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Theorem tskuni 10778
Description: The union of an element of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskuni ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇)
Proof of Theorem tskuni
Dummy variables 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsksdom 10751 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 β‰Ί 𝑇)
2 cardidg 10543 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski β†’ (cardβ€˜π‘‡) β‰ˆ 𝑇)
32ensymd 9001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski β†’ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡))
43adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡))
5 sdomentr 9111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 β‰Ί 𝑇 ∧ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
61, 4, 5syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
7 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯))
87rnmpt 5955 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)}
9 cardon 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (cardβ€˜π‘‡) ∈ On
10 sdomdom 8976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝐴 β‰Ό (cardβ€˜π‘‡))
11 ondomen 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((cardβ€˜π‘‡) ∈ On ∧ 𝐴 β‰Ό (cardβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
129, 10, 11sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
14 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
1514imaex 7907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 β€œ π‘₯) ∈ V
1615, 7fnmpti 6694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) Fn 𝐴
17 dffn4 6812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) Fn 𝐴 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):𝐴–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)))
1816, 17mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):𝐴–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯))
19 fodomnum 10052 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):𝐴–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) β‰Ό 𝐴))
2013, 18, 19mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) β‰Ό 𝐴)
218, 20eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ό 𝐴)
22 domsdomtr 9112 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
2321, 22sylancom 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
2423adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
256, 24mpdan 686 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
26 ne0i 4335 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
27 tskcard 10776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc)
2826, 27sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc)
29 elina 10682 . . . . . . . . . . . 12 ((cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc ↔ ((cardβ€˜π‘‡) β‰  βˆ… ∧ (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) = (cardβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (cardβ€˜π‘‡)𝒫 π‘₯ β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)))
3029simp2bi 1147 . . . . . . . . . . 11 ((cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc β†’ (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) = (cardβ€˜π‘‡))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) = (cardβ€˜π‘‡))
3225, 31breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))
33323adant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))
3433adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))
35283adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc)
3635adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc)
37 inawina 10685 . . . . . . . . 9 ((cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ Inaccw)
38 winalim 10690 . . . . . . . . 9 ((cardβ€˜π‘‡) ∈ Inaccw β†’ Lim (cardβ€˜π‘‡))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ Lim (cardβ€˜π‘‡))
40 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
41 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯) ↔ 𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯)))
4241rexbidv 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯)))
4340, 42elab 3669 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯))
44 imassrn 6071 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† ran 𝑓
45 f1ofo 6841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
46 forn 6809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ ran 𝑓 = (cardβ€˜π‘‡))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ ran 𝑓 = (cardβ€˜π‘‡))
4844, 47sseqtrid 4035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡))
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡))
50 f1of1 6833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1β†’(cardβ€˜π‘‡))
51 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐴)
52 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘₯ ∈ V
5352f1imaen 9012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1β†’(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰ˆ π‘₯)
5450, 51, 53syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰ˆ π‘₯)
5554adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰ˆ π‘₯)
56 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ Tarski)
57 trss 5277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Tr 𝑇 β†’ (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ 𝐴 βŠ† 𝑇))
5857imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑇)
59583adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑇)
6059sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
61 tsksdom 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ β‰Ί 𝑇)
6256, 60, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ β‰Ί 𝑇)
6356, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡))
64 sdomentr 9111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ β‰Ί 𝑇 ∧ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡)) β†’ π‘₯ β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
6562, 63, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
6665adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
67 ensdomtr 9113 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 β€œ π‘₯) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
6855, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
6936, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) = (cardβ€˜π‘‡))
7069adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) = (cardβ€˜π‘‡))
7168, 70breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))
72 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ↔ (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)))
73 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) ↔ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡))))
7472, 73anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ ((𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡))) ↔ ((𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))))
7574biimprcd 249 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡))) β†’ (𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))))
