MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neitx Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem neitx 23455
Description: The Cartesian product of two neighborhoods is a neighborhood in the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neitx.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
neitx.y π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
neitx (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)))
Proof of Theorem neitx
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neitx.x . . . . . 6 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21neii1 22954 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
32ad2ant2r 744 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
4 neitx.y . . . . . 6 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
54neii1 22954 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·)) β†’ 𝐡 βŠ† π‘Œ)
65ad2ant2l 743 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐡 βŠ† π‘Œ)
7 xpss12 5682 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
83, 6, 7syl2anc 583 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
91, 4txuni 23440 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
109adantr 480 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
118, 10sseqtrd 4015 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
12 simp-5l 782 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
13 simp-4r 781 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
14 simplr 766 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐾)
15 txopn 23450 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1612, 13, 14, 15syl12anc 834 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
17 simpr1l 1227 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ ((𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))) β†’ 𝐢 βŠ† π‘Ž)
18173anassrs 1357 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝐢 βŠ† π‘Ž)
19 simprl 768 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝐷 βŠ† 𝑏)
20 xpss12 5682 . . . . . 6 ((𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ 𝐷 βŠ† 𝑏) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏))
2118, 19, 20syl2anc 583 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏))
22 simpr1r 1228 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ ((𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐴)
23223anassrs 1357 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐴)
24 simprr 770 . . . . . 6 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐡)
25 xpss12 5682 . . . . . 6 ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
2623, 24, 25syl2anc 583 . . . . 5 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))
27 sseq2 4001 . . . . . . 7 (𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ ((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ↔ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏)))
28 sseq1 4000 . . . . . . 7 (𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡) ↔ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
2927, 28anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑐 = (π‘Ž Γ— 𝑏) β†’ (((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)) ↔ ((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏) ∧ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))))
3029rspcev 3604 . . . . 5 (((π‘Ž Γ— 𝑏) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ ((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (π‘Ž Γ— 𝑏) ∧ (π‘Ž Γ— 𝑏) βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
3116, 21, 26, 30syl12anc 834 . . . 4 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) ∧ (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
32 neii2 22956 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐾 (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))
3332ad2ant2l 743 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐾 (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))
3433ad2antrr 723 . . . 4 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐾 (𝐷 βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡))
3531, 34r19.29a 3154 . . 3 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
36 neii2 22956 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴))
3736ad2ant2r 744 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 (𝐢 βŠ† π‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† 𝐴))
3835, 37r19.29a 3154 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))
39 txtop 23417 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
4039adantr 480 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
411neiss2 22949 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑋)
4241ad2ant2r 744 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐢 βŠ† 𝑋)
434neiss2 22949 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·)) β†’ 𝐷 βŠ† π‘Œ)
4443ad2ant2l 743 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ 𝐷 βŠ† π‘Œ)
45 xpss12 5682 . . . . 5 ((𝐢 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐷 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
4642, 44, 45syl2anc 583 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
4746, 10sseqtrd 4015 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
48 eqid 2724 . . . 4 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)
4948isnei 22951 . . 3 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)) ↔ ((𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))))
5040, 47, 49syl2anc 583 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ ((𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)) ↔ ((𝐴 Γ— 𝐡) βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)((𝐢 Γ— 𝐷) βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† (𝐴 Γ— 𝐡)))))
5111, 38, 50mpbir2and 710 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜πΆ) ∧ 𝐡 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π·))) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) ∈ ((neiβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))β€˜(𝐢 Γ— 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3941  βˆͺ cuni 4900   Γ— cxp 5665  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Topctop 22739  neicnei 22945   Γ—t ctx 23408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-topgen 17394  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-nei 22946  df-tx 23410
This theorem is referenced by:  utop2nei  24099  utop3cls  24100
  Copyright terms: Public domain W3C validator