MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neitx Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem neitx 23510
Description: The Cartesian product of two neighborhoods is a neighborhood in the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neitx.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
neitx.y π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
neitx (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)))
Proof of Theorem neitx
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neitx.x . . . . . 6 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21neii1 23009 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
32ad2ant2r 746 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
4 neitx.y . . . . . 6 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
54neii1 23009 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·)) β†’ 𝐡 βŠ† π‘Œ)
65ad2ant2l 745 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐡 βŠ† π‘Œ)
7 xpss12 5693 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
83, 6, 7syl2anc 583 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
91, 4txuni 23495 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
109adantr 480 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
118, 10sseqtrd 4020 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
12 simp-5l 784 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
13 simp-4r 783 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
14 simplr 768 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐾)
15 txopn 23505 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1612, 13, 14, 15syl12anc 836 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
17 simpr1l 1228 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ ((𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))) β†’ 𝐢 βŠ† π‘Ž)
18173anassrs 1358 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝐢 βŠ† π‘Ž)
19 simprl 770 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝐷 βŠ† 𝑏)
20 xpss12 5693 . . . . . 6 ((𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ 𝐷 βŠ† 𝑏) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏))
2118, 19, 20syl2anc 583 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏))
22 simpr1r 1229 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ ((𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐴)
23223anassrs 1358 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐴)
24 simprr 772 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐡)
25 xpss12 5693 . . . . . 6 ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
2623, 24, 25syl2anc 583 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
27 sseq2 4006 . . . . . . 7 (𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ ((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ↔ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏)))
28 sseq1 4005 . . . . . . 7 (𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ↔ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
2927, 28anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ ((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏) ∧ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))))
3029rspcev 3609 . . . . 5 (((π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ ((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏) ∧ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
3116, 21, 26, 30syl12anc 836 . . . 4 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
32 neii2 23011 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐾 (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))
3332ad2ant2l 745 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐾 (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))
3433ad2antrr 725 . . . 4 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐾 (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))
3531, 34r19.29a 3159 . . 3 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
36 neii2 23011 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴))
3736ad2ant2r 746 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴))
3835, 37r19.29a 3159 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
39 txtop 23472 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
4039adantr 480 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
411neiss2 23004 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑋)
4241ad2ant2r 746 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑋)
434neiss2 23004 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·)) β†’ 𝐷 βŠ† π‘Œ)
4443ad2ant2l 745 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐷 βŠ† π‘Œ)
45 xpss12 5693 . . . . 5 ((𝐢 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐷 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
4642, 44, 45syl2anc 583 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
4746, 10sseqtrd 4020 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
48 eqid 2728 . . . 4 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)
4948isnei 23006 . . 3 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)) ↔ ((𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))))
5040, 47, 49syl2anc 583 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)) ↔ ((𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))))
5111, 38, 50mpbir2and 712 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5676  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Topctop 22794  neicnei 23000   Γ—t ctx 23463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-topgen 17424  df-top 22795  df-topon 22812  df-bases 22848  df-nei 23001  df-tx 23465
This theorem is referenced by:  utop2nei  24154  utop3cls  24155
  Copyright terms: Public domain W3C validator