Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrlesupxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrlesupxr 43757
Description: The supremum of a nonempty set is greater than or equal to the infimum. The second condition is needed, see supxrltinfxr 43770. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrlesupxr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infxrlesupxr.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
infxrlesupxr (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrlesupxr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxrlesupxr.2 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2 n0 4307 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
32biimpi 215 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥𝐴)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
5 infxrlesupxr.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
65infxrcld 43710 . . . . . 6 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
76adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
85sselda 3945 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
95supxrcld 43405 . . . . . 6 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
109adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
115adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
12 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
13 infxrlb 13259 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1411, 12, 13syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
15 eqid 2733 . . . . . 6 sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < )
1611, 12, 15supxrubd 43411 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
177, 8, 10, 14, 16xrletrd 13087 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
1817ex 414 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
1918exlimdv 1937 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
204, 19mpd 15 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wex 1782  wcel 2107  wne 2940  wss 3911  c0 4283   class class class wbr 5106  supcsup 9381  infcinf 9382  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393
This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  44102
  Copyright terms: Public domain W3C validator