MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txrest Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txrest 23455
Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txrest (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝐡)))
Proof of Theorem txrest
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . . 6 ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
21txval 23388 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
32adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
43oveq1d 7427 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)))
51txbasex 23390 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V)
6 xpexg 7741 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V)
7 tgrest 22983 . . . 4 ((ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V) β†’ (topGenβ€˜(ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡))) = ((topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)))
85, 6, 7syl2an 595 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (topGenβ€˜(ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡))) = ((topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)))
9 elrest 17380 . . . . . . . 8 ((ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ V ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡))))
105, 6, 9syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ (ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡))))
11 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 π‘Ÿ ∈ V
1211inex1 5317 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∩ 𝐴) ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ÿ ∩ 𝐴) ∈ V)
14 elrest 17380 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴)))
1514ad2ant2r 744 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴)))
16 xpeq1 5690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣))
1716eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴) β†’ (π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣)))
1817rexbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣)))
19 vex 3477 . . . . . . . . . . . . 13 𝑠 ∈ V
2019inex1 5317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∩ 𝐡) ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (𝑠 ∩ 𝐡) ∈ V)
22 elrest 17380 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑠 ∩ 𝐡)))
2322ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑠 ∩ 𝐡)))
24 xpeq2 5697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑠 ∩ 𝐡) β†’ ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣) = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡)))
2524eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑠 ∩ 𝐡) β†’ (π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣) ↔ π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
2625adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝑣 = (𝑠 ∩ 𝐡)) β†’ (π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣) ↔ π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
2721, 23, 26rexxfr2d 5409 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— 𝑣) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
2818, 27sylan9bbr 510 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝑒 = (π‘Ÿ ∩ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
2913, 15, 28rexxfr2d 5409 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴)βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
3011, 19xpex 7744 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V
3130rgen2w 3065 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V
32 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
33 ineq1 4205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)))
34 inxp 5832 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))
3533, 34eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡)))
3635eqeq2d 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
3732, 36rexrnmpo 7551 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡))))
3831, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 π‘₯ = ((π‘Ÿ ∩ 𝐴) Γ— (𝑠 ∩ 𝐡)))
3929, 38bitr4di 289 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴)βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))π‘₯ = (𝑀 ∩ (𝐴 Γ— 𝐡))))
4010, 39bitr4d 282 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ (ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴)βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣)))
4140eqabdv 2866 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴)βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣)})
42 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
4342rnmpo 7545 . . . . 5 ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴)βˆƒπ‘£ ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡)π‘₯ = (𝑒 Γ— 𝑣)}
4441, 43eqtr4di 2789 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
4544fveq2d 6895 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (topGenβ€˜(ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
464, 8, 453eqtr2d 2777 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
47 ovex 7445 . . 3 (𝑅 β†Ύt 𝐴) ∈ V
48 ovex 7445 . . 3 (𝑆 β†Ύt 𝐡) ∈ V
49 eqid 2731 . . . 4 ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
5049txval 23388 . . 3 (((𝑅 β†Ύt 𝐴) ∈ V ∧ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ∈ V) β†’ ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝐡)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
5147, 48, 50mp2an 689 . 2 ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝐡)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐴), 𝑣 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐡) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
5246, 51eqtr4di 2789 1 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑅 Γ—t 𝑆) β†Ύt (𝐴 Γ— 𝐡)) = ((𝑅 β†Ύt 𝐴) Γ—t (𝑆 β†Ύt 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   Γ— cxp 5674  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   β†Ύt crest 17373  topGenctg 17390   Γ—t ctx 23384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-tx 23386
This theorem is referenced by:  txlly  23460  txnlly  23461  txkgen  23476  cnmpt2res  23501  xkoinjcn  23511  cnmpopc  24769  cnheiborlem  24800  lhop1lem  25866  cxpcn3  26597  raddcn  33373  cvmlift2lem6  34763  cvmlift2lem9  34766  cvmlift2lem12  34769
  Copyright terms: Public domain W3C validator