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Theorem tskuni 10194
Description: The union of an element of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskuni ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)

Proof of Theorem tskuni
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsksdom 10167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
2 cardidg 9959 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski → (card‘𝑇) ≈ 𝑇)
32ensymd 8543 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
43adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
5 sdomentr 8635 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝐴 ≺ (card‘𝑇))
61, 4, 5syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → 𝐴 ≺ (card‘𝑇))
7 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥))
87rnmpt 5791 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)}
9 cardon 9357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (card‘𝑇) ∈ On
10 sdomdom 8520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ≺ (card‘𝑇) → 𝐴 ≼ (card‘𝑇))
11 ondomen 9448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((card‘𝑇) ∈ On ∧ 𝐴 ≼ (card‘𝑇)) → 𝐴 ∈ dom card)
129, 10, 11sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ≺ (card‘𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
1312adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → 𝐴 ∈ dom card)
14 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
1514imaex 7603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓𝑥) ∈ V
1615, 7fnmpti 6463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) Fn 𝐴
17 dffn4 6571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) Fn 𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴onto→ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)))
1816, 17mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴onto→ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥))
19 fodomnum 9468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom card → ((𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)):𝐴onto→ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) → ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) ≼ 𝐴))
2013, 18, 19mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → ran (𝑥𝐴 ↦ (𝑓𝑥)) ≼ 𝐴)
218, 20eqbrtrrid 5066 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≼ 𝐴)
22 domsdomtr 8636 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≼ 𝐴𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
2321, 22sylancom 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑇𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
2423adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) ∧ 𝐴 ≺ (card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
256, 24mpdan 686 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (card‘𝑇))
26 ne0i 4250 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑇𝑇 ≠ ∅)
27 tskcard 10192 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
2826, 27sylan2 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
29 elina 10098 . . . . . . . . . . . 12 ((card‘𝑇) ∈ Inacc ↔ ((card‘𝑇) ≠ ∅ ∧ (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (card‘𝑇)𝒫 𝑥 ≺ (card‘𝑇)))
3029simp2bi 1143 . . . . . . . . . . 11 ((card‘𝑇) ∈ Inacc → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
3225, 31breqtrrd 5058 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
33323adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
3433adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
35283adant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
3635adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (card‘𝑇) ∈ Inacc)
37 inawina 10101 . . . . . . . . 9 ((card‘𝑇) ∈ Inacc → (card‘𝑇) ∈ Inaccw)
38 winalim 10106 . . . . . . . . 9 ((card‘𝑇) ∈ Inaccw → Lim (card‘𝑇))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → Lim (card‘𝑇))
40 vex 3444 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
41 eqeq1 2802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = (𝑓𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑓𝑥)))
4241rexbidv 3256 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝑓𝑥)))
4340, 42elab 3615 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝑓𝑥))
44 imassrn 5907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓𝑥) ⊆ ran 𝑓
45 f1ofo 6597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇))
46 forn 6568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → ran 𝑓 = (card‘𝑇))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → ran 𝑓 = (card‘𝑇))
4844, 47sseqtrid 3967 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
50 f1of1 6589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑓: 𝐴1-1→(card‘𝑇))
51 elssuni 4830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
52 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
5352f1imaen 8554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓: 𝐴1-1→(card‘𝑇) ∧ 𝑥 𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
5450, 51, 53syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
5554adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≈ 𝑥)
56 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 ∈ Tarski)
57 trss 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Tr 𝑇 → (𝐴𝑇𝐴𝑇))
5857imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
59583adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
6059sselda 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑇)
61 tsksdom 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
6256, 60, 61syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑇)
6356, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑇 ≈ (card‘𝑇))
64 sdomentr 8635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
6562, 63, 64syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
6665adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≺ (card‘𝑇))
67 ensdomtr 8637 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑥) ≈ 𝑥𝑥 ≺ (card‘𝑇)) → (𝑓𝑥) ≺ (card‘𝑇))
6855, 66, 67syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≺ (card‘𝑇))
6936, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
7069adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (cf‘(card‘𝑇)) = (card‘𝑇))
7168, 70breqtrrd 5058 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇)))
72 sseq1 3940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ↔ (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇)))
73 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)) ↔ (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇))))
7472, 73anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑓𝑥) → ((𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇))) ↔ ((𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7574biimprcd 253 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇) ∧ (𝑓𝑥) ≺ (cf‘(card‘𝑇))) → (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7649, 71, 75syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7776rexlimdva 3243 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7843, 77syl5bi 245 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} → (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))))
