Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxlim2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxlim2lem 44861
Description: In this lemma for climxlim2 44862 there is the additional assumption that the converging function is complex-valued on the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxlim2lem.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climxlim2lem.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climxlim2lem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
climxlim2lem.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
climxlim2lem.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxlim2lem (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2lem
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxlim2lem.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
21adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
3 climxlim2lem.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
43adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 climxlim2lem.2 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 climxlim2lem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
76adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
8 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
94, 5, 7, 8xlimclim2 44856 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
102, 9mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
11 climxlim2lem.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
1211ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1312anim1i 614 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴))
1413adantllr 716 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴))
156adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
1615ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
17 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴))))
18 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚))
19 neeq1 3002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑦 β‰  𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴))
2018, 19anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴)))
21 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
2221breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) ↔ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2320, 22imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴))) ↔ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))))
2423rspcva 3611 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2516, 17, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2714, 26mpd 15 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
2827ex 412 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2928ralrimiva 3145 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
3029ad4ant14 749 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
31 climcl 15448 . . . . . . . 8 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
321, 31syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
34 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ)
35 prfi 9325 . . . . . . 7 {+∞, -∞} ∈ Fin
3635a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ {+∞, -∞} ∈ Fin)
37 df-xr 11257 . . . . . 6 ℝ* = (ℝ βˆͺ {+∞, -∞})
3833, 34, 36, 37cnrefiisp 44846 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴))))
3930, 38reximddv3 44143 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
40 nfv 1916 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+)
41 nfra1 3280 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
4240, 41nfan 1901 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
43 nfv 1916 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
4442, 43nfan 1901 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
45 nfra1 3280 . . . . . . . 8 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯
4644, 45nfan 1901 . . . . . . 7 β„²π‘˜((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
47 simpll 764 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
485uztrn2 12846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4948adantll 711 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
50 rspa 3244 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
5147, 49, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
52 neqne 2947 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴)
5351, 52impel 505 . . . . . . . . . 10 ((((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
5453ad5ant2345 1369 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
5554adantllr 716 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
56 rspa 3244 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
5756adantll 711 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
5811ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
5948adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
6058, 59ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6160adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6232ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6361, 62subcld 11576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
6463abscld 15388 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
6564adantl3r 747 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
66 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
6766ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
6867rpred 13021 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6965, 68ltnled 11366 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
7057, 69mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
7170adantl3r 747 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
7271adantr 480 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
7355, 72condan 815 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7446, 73ralrimia 3254 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
75 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜πΉ
7675, 3, 5, 11climuz 44760 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
771, 76mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
7877simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
7978r19.21bi 3247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
8079adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
8174, 80reximddv3 44143 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
8281adantllr 716 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
8339, 82rexlimddv2 44839 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
84 nfv 1916 . . . . 5 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
85 nfra1 3280 . . . . 5 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴
8684, 85nfan 1901 . . . 4 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
876ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
88 simplr 766 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
895uzid3 44445 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
90 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
9190eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴))
9291rspcva 3611 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
9389, 92sylan 579 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
94933adant1 1129 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
956ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
96953adant3 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
9794, 96eqeltrrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
9897ad4ant134 1173 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
99 rspa 3244 . . . . 5 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
10099adantll 711 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
10186, 75, 5, 87, 88, 98, 100xlimconst2 44851 . . 3 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
10283, 101rexlimddv2 44839 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
10310, 102pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {cpr 4631   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  β„‚cc 11111  β„cr 11112  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  abscabs 15186   ⇝ cli 15433  ~~>*clsxlim 44834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-ordt 17452  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-lm 22954  df-xms 24047  df-ms 24048  df-xlim 44835
This theorem is referenced by:  climxlim2  44862
  Copyright terms: Public domain W3C validator