Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrlesupxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrlesupxr 45447
Description: The supremum of a nonempty set is greater than or equal to the infimum. The second condition is needed, see supxrltinfxr 45460. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrlesupxr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infxrlesupxr.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
infxrlesupxr (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrlesupxr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxrlesupxr.2 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2 n0 4353 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
32biimpi 216 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥𝐴)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
5 infxrlesupxr.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
65infxrcld 45400 . . . . . 6 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
85sselda 3983 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
95supxrcld 45112 . . . . . 6 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
115adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
13 infxrlb 13376 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
15 eqid 2737 . . . . . 6 sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < )
1611, 12, 15supxrubd 45118 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
177, 8, 10, 14, 16xrletrd 13204 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1817ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
1918exlimdv 1933 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
204, 19mpd 15 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  supcsup 9480  infcinf 9481  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  45790
  Copyright terms: Public domain W3C validator