MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txopn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txopn 23106
Description: The product of two open sets is open in the product topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
txopn (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
Proof of Theorem txopn
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
21txbasex 23070 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V)
3 bastg 22469 . . . . 5 (ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
54adantr 482 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
6 eqid 2733 . . . . . 6 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)
7 xpeq1 5691 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝐴 β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) = (𝐴 Γ— 𝑣))
87eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑣)))
9 xpeq2 5698 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐡 β†’ (𝐴 Γ— 𝑣) = (𝐴 Γ— 𝐡))
109eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐡 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑣) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)))
118, 10rspc2ev 3625 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣))
126, 11mp3an3 1451 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣))
13 xpexg 7737 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V)
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
1514elrnmpog 7544 . . . . . 6 ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣)))
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣)))
1712, 16mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
1817adantl 483 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
195, 18sseldd 3984 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
201txval 23068 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
2120adantr 482 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
2219, 21eleqtrrd 2837 1 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  topGenctg 17383   Γ—t ctx 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-topgen 17389  df-tx 23066
This theorem is referenced by:  txcld  23107  txbasval  23110  neitx  23111  tx1cn  23113  tx2cn  23114  txlly  23140  txnlly  23141  txhaus  23151  txlm  23152  tx1stc  23154  txkgen  23156  xkococnlem  23163  cxpcn3  26256  cvmlift2lem11  34304  cvmlift2lem12  34305
  Copyright terms: Public domain W3C validator