7649, 71, 75syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))))
7776rexlimdva 3156 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))))
7843, 77biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β†’ (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))))
7978ralrimiv 3146 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡))))
80 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (cardβ€˜π‘‡) ∈ V
8180cfslb2n 10263 . . . . . . . 8 ((Lim (cardβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))) β†’ ({𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰  (cardβ€˜π‘‡)))
8239, 79, 81syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ ({𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰  (cardβ€˜π‘‡)))
8334, 82mpd 15 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰  (cardβ€˜π‘‡))
8415dfiun2 5037 . . . . . . . 8 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) = βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)}
8548ralrimivw 3151 . . . . . . . . . 10 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡))
86 iunss 5049 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡))
8785, 86sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡))
88 fof 6806 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡))
89 foelrn 7108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝐴𝑦 = (π‘“β€˜π‘§))
9089ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘‡) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝐴𝑦 = (π‘“β€˜π‘§)))
91 eluni2 4913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ π‘₯)
92 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯ 𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡)
93 nfiu1 5032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)
9493nfel2 2922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)
95 ssiun2 5051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))
96953ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))
97 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐴)
98973ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐴)
99513ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐴)
100 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ 𝑧 ∈ π‘₯)
101 fnfvima 7235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 Fn βˆͺ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑓 β€œ π‘₯))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑓 β€œ π‘₯))
10396, 102sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))
1041033exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ π‘₯ β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))))
10592, 94, 104rexlimd 3264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ π‘₯ β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
10691, 105biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
107 eleq1a 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 = (π‘“β€˜π‘§) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
108106, 107syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ (𝑦 = (π‘“β€˜π‘§) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))))
109108rexlimdv 3154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝐴𝑦 = (π‘“β€˜π‘§) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
11088, 90, 109sylsyld 61 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
11145, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
112111ssrdv 3989 . . . . . . . . 9 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ (cardβ€˜π‘‡) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))
11387, 112eqssd 4000 . . . . . . . 8 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) = (cardβ€˜π‘‡))
11484, 113eqtr3id 2787 . . . . . . 7 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} = (cardβ€˜π‘‡))
115114necon3ai 2966 . . . . . 6 (βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰  (cardβ€˜π‘‡) β†’ Β¬ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
11683, 115syl 17 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ Β¬ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
117116pm2.01da 798 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
118117nexdv 1940 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
119 entr 9002 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∧ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡))
1203, 119sylan2 594 . . . . . 6 ((βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Tarski) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡))
121 bren 8949 . . . . . 6 (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡) ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
122120, 121sylib 217 . . . . 5 ((βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Tarski) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
123122expcom 415 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski β†’ (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)))
1241233ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)))
125118, 124mtod 197 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇)
126 uniss 4917 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† 𝑇 β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇)
127 df-tr 5267 . . . . . . . . . 10 (Tr 𝑇 ↔ βˆͺ 𝑇 βŠ† 𝑇)
128127biimpi 215 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑇 β†’ βˆͺ 𝑇 βŠ† 𝑇)
129126, 128sylan9ss 3996 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† 𝑇 ∧ Tr 𝑇) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑇)
130129expcom 415 . . . . . . 7 (Tr 𝑇 β†’ (𝐴 βŠ† 𝑇 β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑇))
13157, 130syld 47 . . . . . 6 (Tr 𝑇 β†’ (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑇))
132131imp 408 . . . . 5 ((Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑇)
133 tsken 10749 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑇) β†’ (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇))
134132, 133sylan2 594 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇)) β†’ (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇))
1351343impb 1116 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇))
136135ord 863 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (Β¬ βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇))
137125, 136mpd 15 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  Tr wtr 5266  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Oncon0 6365  Lim wlim 6366   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544   β‰ˆ cen 8936   β‰Ό cdom 8937   β‰Ί csdm 8938  cardccrd 9930  cfccf 9932  Inaccwcwina 10677  Inacccina 10678  Tarskictsk 10743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-smo 8346  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-har 9552  df-r1 9759  df-card 9934  df-aleph 9935  df-cf 9936  df-acn 9937  df-ac 10111  df-wina 10679  df-ina 10680  df-tsk 10744
This theorem is referenced by:  tskwun  10779  tskint  10780  tskun  10781  tskurn  10784  pwinfi3  42314
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