Theorem infxrlesupxr 45561

Description: The supremum of a nonempty set is greater than or equal to the infimum. The second condition is needed, see supxrltinfxr 45574. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrlesupxr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
infxrlesupxr.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
infxrlesupxr	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrlesupxr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrlesupxr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4302	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
5		infxrlesupxr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	infxrcld 45514	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	5	sselda 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9	5	supxrcld 45231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		infxrlb 13238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
15		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < )
16	11, 12, 15	supxrubd 45237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
17	7, 8, 10, 14, 16	xrletrd 13065	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
19	18	exlimdv 1934	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
20	4, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   class class class wbr 5095  supcsup 9333  infcinf 9334  ℝ^*cxr 11154   < clt 11155   ≤ cle 11156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  45900