Theorem tskurn 10858

Description: A transitive Tarski class is closed under small unions. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskurn	⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskurn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1197	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
2		simp1r 1198	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → Tr 𝑇)
3		frn 6754	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → ran 𝐹 ⊆ 𝑇)
4	3	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ⊆ 𝑇)
5		tskwe2 10842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
7		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
8		trss 5294	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑇 → (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝐴 ⊆ 𝑇))
9	2, 7, 8	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ⊆ 𝑇)
10		ssnum 10108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
11	6, 9, 10	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
12		ffn 6747	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → 𝐹 Fn 𝐴)
13		dffn4 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
14	12, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
16		fodomnum 10126	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 → ran 𝐹 ≼ 𝐴))
17	11, 15, 16	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ≼ 𝐴)
18		tsksdom 10825	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
19	1, 7, 18	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
20		domsdomtr 9178	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑇) → ran 𝐹 ≺ 𝑇)
21	17, 19, 20	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ≺ 𝑇)
22		tskssel 10826	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑇 ∧ ran 𝐹 ≺ 𝑇) → ran 𝐹 ∈ 𝑇)
23	1, 4, 21, 22	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ∈ 𝑇)
24		tskuni 10852	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ ran 𝐹 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)
25	1, 2, 23, 24	syl3anc 1371	1 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  Tr wtr 5283  dom cdm 5700  ran crn 5701   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –onto→wfo 6571   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002  cardccrd 10004  Tarskictsk 10817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-smo 8402  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-oi 9579  df-har 9626  df-r1 9833  df-card 10008  df-aleph 10009  df-cf 10010  df-acn 10011  df-ac 10185  df-wina 10753  df-ina 10754  df-tsk 10818

This theorem is referenced by:  grutsk1  10890