MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txuni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txuni2 23069
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txval.1 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
txuni2.1 𝑋 = βˆͺ 𝑅
txuni2.2 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
Assertion
Ref Expression
txuni2 (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝐡
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑅   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem txuni2
Dummy variables π‘Ÿ 𝑠 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 5695 . . 3 Rel (𝑋 Γ— π‘Œ)
2 txuni2.1 . . . . . . . 8 𝑋 = βˆͺ 𝑅
32eleq2i 2826 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝑋 ↔ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑅)
4 eluni2 4913 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑅 ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑧 ∈ π‘Ÿ)
53, 4bitri 275 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝑋 ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑧 ∈ π‘Ÿ)
6 txuni2.2 . . . . . . . 8 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
76eleq2i 2826 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ π‘Œ ↔ 𝑀 ∈ βˆͺ 𝑆)
8 eluni2 4913 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ βˆͺ 𝑆 ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑀 ∈ 𝑠)
97, 8bitri 275 . . . . . 6 (𝑀 ∈ π‘Œ ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑀 ∈ 𝑠)
105, 9anbi12i 628 . . . . 5 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑀 ∈ 𝑠))
11 opelxp 5713 . . . . 5 (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ))
12 reeanv 3227 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑀 ∈ 𝑠) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 𝑀 ∈ 𝑠))
1310, 11, 123bitr4i 303 . . . 4 (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑀 ∈ 𝑠))
14 opelxp 5713 . . . . . 6 (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ (𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑀 ∈ 𝑠))
15 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘Ÿ Γ— 𝑠)
16 xpeq1 5691 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Ÿ β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) = (π‘Ÿ Γ— 𝑦))
1716eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘Ÿ β†’ ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘Ÿ Γ— 𝑦)))
18 xpeq2 5698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑠 β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑦) = (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
1918eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑠 β†’ ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘Ÿ Γ— 𝑦) ↔ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
2017, 19rspc2ev 3625 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
2115, 20mp3an3 1451 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
22 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 π‘Ÿ ∈ V
23 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑠 ∈ V
2422, 23xpex 7740 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V
25 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (𝑧 = (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
26252rexbidv 3220 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 = (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦)))
27 txval.1 . . . . . . . . . . 11 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
2928rnmpo 7542 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 = (π‘₯ Γ— 𝑦)}
3027, 29eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 𝐡 = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 𝑧 = (π‘₯ Γ— 𝑦)}
3124, 26, 30elab2 3673 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) = (π‘₯ Γ— 𝑦))
3221, 31sylibr 233 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ 𝐡)
33 elssuni 4942 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ 𝐡 β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† βˆͺ 𝐡)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) βŠ† βˆͺ 𝐡)
3534sseld 3982 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ 𝐡))
3614, 35biimtrrid 242 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑀 ∈ 𝑠) β†’ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ 𝐡))
3736rexlimivv 3200 . . . 4 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (𝑧 ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑀 ∈ 𝑠) β†’ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ 𝐡)
3813, 37sylbi 216 . . 3 (βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ 𝐡)
391, 38relssi 5788 . 2 (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† βˆͺ 𝐡
40 elssuni 4942 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑅 β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝑅)
4140, 2sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑅 β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
42 elssuni 4942 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 βŠ† βˆͺ 𝑆)
4342, 6sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 βŠ† π‘Œ)
44 xpss12 5692 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† π‘Œ) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
4541, 43, 44syl2an 597 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
46 vex 3479 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
47 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
4846, 47xpex 7740 . . . . . . . . 9 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ V
4948elpw 4607 . . . . . . . 8 ((π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (π‘₯ Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
5045, 49sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ))
5150rgen2 3198 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ)
5228fmpo 8054 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑅 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝑅 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑋 Γ— π‘Œ))
5351, 52mpbi 229 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝑅 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑋 Γ— π‘Œ)
54 frn 6725 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝑅 Γ— 𝑆)βŸΆπ’« (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ))
5553, 54ax-mp 5 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ)
5627, 55eqsstri 4017 . . 3 𝐡 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ)
57 sspwuni 5104 . . 3 (𝐡 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ βˆͺ 𝐡 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
5856, 57mpbi 229 . 2 βˆͺ 𝐡 βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ)
5939, 58eqssi 3999 1 (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝐡
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675  ran crn 5678  βŸΆwf 6540   ∈ cmpo 7411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976
This theorem is referenced by:  txbasex  23070  txtopon  23095  sxsigon  33190
  Copyright terms: Public domain W3C validator