MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpimaex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnpimaex 21552
Description: Property of a function continuous at a point. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnpimaex ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑃

Proof of Theorem cnpimaex
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2797 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
31, 2iscnp2 21535 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
43simprbi 497 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))))
5 eleq2 2873 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
6 sseq2 3920 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
76anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) ↔ (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
87rexbidv 3262 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
95, 8imbi12d 346 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))))
109rspccv 3558 . . 3 (∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → (𝐴𝐾 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))))
114, 10simpl2im 504 . 2 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐴𝐾 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))))
12113imp 1104 1 ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  wrex 3108  wss 3865   cuni 4751  cima 5453  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  Topctop 21189   CnP ccnp 21521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-map 8265  df-top 21190  df-topon 21207  df-cnp 21524
This theorem is referenced by:  iscnp4  21559  cnpnei  21560  cnpco  21563  cncnp  21576  cnpresti  21584  lmcnp  21600  txcnpi  21904  txcnp  21916  ptcnplem  21917  cnpflfi  22295  ghmcnp  22410  xrlimcnp  25232  cnambfre  34492
  Copyright terms: Public domain W3C validator