Theorem cnpimaex 23424

Description: Property of a function continuous at a point. (Contributed by FL, 31-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnpimaex	⊢ ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑃

Proof of Theorem cnpimaex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscnp2 23407	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝑦)))))
4	3	simprbi 502	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝑦))))
5		eleq2 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴))
6		sseq2 3962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝑦 ↔ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴))
7	6	anbi2d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝑦) ↔ (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)))
8	7	rexbidv 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)))
9	5, 8	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝑦)) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴))))
10	9	rspccv 3577	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝑦)) → (𝐴 ∈ 𝐾 → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴))))
11	4, 10	simpl2im 512	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐴 ∈ 𝐾 → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴))))
12	11	3imp 1127	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4871   “ cima 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Topctop 23061   CnP ccnp 23393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-map 8824  df-top 23062  df-topon 23079  df-cnp 23396

This theorem is used by:  iscnp4  23431  cnpnei  23432  cnpco  23435  cncnp  23448  cnpresti  23456  lmcnp  23472  txcnpi  23776  txcnp  23788  ptcnplem  23789  cnpflfi  24167  ghmcnp  24283  xrlimcnp  27144  cnambfre  38347