MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpimaex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnpimaex 23080
Description: Property of a function continuous at a point. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnpimaex ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑃

Proof of Theorem cnpimaex
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2731 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
31, 2iscnp2 23063 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 𝐽) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
43simprbi 496 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))))
5 eleq2 2821 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴))
6 sseq2 4008 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
76anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) ↔ (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
87rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
95, 8imbi12d 344 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))))
109rspccv 3609 . . 3 (∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → (𝐴𝐾 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))))
114, 10simpl2im 503 . 2 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐴𝐾 → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))))
12113imp 1110 1 ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴𝐾 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  wss 3948   cuni 4908  cima 5679  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  Topctop 22715   CnP ccnp 23049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8828  df-top 22716  df-topon 22733  df-cnp 23052
This theorem is referenced by:  iscnp4  23087  cnpnei  23088  cnpco  23091  cncnp  23104  cnpresti  23112  lmcnp  23128  txcnpi  23432  txcnp  23444  ptcnplem  23445  cnpflfi  23823  ghmcnp  23939  xrlimcnp  26814  cnambfre  37000
  Copyright terms: Public domain W3C validator