Theorem infxrlesupxr 45971

Description: The supremum of a nonempty set is greater than or equal to the infimum. The second condition is needed, see supxrltinfxr 45984. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrlesupxr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
infxrlesupxr.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
infxrlesupxr	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrlesupxr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrlesupxr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4303	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	biimpi 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
5		infxrlesupxr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	infxrcld 45925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	5	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9	5	supxrcld 45646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
12		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		infxrlb 13332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
14	11, 12, 13	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
15		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < )
16	11, 12, 15	supxrubd 45652	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
17	7, 8, 10, 14, 16	xrletrd 13158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
18	17	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
19	18	exlimdv 1952	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
20	4, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  supcsup 9380  infcinf 9381  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210   ≤ cle 11211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  46310