiv 3112 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇))))
80 fvex 6388 . . . . . . . . 9 (card‘𝑇) ∈ V
8180cfslb2n 9343 . . . . . . . 8 ((Lim (card‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))) → ({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇)))
8239, 79, 81syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → ({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇)))
8334, 82mpd 15 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇))
8415dfiun2 4710 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)}
8548ralrimivw 3114 . . . . . . . . . 10 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
86 iunss 4717 . . . . . . . . . 10 ( 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
8785, 86sylibr 225 . . . . . . . . 9 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
88 fof 6298 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → 𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇))
89 foelrn 6568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) ∧ 𝑦 ∈ (card‘𝑇)) → ∃𝑧 𝐴𝑦 = (𝑓𝑧))
9089ex 401 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → (𝑦 ∈ (card‘𝑇) → ∃𝑧 𝐴𝑦 = (𝑓𝑧)))
91 eluni2 4598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
92 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇)
93 nfiu1 4706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)
9493nfel2 2924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)
95 ssiun2 4719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
96953ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
97 ffn 6223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → 𝑓 Fn 𝐴)
98973ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑓 Fn 𝐴)
99513ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑥 𝐴)
100 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
101 fnfvima 6689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 Fn 𝐴𝑥 𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ (𝑓𝑥))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ (𝑓𝑥))
10396, 102sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
1041033exp 1148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))))
10592, 94, 104rexlimd 3173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥 → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
10691, 105syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (𝑧 𝐴 → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
107 eleq1a 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) → (𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
108106, 107syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (𝑧 𝐴 → (𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))))
109108rexlimdv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (∃𝑧 𝐴𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
11088, 90, 109sylsyld 61 . . . . . . . . . . 11 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → (𝑦 ∈ (card‘𝑇) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
11145, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → (𝑦 ∈ (card‘𝑇) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
112111ssrdv 3767 . . . . . . . . 9 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → (card‘𝑇) ⊆ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
11387, 112eqssd 3778 . . . . . . . 8 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = (card‘𝑇))
11484, 113syl5eqr 2813 . . . . . . 7 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} = (card‘𝑇))
115114necon3ai 2962 . . . . . 6 ( {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇) → ¬ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
11683, 115syl 17 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → ¬ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
117116pm2.01da 833 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ¬ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
118117nexdv 2031 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ¬ ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
119 entr 8212 . . . . . . 7 (( 𝐴𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝐴 ≈ (card‘𝑇))
1203, 119sylan2 586 . . . . . 6 (( 𝐴𝑇𝑇 ∈ Tarski) → 𝐴 ≈ (card‘𝑇))
121 bren 8169 . . . . . 6 ( 𝐴 ≈ (card‘𝑇) ↔ ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
122120, 121sylib 209 . . . . 5 (( 𝐴𝑇𝑇 ∈ Tarski) → ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
123122expcom 402 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski → ( 𝐴𝑇 → ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)))
1241233ad2ant1 1163 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ( 𝐴𝑇 → ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)))
125118, 124mtod 189 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ¬ 𝐴𝑇)
126 uniss 4617 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑇 𝐴 𝑇)
127 df-tr 4912 . . . . . . . . . 10 (Tr 𝑇 𝑇𝑇)
128127biimpi 207 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑇 𝑇𝑇)
129126, 128sylan9ss 3774 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑇 ∧ Tr 𝑇) → 𝐴𝑇)
130129expcom 402 . . . . . . 7 (Tr 𝑇 → (𝐴𝑇 𝐴𝑇))
13157, 130syld 47 . . . . . 6 (Tr 𝑇 → (𝐴𝑇 𝐴𝑇))
132131imp 395 . . . . 5 ((Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
133 tsken 9829 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → ( 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
134132, 133sylan2 586 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (Tr 𝑇𝐴𝑇)) → ( 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
1351343impb 1143 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ( 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
136135ord 890 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → (¬ 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
137125, 136mpd 15 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  {cab 2751  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315   cuni 4594   ciun 4676   class class class wbr 4809  cmpt 4888  Tr wtr 4911  dom cdm 5277  ran crn 5278  cima 5280  Oncon0 5908  Lim wlim 5909   Fn wfn 6063  wf 6064  1-1wf1 6065  ontowfo 6066  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  cen 8157  cdom 8158  csdm 8159  cardccrd 9012  cfccf 9014  Inaccwcwina 9757  Inacccina 9758  Tarskictsk 9823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-ac2 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-smo 7647  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-oi 8622  df-har 8670  df-r1 8842  df-card 9016  df-aleph 9017  df-cf 9018  df-acn 9019  df-ac 9190  df-wina 9759  df-ina 9760  df-tsk 9824
This theorem is referenced by:  tskwun  9859  tskint  9860  tskun  9861  tskurn  9864  pwinfi3  38475
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