Theorem uzid3 44691

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzid3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzid3	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Proof of Theorem uzid3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid3.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eleq2i 2817	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	biimpi 215	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		uzid2 44661	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  ℤ_≥cuz 12821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-neg 11446  df-z 12558  df-uz 12822

This theorem is referenced by:  cvgcaule  44748  rexanuz2nf  44749  climxlim2lem  45107