Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxlim2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxlim2lem 44172
Description: In this lemma for climxlim2 44173 there is the additional assumption that the converging function is complex-valued on the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxlim2lem.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climxlim2lem.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climxlim2lem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
climxlim2lem.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
climxlim2lem.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxlim2lem (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2lem
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxlim2lem.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
21adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
3 climxlim2lem.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
43adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 climxlim2lem.2 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 climxlim2lem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
76adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
8 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
94, 5, 7, 8xlimclim2 44167 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
102, 9mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
11 climxlim2lem.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
1211ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1312anim1i 616 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴))
1413adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴))
156adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
1615ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
17 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴))))
18 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚))
19 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑦 β‰  𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴))
2018, 19anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴)))
21 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
2221breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) ↔ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2320, 22imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴))) ↔ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))))
2423rspcva 3578 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2516, 17, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2625adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2714, 26mpd 15 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
2827ex 414 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2928ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
3029ad4ant14 751 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
31 climcl 15387 . . . . . . . 8 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
321, 31syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3332adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
34 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ)
35 prfi 9269 . . . . . . 7 {+∞, -∞} ∈ Fin
3635a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ {+∞, -∞} ∈ Fin)
37 df-xr 11198 . . . . . 6 ℝ* = (ℝ βˆͺ {+∞, -∞})
3833, 34, 36, 37cnrefiisp 44157 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴))))
3930, 38reximddv3 43449 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
40 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+)
41 nfra1 3266 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
4240, 41nfan 1903 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
43 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
4442, 43nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
45 nfra1 3266 . . . . . . . 8 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯
4644, 45nfan 1903 . . . . . . 7 β„²π‘˜((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
47 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
485uztrn2 12787 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4948adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
50 rspa 3230 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
5147, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
52 neqne 2948 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴)
5351, 52impel 507 . . . . . . . . . 10 ((((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
5453ad5ant2345 1371 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
5554adantllr 718 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
56 rspa 3230 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
5756adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
5811ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
5948adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
6058, 59ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6160adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6232ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6361, 62subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
6463abscld 15327 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
6564adantl3r 749 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
66 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
6766ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
6867rpred 12962 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6965, 68ltnled 11307 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
7057, 69mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
7170adantl3r 749 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
7271adantr 482 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
7355, 72condan 817 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7446, 73ralrimia 3240 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
75 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜πΉ
7675, 3, 5, 11climuz 44071 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
771, 76mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
7877simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
7978r19.21bi 3233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
8079adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
8174, 80reximddv3 43449 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
8281adantllr 718 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
8339, 82rexlimddv2 44150 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
84 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
85 nfra1 3266 . . . . 5 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴
8684, 85nfan 1903 . . . 4 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
876ad3antrrr 729 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
88 simplr 768 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
895uzid3 43756 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
90 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
9190eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴))
9291rspcva 3578 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
9389, 92sylan 581 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
94933adant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
956ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
96953adant3 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
9794, 96eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
9897ad4ant134 1175 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
99 rspa 3230 . . . . 5 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
10099adantll 713 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
10186, 75, 5, 87, 88, 98, 100xlimconst2 44162 . . 3 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
10283, 101rexlimddv2 44150 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
10310, 102pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {cpr 4589   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  β„cr 11055  +∞cpnf 11191  -∞cmnf 11192  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  abscabs 15125   ⇝ cli 15372  ~~>*clsxlim 44145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-rest 17309  df-topn 17310  df-topgen 17330  df-ordt 17388  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-lm 22596  df-xms 23689  df-ms 23690  df-xlim 44146
This theorem is referenced by:  climxlim2  44173
  Copyright terms: Public domain W3C validator