MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neitx Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem neitx 23102
Description: The Cartesian product of two neighborhoods is a neighborhood in the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neitx.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
neitx.y π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
neitx (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)))
Proof of Theorem neitx
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neitx.x . . . . . 6 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21neii1 22601 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
32ad2ant2r 745 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
4 neitx.y . . . . . 6 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
54neii1 22601 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·)) β†’ 𝐡 βŠ† π‘Œ)
65ad2ant2l 744 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐡 βŠ† π‘Œ)
7 xpss12 5690 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
83, 6, 7syl2anc 584 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
91, 4txuni 23087 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
109adantr 481 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
118, 10sseqtrd 4021 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
12 simp-5l 783 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
13 simp-4r 782 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
14 simplr 767 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐾)
15 txopn 23097 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1612, 13, 14, 15syl12anc 835 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
17 simpr1l 1230 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ ((𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))) β†’ 𝐢 βŠ† π‘Ž)
18173anassrs 1360 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝐢 βŠ† π‘Ž)
19 simprl 769 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝐷 βŠ† 𝑏)
20 xpss12 5690 . . . . . 6 ((𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ 𝐷 βŠ† 𝑏) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏))
2118, 19, 20syl2anc 584 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏))
22 simpr1r 1231 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ ((𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐴)
23223anassrs 1360 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐴)
24 simprr 771 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐡)
25 xpss12 5690 . . . . . 6 ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
2623, 24, 25syl2anc 584 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
27 sseq2 4007 . . . . . . 7 (𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ ((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ↔ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏)))
28 sseq1 4006 . . . . . . 7 (𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ↔ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
2927, 28anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ ((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏) ∧ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))))
3029rspcev 3612 . . . . 5 (((π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ ((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏) ∧ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
3116, 21, 26, 30syl12anc 835 . . . 4 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
32 neii2 22603 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐾 (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))
3332ad2ant2l 744 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐾 (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))
3433ad2antrr 724 . . . 4 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐾 (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))
3531, 34r19.29a 3162 . . 3 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
36 neii2 22603 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴))
3736ad2ant2r 745 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴))
3835, 37r19.29a 3162 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
39 txtop 23064 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
4039adantr 481 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
411neiss2 22596 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑋)
4241ad2ant2r 745 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑋)
434neiss2 22596 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·)) β†’ 𝐷 βŠ† π‘Œ)
4443ad2ant2l 744 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐷 βŠ† π‘Œ)
45 xpss12 5690 . . . . 5 ((𝐢 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐷 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
4642, 44, 45syl2anc 584 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
4746, 10sseqtrd 4021 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
48 eqid 2732 . . . 4 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)
4948isnei 22598 . . 3 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)) ↔ ((𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))))
5040, 47, 49syl2anc 584 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)) ↔ ((𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))))
5111, 38, 50mpbir2and 711 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Topctop 22386  neicnei 22592   Γ—t ctx 23055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-nei 22593  df-tx 23057
This theorem is referenced by:  utop2nei  23746  utop3cls  23747
  Copyright terms: Public domain W3C validator