MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskuni Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tskuni 10780
Description: The union of an element of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskuni ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇)
Proof of Theorem tskuni
Dummy variables 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsksdom 10753 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 β‰Ί 𝑇)
2 cardidg 10545 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ Tarski β†’ (cardβ€˜π‘‡) β‰ˆ 𝑇)
32ensymd 9003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ Tarski β†’ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡))
43adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡))
5 sdomentr 9113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 β‰Ί 𝑇 ∧ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
61, 4, 5syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
7 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯))
87rnmpt 5953 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)}
9 cardon 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (cardβ€˜π‘‡) ∈ On
10 sdomdom 8978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝐴 β‰Ό (cardβ€˜π‘‡))
11 ondomen 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((cardβ€˜π‘‡) ∈ On ∧ 𝐴 β‰Ό (cardβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
129, 10, 11sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
14 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
1514imaex 7909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 β€œ π‘₯) ∈ V
1615, 7fnmpti 6692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) Fn 𝐴
17 dffn4 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) Fn 𝐴 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):𝐴–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)))
1816, 17mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):𝐴–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯))
19 fodomnum 10054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)):𝐴–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) β‰Ό 𝐴))
2013, 18, 19mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑓 β€œ π‘₯)) β‰Ό 𝐴)
218, 20eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ό 𝐴)
22 domsdomtr 9114 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
2321, 22sylancom 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
2423adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝐴 β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
256, 24mpdan 683 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
26 ne0i 4333 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
27 tskcard 10778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc)
2826, 27sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc)
29 elina 10684 . . . . . . . . . . . 12 ((cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc ↔ ((cardβ€˜π‘‡) β‰  βˆ… ∧ (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) = (cardβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (cardβ€˜π‘‡)𝒫 π‘₯ β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)))
3029simp2bi 1144 . . . . . . . . . . 11 ((cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc β†’ (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) = (cardβ€˜π‘‡))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) = (cardβ€˜π‘‡))
3225, 31breqtrrd 5175 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))
33323adant2 1129 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))
3433adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))
35283adant2 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc)
3635adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc)
37 inawina 10687 . . . . . . . . 9 ((cardβ€˜π‘‡) ∈ Inacc β†’ (cardβ€˜π‘‡) ∈ Inaccw)
38 winalim 10692 . . . . . . . . 9 ((cardβ€˜π‘‡) ∈ Inaccw β†’ Lim (cardβ€˜π‘‡))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ Lim (cardβ€˜π‘‡))
40 vex 3476 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
41 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯) ↔ 𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯)))
4241rexbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯)))
4340, 42elab 3667 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯))
44 imassrn 6069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† ran 𝑓
45 f1ofo 6839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
46 forn 6807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ ran 𝑓 = (cardβ€˜π‘‡))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ ran 𝑓 = (cardβ€˜π‘‡))
4844, 47sseqtrid 4033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡))
4948ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡))
50 f1of1 6831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1β†’(cardβ€˜π‘‡))
51 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐴)
52 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘₯ ∈ V
5352f1imaen 9014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1β†’(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰ˆ π‘₯)
5450, 51, 53syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰ˆ π‘₯)
5554adantll 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰ˆ π‘₯)
56 simpl1 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ Tarski)
57 trss 5275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Tr 𝑇 β†’ (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ 𝐴 βŠ† 𝑇))
5857imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑇)
59583adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑇)
6059sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
61 tsksdom 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ β‰Ί 𝑇)
6256, 60, 61syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ β‰Ί 𝑇)
6356, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡))
64 sdomentr 9113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ β‰Ί 𝑇 ∧ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡)) β†’ π‘₯ β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
6562, 63, 64syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
6665adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
67 ensdomtr 9115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 β€œ π‘₯) β‰ˆ π‘₯ ∧ π‘₯ β‰Ί (cardβ€˜π‘‡)) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
6855, 66, 67syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cardβ€˜π‘‡))
6936, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) = (cardβ€˜π‘‡))
7069adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) = (cardβ€˜π‘‡))
7168, 70breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))
72 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ↔ (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡)))
73 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) ↔ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡))))
7472, 73anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ ((𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡))) ↔ ((𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))))
7574biimprcd 249 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ (𝑓 β€œ π‘₯) β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡))) β†’ (𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))))
7649, 71, 75syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))))
7776rexlimdva 3153 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑦 = (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))))
7843, 77biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ (𝑦 ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β†’ (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))))
