Theorem tskurn 10742

Description: A transitive Tarski class is closed under small unions. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskurn	⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskurn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
2		simp1r 1199	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → Tr 𝑇)
3		frn 6695	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → ran 𝐹 ⊆ 𝑇)
4	3	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ⊆ 𝑇)
5		tskwe2 10726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
7		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
8		trss 5225	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑇 → (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝐴 ⊆ 𝑇))
9	2, 7, 8	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ⊆ 𝑇)
10		ssnum 9992	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
11	6, 9, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
12		ffn 6688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → 𝐹 Fn 𝐴)
13		dffn4 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
14	12, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
16		fodomnum 10010	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 → ran 𝐹 ≼ 𝐴))
17	11, 15, 16	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ≼ 𝐴)
18		tsksdom 10709	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
19	1, 7, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
20		domsdomtr 9076	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑇) → ran 𝐹 ≺ 𝑇)
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ≺ 𝑇)
22		tskssel 10710	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑇 ∧ ran 𝐹 ≺ 𝑇) → ran 𝐹 ∈ 𝑇)
23	1, 4, 21, 22	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ∈ 𝑇)
24		tskuni 10736	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ ran 𝐹 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)
25	1, 2, 23, 24	syl3anc 1373	1 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  Tr wtr 5214  dom cdm 5638  ran crn 5639   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  cardccrd 9888  Tarskictsk 10701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-ac2 10416

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-smo 8315  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-oi 9463  df-har 9510  df-r1 9717  df-card 9892  df-aleph 9893  df-cf 9894  df-acn 9895  df-ac 10069  df-wina 10637  df-ina 10638  df-tsk 10702

This theorem is referenced by:  grutsk1  10774