MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txopn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txopn 23097
Description: The product of two open sets is open in the product topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
txopn (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
Proof of Theorem txopn
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . 6 ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
21txbasex 23061 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V)
3 bastg 22460 . . . . 5 (ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
54adantr 481 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
6 eqid 2732 . . . . . 6 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)
7 xpeq1 5689 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝐴 β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) = (𝐴 Γ— 𝑣))
87eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝐴 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑣)))
9 xpeq2 5696 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐡 β†’ (𝐴 Γ— 𝑣) = (𝐴 Γ— 𝐡))
109eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐡 β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝑣) ↔ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)))
118, 10rspc2ev 3623 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝐴 Γ— 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣))
126, 11mp3an3 1450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣))
13 xpexg 7733 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V)
14 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
1514elrnmpog 7540 . . . . . 6 ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ V β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣)))
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 Γ— 𝐡) = (𝑒 Γ— 𝑣)))
1712, 16mpbird 256 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
1817adantl 482 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
195, 18sseldd 3982 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
201txval 23059 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
2120adantr 481 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
2219, 21eleqtrrd 2836 1 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐡 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5673  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  topGenctg 17379   Γ—t ctx 23055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-topgen 17385  df-tx 23057
This theorem is referenced by:  txcld  23098  txbasval  23101  neitx  23102  tx1cn  23104  tx2cn  23105  txlly  23131  txnlly  23132  txhaus  23142  txlm  23143  tx1stc  23145  txkgen  23147  xkococnlem  23154  cxpcn3  26245  cvmlift2lem11  34292  cvmlift2lem12  34293
  Copyright terms: Public domain W3C validator