Theorem infxrlesupxr 44877

Description: The supremum of a nonempty set is greater than or equal to the infimum. The second condition is needed, see supxrltinfxr 44890. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrlesupxr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
infxrlesupxr.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
infxrlesupxr	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrlesupxr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrlesupxr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4343	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
5		infxrlesupxr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	infxrcld 44830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	5	sselda 3973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9	5	supxrcld 44534	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
12		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		infxrlb 13340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
14	11, 12, 13	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
15		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < )
16	11, 12, 15	supxrubd 44540	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
17	7, 8, 10, 14, 16	xrletrd 13168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
18	17	ex 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
19	18	exlimdv 1928	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
20	4, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3941  ∅c0 4319   class class class wbr 5144  supcsup 9458  infcinf 9459  ℝ^*cxr 11272   < clt 11273   ≤ cle 11274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  45222