Theorem tskurn 10263

Description: A transitive Tarski class is closed under small unions. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskurn	⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskurn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1195	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
2		simp1r 1196	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → Tr 𝑇)
3		frn 6510	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → ran 𝐹 ⊆ 𝑇)
4	3	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ⊆ 𝑇)
5		tskwe2 10247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
7		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
8		trss 5152	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑇 → (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝐴 ⊆ 𝑇))
9	2, 7, 8	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ⊆ 𝑇)
10		ssnum 9513	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
11	6, 9, 10	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
12		ffn 6504	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → 𝐹 Fn 𝐴)
13		dffn4 6588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
14	12, 13	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
15	14	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
16		fodomnum 9531	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 → ran 𝐹 ≼ 𝐴))
17	11, 15, 16	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ≼ 𝐴)
18		tsksdom 10230	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
19	1, 7, 18	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
20		domsdomtr 8688	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑇) → ran 𝐹 ≺ 𝑇)
21	17, 19, 20	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ≺ 𝑇)
22		tskssel 10231	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑇 ∧ ran 𝐹 ≺ 𝑇) → ran 𝐹 ∈ 𝑇)
23	1, 4, 21, 22	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ∈ 𝑇)
24		tskuni 10257	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ ran 𝐹 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)
25	1, 2, 23, 24	syl3anc 1369	1 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3861  ∪ cuni 4802   class class class wbr 5037  Tr wtr 5143  dom cdm 5529  ran crn 5530   Fn wfn 6336  ⟶wf 6337  –onto→wfo 6339   ≼ cdom 8539   ≺ csdm 8540  cardccrd 9411  Tarskictsk 10222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-inf2 9151  ax-ac2 9937

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-smo 8000  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-2o 8120  df-er 8306  df-map 8425  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-oi 9021  df-har 9068  df-r1 9240  df-card 9415  df-aleph 9416  df-cf 9417  df-acn 9418  df-ac 9590  df-wina 10158  df-ina 10159  df-tsk 10223

This theorem is referenced by:  grutsk1  10295