7978ralrimiv 3143 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡))))
80 fvex 6903 . . . . . . . . 9 (cardβ€˜π‘‡) ∈ V
8180cfslb2n 10265 . . . . . . . 8 ((Lim (cardβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} (𝑦 βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)))) β†’ ({𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰  (cardβ€˜π‘‡)))
8239, 79, 81syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ ({𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰Ί (cfβ€˜(cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰  (cardβ€˜π‘‡)))
8334, 82mpd 15 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰  (cardβ€˜π‘‡))
8415dfiun2 5035 . . . . . . . 8 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) = βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)}
8548ralrimivw 3148 . . . . . . . . . 10 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡))
86 iunss 5047 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡))
8785, 86sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† (cardβ€˜π‘‡))
88 fof 6804 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡))
89 foelrn 7107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) ∧ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝐴𝑦 = (π‘“β€˜π‘§))
9089ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘‡) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝐴𝑦 = (π‘“β€˜π‘§)))
91 eluni2 4911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ π‘₯)
92 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯ 𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡)
93 nfiu1 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)
9493nfel2 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)
95 ssiun2 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))
96953ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (𝑓 β€œ π‘₯) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))
97 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐴)
98973ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝐴)
99513ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐴)
100 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ 𝑧 ∈ π‘₯)
101 fnfvima 7236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 Fn βˆͺ 𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑓 β€œ π‘₯))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑓 β€œ π‘₯))
10396, 102sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))
1041033exp 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ π‘₯ β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))))
10592, 94, 104rexlimd 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 ∈ π‘₯ β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
10691, 105biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
107 eleq1a 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘“β€˜π‘§) ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) β†’ (𝑦 = (π‘“β€˜π‘§) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
108106, 107syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝐴 β†’ (𝑦 = (π‘“β€˜π‘§) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))))
109108rexlimdv 3151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:βˆͺ 𝐴⟢(cardβ€˜π‘‡) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝐴𝑦 = (π‘“β€˜π‘§) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
11088, 90, 109sylsyld 61 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:βˆͺ 𝐴–ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
11145, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ (𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯)))
112111ssrdv 3987 . . . . . . . . 9 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ (cardβ€˜π‘‡) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯))
11387, 112eqssd 3998 . . . . . . . 8 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑓 β€œ π‘₯) = (cardβ€˜π‘‡))
11484, 113eqtr3id 2784 . . . . . . 7 (𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} = (cardβ€˜π‘‡))
115114necon3ai 2963 . . . . . 6 (βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (𝑓 β€œ π‘₯)} β‰  (cardβ€˜π‘‡) β†’ Β¬ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
11683, 115syl 17 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) ∧ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)) β†’ Β¬ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
117116pm2.01da 795 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
118117nexdv 1937 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
119 entr 9004 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∧ 𝑇 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡)) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡))
1203, 119sylan2 591 . . . . . 6 ((βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Tarski) β†’ βˆͺ 𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡))
121 bren 8951 . . . . . 6 (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‡) ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
122120, 121sylib 217 . . . . 5 ((βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Tarski) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡))
123122expcom 412 . . . 4 (𝑇 ∈ Tarski β†’ (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)))
1241233ad2ant1 1131 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:βˆͺ 𝐴–1-1-ontoβ†’(cardβ€˜π‘‡)))
125118, 124mtod 197 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ Β¬ βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇)
126 uniss 4915 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† 𝑇 β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇)
127 df-tr 5265 . . . . . . . . . 10 (Tr 𝑇 ↔ βˆͺ 𝑇 βŠ† 𝑇)
128127biimpi 215 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑇 β†’ βˆͺ 𝑇 βŠ† 𝑇)
129126, 128sylan9ss 3994 . . . . . . . 8 ((𝐴 βŠ† 𝑇 ∧ Tr 𝑇) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑇)
130129expcom 412 . . . . . . 7 (Tr 𝑇 β†’ (𝐴 βŠ† 𝑇 β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑇))
13157, 130syld 47 . . . . . 6 (Tr 𝑇 β†’ (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑇))
132131imp 405 . . . . 5 ((Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑇)
133 tsken 10751 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝑇) β†’ (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇))
134132, 133sylan2 591 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ (Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇)) β†’ (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇))
1351343impb 1113 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇))
136135ord 860 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (Β¬ βˆͺ 𝐴 β‰ˆ 𝑇 β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇))
137125, 136mpd 15 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  {cab 2707   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  Tr wtr 5264  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Oncon0 6363  Lim wlim 6364   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939   β‰Ί csdm 8940  cardccrd 9932  cfccf 9934  Inaccwcwina 10679  Inacccina 10680  Tarskictsk 10745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-smo 8348  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-har 9554  df-r1 9761  df-card 9936  df-aleph 9937  df-cf 9938  df-acn 9939  df-ac 10113  df-wina 10681  df-ina 10682  df-tsk 10746
This theorem is referenced by:  tskwun  10781  tskint  10782  tskun  10783  tskurn  10786  pwinfi3  42616
  Copyright terms: Public domain W3C validator