Theorem tskurn 10867

Description: A transitive Tarski class is closed under small unions. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tskurn	⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskurn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1216	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
2		simp1r 1217	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → Tr 𝑇)
3		frn 6715	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → ran 𝐹 ⊆ 𝑇)
4	3	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ⊆ 𝑇)
5		tskwe2 10851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → 𝑇 ∈ dom card)
6	1, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝑇 ∈ dom card)
7		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ∈ 𝑇)
8		trss 5222	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑇 → (𝐴 ∈ 𝑇 → 𝐴 ⊆ 𝑇))
9	2, 7, 8	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ⊆ 𝑇)
10		ssnum 10111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ 𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
11	6, 9, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ∈ dom card)
12		ffn 6707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → 𝐹 Fn 𝐴)
13		dffn4 6800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
14	12, 13	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑇 → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
15	14	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
16		fodomnum 10129	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 → ran 𝐹 ≼ 𝐴))
17	11, 15, 16	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ≼ 𝐴)
18		tsksdom 10834	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
19	1, 7, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → 𝐴 ≺ 𝑇)
20		domsdomtr 9124	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑇) → ran 𝐹 ≺ 𝑇)
21	17, 19, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ≺ 𝑇)
22		tskssel 10835	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑇 ∧ ran 𝐹 ≺ 𝑇) → ran 𝐹 ∈ 𝑇)
23	1, 4, 21, 22	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ran 𝐹 ∈ 𝑇)
24		tskuni 10861	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ ran 𝐹 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)
25	1, 2, 23, 24	syl3anc 1398	1 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑇) → ∪ ran 𝐹 ∈ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  Tr wtr 5212  dom cdm 5651  ran crn 5652   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535   ≼ cdom 8964   ≺ csdm 8965  cardccrd 10009  Tarskictsk 10826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-ac2 10534

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-smo 8347  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-oi 9497  df-har 9544  df-r1 9761  df-card 10013  df-aleph 10014  df-cf 10015  df-acn 10016  df-ac 10188  df-wina 10762  df-ina 10763  df-tsk 10827

This theorem is used by:  grutsk1  10899