7978ralrimiv 3148 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇))))
80 fvex 6658 . . . . . . . . 9 (card‘𝑇) ∈ V
8180cfslb2n 9679 . . . . . . . 8 ((Lim (card‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} (𝑦 ⊆ (card‘𝑇) ∧ 𝑦 ≺ (cf‘(card‘𝑇)))) → ({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇)))
8239, 79, 81syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → ({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≺ (cf‘(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇)))
8334, 82mpd 15 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇))
8415dfiun2 4920 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)}
8548ralrimivw 3150 . . . . . . . . . 10 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
86 iunss 4932 . . . . . . . . . 10 ( 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
8785, 86sylibr 237 . . . . . . . . 9 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ⊆ (card‘𝑇))
88 fof 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → 𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇))
89 foelrn 6849 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) ∧ 𝑦 ∈ (card‘𝑇)) → ∃𝑧 𝐴𝑦 = (𝑓𝑧))
9089ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → (𝑦 ∈ (card‘𝑇) → ∃𝑧 𝐴𝑦 = (𝑓𝑧)))
91 eluni2 4804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧𝑥)
92 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇)
93 nfiu1 4915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)
9493nfel2 2973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)
95 ssiun2 4934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
96953ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑥) ⊆ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
97 ffn 6487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → 𝑓 Fn 𝐴)
98973ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑓 Fn 𝐴)
99513ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑥 𝐴)
100 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
101 fnfvima 6973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 Fn 𝐴𝑥 𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ (𝑓𝑥))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ (𝑓𝑥))
10396, 102sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) ∧ 𝑥𝐴𝑧𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
1041033exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))))
10592, 94, 104rexlimd 3276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (∃𝑥𝐴 𝑧𝑥 → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
10691, 105syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (𝑧 𝐴 → (𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
107 eleq1a 2885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑧) ∈ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) → (𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
108106, 107syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (𝑧 𝐴 → (𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))))
109108rexlimdv 3242 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓: 𝐴⟶(card‘𝑇) → (∃𝑧 𝐴𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
11088, 90, 109sylsyld 61 . . . . . . . . . . 11 (𝑓: 𝐴onto→(card‘𝑇) → (𝑦 ∈ (card‘𝑇) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
11145, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → (𝑦 ∈ (card‘𝑇) → 𝑦 𝑥𝐴 (𝑓𝑥)))
112111ssrdv 3921 . . . . . . . . 9 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → (card‘𝑇) ⊆ 𝑥𝐴 (𝑓𝑥))
11387, 112eqssd 3932 . . . . . . . 8 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → 𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = (card‘𝑇))
11484, 113syl5eqr 2847 . . . . . . 7 (𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇) → {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} = (card‘𝑇))
115114necon3ai 3012 . . . . . 6 ( {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = (𝑓𝑥)} ≠ (card‘𝑇) → ¬ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
11683, 115syl 17 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) ∧ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)) → ¬ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
117116pm2.01da 798 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ¬ 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
118117nexdv 1937 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ¬ ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
119 entr 8544 . . . . . . 7 (( 𝐴𝑇𝑇 ≈ (card‘𝑇)) → 𝐴 ≈ (card‘𝑇))
1203, 119sylan2 595 . . . . . 6 (( 𝐴𝑇𝑇 ∈ Tarski) → 𝐴 ≈ (card‘𝑇))
121 bren 8501 . . . . . 6 ( 𝐴 ≈ (card‘𝑇) ↔ ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
122120, 121sylib 221 . . . . 5 (( 𝐴𝑇𝑇 ∈ Tarski) → ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇))
123122expcom 417 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski → ( 𝐴𝑇 → ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)))
1241233ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ( 𝐴𝑇 → ∃𝑓 𝑓: 𝐴1-1-onto→(card‘𝑇)))
125118, 124mtod 201 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ¬ 𝐴𝑇)
126 uniss 4808 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑇 𝐴 𝑇)
127 df-tr 5137 . . . . . . . . . 10 (Tr 𝑇 𝑇𝑇)
128127biimpi 219 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑇 𝑇𝑇)
129126, 128sylan9ss 3928 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑇 ∧ Tr 𝑇) → 𝐴𝑇)
130129expcom 417 . . . . . . 7 (Tr 𝑇 → (𝐴𝑇 𝐴𝑇))
13157, 130syld 47 . . . . . 6 (Tr 𝑇 → (𝐴𝑇 𝐴𝑇))
132131imp 410 . . . . 5 ((Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
133 tsken 10165 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → ( 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
134132, 133sylan2 595 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (Tr 𝑇𝐴𝑇)) → ( 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
1351343impb 1112 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → ( 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
136135ord 861 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → (¬ 𝐴𝑇 𝐴𝑇))
137125, 136mpd 15 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2111  {cab 2776  wne 2987  wral 3106  wrex 3107  wss 3881  c0 4243  𝒫 cpw 4497   cuni 4800   ciun 4881   class class class wbr 5030  cmpt 5110  Tr wtr 5136  dom cdm 5519  ran crn 5520  cima 5522  Oncon0 6159  Lim wlim 6160   Fn wfn 6319  wf 6320  1-1wf1 6321  ontowfo 6322  1-1-ontowf1o 6323  cfv 6324  cen 8489  cdom 8490  csdm 8491  cardccrd 9348  cfccf 9350  Inaccwcwina 10093  Inacccina 10094  Tarskictsk 10159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-ac2 9874
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-smo 7966  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-oi 8958  df-har 9005  df-r1 9177  df-card 9352  df-aleph 9353  df-cf 9354  df-acn 9355  df-ac 9527  df-wina 10095  df-ina 10096  df-tsk 10160
This theorem is referenced by:  tskwun  10195  tskint  10196  tskun  10197  tskurn  10200  pwinfi3  40257
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