MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcnpi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txcnpi 23103
Description: Continuity of a two-argument function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnpi.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
txcnpi.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
txcnpi.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
txcnpi.4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
txcnpi.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
txcnpi.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
txcnpi.7 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐹𝐡) ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
txcnpi (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝐴   𝑒,𝐡,𝑣   𝑒,𝐹,𝑣   𝑒,𝐽,𝑣   𝑒,𝐾,𝑣   𝑒,π‘ˆ,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒)   𝐿(𝑣,𝑒)   𝑋(𝑣,𝑒)   π‘Œ(𝑣,𝑒)
Proof of Theorem txcnpi
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnpi.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
2 txcnpi.4 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
3 df-ov 7408 . . . 4 (𝐴𝐹𝐡) = (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
4 txcnpi.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐹𝐡) ∈ π‘ˆ)
53, 4eqeltrrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ π‘ˆ)
6 cnpimaex 22751 . . 3 ((𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ))
71, 2, 5, 6syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ))
8 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)
9 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐿 = βˆͺ 𝐿
108, 9cnpf 22742 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)⟢βˆͺ 𝐿)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)⟢βˆͺ 𝐿)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)⟢βˆͺ 𝐿)
1312ffund 6718 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ Fun 𝐹)
14 elssuni 4940 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1511fdmd 6725 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1615sseq2d 4013 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† dom 𝐹 ↔ 𝑀 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)))
1716biimpar 478 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ 𝑀 βŠ† dom 𝐹)
1814, 17sylan2 593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ 𝑀 βŠ† dom 𝐹)
19 funimass3 7052 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑀 βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
2013, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
2120anbi2d 629 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
22 txcnpi.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
23 txcnpi.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
24 eltx 23063 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
2625biimpa 477 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀))
27 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝐴, 𝐡⟩ β†’ (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)))
2827anbi1d 630 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝐴, 𝐡⟩ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
29282rexbidv 3219 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝐴, 𝐡⟩ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
3029rspccv 3609 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀)))
31 sstr2 3988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀 β†’ (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
3231com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ ((𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀 β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
3332anim2d 612 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ (((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
34 opelxp 5711 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣))
3534anbi1i 624 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀))
36 df-3an 1089 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
3733, 35, 363imtr4g 295 . . . . . . . . . 10 (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3837reximdv 3170 . . . . . . . . 9 (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
3938reximdv 3170 . . . . . . . 8 (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
4039com12 32 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
4130, 40syl6 35 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 β†’ (𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))))
4241impd 411 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑧 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† 𝑀) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
4326, 42syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
4421, 43sylbid 239 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
4544rexlimdva 3155 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)(⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ 𝑀 ∧ (𝐹 β€œ 𝑀) βŠ† π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ))))
467, 45mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ 𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  TopOnctopon 22403   CnP ccnp 22720   Γ—t ctx 23055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8818  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-cnp 22723  df-tx 23057
This theorem is referenced by:  tmdcn2  23584
  Copyright terms: Public domain W3C validator