MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txtopon Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txtopon 23095
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txtopon ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
Proof of Theorem txtopon
Dummy variables 𝑣 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 22415 . . 3 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑅 ∈ Top)
2 topontop 22415 . . 3 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ Top)
3 txtop 23073 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
41, 2, 3syl2an 597 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top)
5 eqid 2733 . . . . 5 ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
6 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
7 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
85, 6, 7txuni2 23069 . . . 4 (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) = βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
9 toponuni 22416 . . . . 5 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑅)
10 toponuni 22416 . . . . 5 (𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑆)
11 xpeq12 5702 . . . . 5 ((𝑋 = βˆͺ 𝑅 ∧ π‘Œ = βˆͺ 𝑆) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
129, 10, 11syl2an 597 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
135txbasex 23070 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V)
14 unitg 22470 . . . . 5 (ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V β†’ βˆͺ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = βˆͺ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
168, 12, 153eqtr4a 2799 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
175txval 23068 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
1817unieqd 4923 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆) = βˆͺ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
1916, 18eqtr4d 2776 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
20 istopon 22414 . 2 ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ↔ ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ Top ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
214, 19, 20sylanbrc 584 1 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  topGenctg 17383  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Γ—t ctx 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-tx 23066
This theorem is referenced by:  txuni  23096  txcls  23108  tx1cn  23113  tx2cn  23114  txcnp  23124  txcnmpt  23128  txindis  23138  txdis1cn  23139  txlm  23152  lmcn2  23153  xkococn  23164  cnmpt12  23171  cnmpt2c  23174  cnmpt21  23175  cnmpt2t  23177  cnmpt22  23178  cnmpt22f  23179  cnmpt2res  23181  cnmptcom  23182  cnmpt2k  23192  ptunhmeo  23312  xpstopnlem1  23313  xkocnv  23318  xkohmeo  23319  txflf  23510  flfcnp2  23511  cnmpt2plusg  23592  tmdcn2  23593  indistgp  23604  clssubg  23613  qustgplem  23625  prdstmdd  23628  tsmsadd  23651  cnmpt2vsca  23699  txmetcn  24057  cnmpt2ds  24359  fsum2cn  24387  cnmpopc  24444  htpyco2  24495  phtpyco2  24506  cnmpt2ip  24765  limccnp2  25409  dvcnp2  25437  dvaddbr  25455  dvmulbr  25456  dvcobr  25463  lhop1lem  25530  taylthlem2  25886  cxpcn3  26256  tpr2tp  32884  txsconnlem  34231  txsconn  34232  cvmlift2lem11  34304  cvmlift2lem12  34305  gg-dvcnp2  35174  gg-dvmulbr  35175  gg-dvcobr  35176
  Copyright terms: Public domain W3C validator