MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcnpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txcnpi 22800
Description: Continuity of a two-argument function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnpi.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
txcnpi.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
txcnpi.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
txcnpi.4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
txcnpi.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
txcnpi.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
txcnpi.7 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐹𝐡) ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
txcnpi (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝐴   𝑒,𝐡,𝑣   𝑒,𝐹,𝑣   𝑒,𝐽,𝑣   𝑒,𝐾,𝑣   𝑒,π‘ˆ,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒)   𝐿(𝑣,𝑒)   𝑋(𝑣,𝑒)   π‘Œ(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem txcnpi
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnpi.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
2 txcnpi.4 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
3 df-ov 7306 . . . 4 (𝐴𝐹𝐡) = (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
4 txcnpi.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐹𝐡) ∈ π‘ˆ)
53, 4eqeltrrid 2842 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ π‘ˆ)
6 cnpimaex 22448 . . 3 ((𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ))
71, 2, 5, 6syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ))
8 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)
9 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐿 = βˆͺ 𝐿
108, 9cnpf 22439 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)⟢βˆͺ 𝐿)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)⟢βˆͺ 𝐿)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)⟢βˆͺ 𝐿)
1312ffund 6630 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ Fun 𝐹)
14 elssuni 4877 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1511fdmd 6637 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1615sseq2d 3958 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† dom 𝐹 ↔ 𝑀 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)))
1716biimpar 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ 𝑀 βŠ† dom 𝐹)
1814, 17sylan2 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ 𝑀 βŠ† dom 𝐹)
19 funimass3 6959 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑀 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
2013, 18, 19syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
2120anbi2d 630 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
22 txcnpi.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
23 txcnpi.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
24 eltx 22760 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
2522, 23, 24syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
2625biimpa 478 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀))
27 eleq1 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝐴, 𝐡⟩ β†’ (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)))
2827anbi1d 631 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝐴, 𝐡⟩ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
29282rexbidv 3210 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝐴, 𝐡⟩ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
3029rspccv 3563 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
31 sstr2 3933 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀 β†’ (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
3231com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ ((𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀 β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
3332anim2d 613 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ (((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
34 opelxp 5632 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣))
3534anbi1i 625 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀))
36 df-3an 1089 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
3733, 35, 363imtr4g 297 . . . . . . . . . 10 (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3837reximdv 3164 . . . . . . . . 9 (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3938reximdv 3164 . . . . . . . 8 (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
4039com12 32 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
4130, 40syl6 35 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 β†’ (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))))
4241impd 412 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
4326, 42syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
4421, 43sylbid 240 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
4544rexlimdva 3149 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
467, 45mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3892  βŸ¨cop 4571  βˆͺ cuni 4844   Γ— cxp 5594  β—‘ccnv 5595  dom cdm 5596   β€œ cima 5599  Fun wfun 6448  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303  TopOnctopon 22100   CnP ccnp 22417   Γ—t ctx 22752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-fv 6462  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-map 8644  df-topgen 17195  df-top 22084  df-topon 22101  df-cnp 22420  df-tx 22754
This theorem is referenced by:  tmdcn2  23281
  Copyright terms: Public domain W3C validator