MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskurn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tskurn 10788
Description: A transitive Tarski class is closed under small unions. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskurn (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ 𝑇)
Proof of Theorem tskurn
StepHypRef Expression
1 simp1l 1195 . 2 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ 𝑇 ∈ Tarski)
2 simp1r 1196 . 2 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ Tr 𝑇)
3 frn 6725 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆπ‘‡ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑇)
433ad2ant3 1133 . . 3 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑇)
5 tskwe2 10772 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Tarski β†’ 𝑇 ∈ dom card)
61, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ 𝑇 ∈ dom card)
7 simp2 1135 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑇)
8 trss 5277 . . . . . . 7 (Tr 𝑇 β†’ (𝐴 ∈ 𝑇 β†’ 𝐴 βŠ† 𝑇))
92, 7, 8sylc 65 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑇)
10 ssnum 10038 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ dom card ∧ 𝐴 βŠ† 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
116, 9, 10syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
12 ffn 6718 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆπ‘‡ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
13 dffn4 6812 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
1412, 13sylib 217 . . . . . 6 (𝐹:π΄βŸΆπ‘‡ β†’ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
15143ad2ant3 1133 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
16 fodomnum 10056 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card β†’ (𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ ran 𝐹 β‰Ό 𝐴))
1711, 15, 16sylc 65 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ ran 𝐹 β‰Ό 𝐴)
18 tsksdom 10755 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 β‰Ί 𝑇)
191, 7, 18syl2anc 582 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ 𝐴 β‰Ί 𝑇)
20 domsdomtr 9116 . . . 4 ((ran 𝐹 β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ί 𝑇) β†’ ran 𝐹 β‰Ί 𝑇)
2117, 19, 20syl2anc 582 . . 3 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ ran 𝐹 β‰Ί 𝑇)
22 tskssel 10756 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑇 ∧ ran 𝐹 β‰Ί 𝑇) β†’ ran 𝐹 ∈ 𝑇)
231, 4, 21, 22syl3anc 1369 . 2 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ ran 𝐹 ∈ 𝑇)
24 tskuni 10782 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ ran 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ 𝑇)
251, 2, 23, 24syl3anc 1369 1 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘‡) β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  Tr wtr 5266  dom cdm 5677  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542   β‰Ό cdom 8941   β‰Ί csdm 8942  cardccrd 9934  Tarskictsk 10747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-ac2 10462
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-smo 8350  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-oi 9509  df-har 9556  df-r1 9763  df-card 9938  df-aleph 9939  df-cf 9940  df-acn 9941  df-ac 10115  df-wina 10683  df-ina 10684  df-tsk 10748
This theorem is referenced by:  grutsk1  10820
  Copyright terms: Public domain W3C validator