Theorem tskurn 10712

Description: A transitive Tarski class is closed under small unions. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskurn	⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskurn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
2		simp1r 1200	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → Tr 𝑇)
3		frn 6677	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → ran 𝐹 ⊆ 𝑇)
4	3	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ⊆ 𝑇)
5		tskwe2 10696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
7		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
8		trss 5217	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑇 → (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝐴 ⊆ 𝑇))
9	2, 7, 8	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ⊆ 𝑇)
10		ssnum 9961	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
11	6, 9, 10	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
12		ffn 6670	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → 𝐹 Fn 𝐴)
13		dffn4 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
14	12, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
15	14	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
16		fodomnum 9979	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 → ran 𝐹 ≼ 𝐴))
17	11, 15, 16	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ≼ 𝐴)
18		tsksdom 10679	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
19	1, 7, 18	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
20		domsdomtr 9052	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑇) → ran 𝐹 ≺ 𝑇)
21	17, 19, 20	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ≺ 𝑇)
22		tskssel 10680	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑇 ∧ ran 𝐹 ≺ 𝑇) → ran 𝐹 ∈ 𝑇)
23	1, 4, 21, 22	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ∈ 𝑇)
24		tskuni 10706	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ ran 𝐹 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)
25	1, 2, 23, 24	syl3anc 1374	1 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  Tr wtr 5207  dom cdm 5632  ran crn 5633   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  –onto→wfo 6498   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  cardccrd 9859  Tarskictsk 10671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-smo 8288  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-oi 9427  df-har 9474  df-r1 9688  df-card 9863  df-aleph 9864  df-cf 9865  df-acn 9866  df-ac 10038  df-wina 10607  df-ina 10608  df-tsk 10672

This theorem is referenced by:  grutsk1  10744