Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxlim2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxlim2lem 44076
Description: In this lemma for climxlim2 44077 there is the additional assumption that the converging function is complex-valued on the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxlim2lem.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxlim2lem.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxlim2lem.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxlim2lem.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
climxlim2lem.5 (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxlim2lem (𝜑𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2lem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxlim2lem.5 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
21adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹𝐴)
3 climxlim2lem.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 climxlim2lem.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climxlim2lem.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
8 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
94, 5, 7, 8xlimclim2 44071 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
102, 9mpbird 256 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴)
11 climxlim2lem.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
1211ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1312anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴))
1413adantllr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴))
156adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
1615ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
17 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
18 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (𝑦 ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑘) ∈ ℂ))
19 neeq1 3006 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (𝑦𝐴 ↔ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴))
2018, 19anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹𝑘) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴)))
21 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (abs‘(𝑦𝐴)) = (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2221breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2320, 22imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))) ↔ (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))))
2423rspcva 3579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2516, 17, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2714, 26mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2827ex 413 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2928ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
3029ad4ant14 750 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
31 climcl 15381 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
321, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3332adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
34 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
35 prfi 9266 . . . . . . 7 {+∞, -∞} ∈ Fin
3635a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → {+∞, -∞} ∈ Fin)
37 df-xr 11193 . . . . . 6 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
3833, 34, 36, 37cnrefiisp 44061 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
3930, 38reximddv3 43351 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
40 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℝ+)
41 nfra1 3267 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
4240, 41nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
43 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑍
4442, 43nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑘(((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍)
45 nfra1 3267 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥
4644, 45nfan 1902 . . . . . . 7 𝑘((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
47 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
485uztrn2 12782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
4948adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
50 rspa 3231 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
5147, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
52 neqne 2951 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐹𝑘) = 𝐴 → (𝐹𝑘) ≠ 𝐴)
5351, 52impel 506 . . . . . . . . . 10 ((((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
5453ad5ant2345 1370 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
5554adantllr 717 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
56 rspa 3231 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
5756adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
5811ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
5948adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
6058, 59ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6160adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6232ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6361, 62subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
6463abscld 15321 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
6564adantl3r 748 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6766ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6867rpred 12957 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6965, 68ltnled 11302 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
7057, 69mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
7170adantl3r 748 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
7271adantr 481 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
7355, 72condan 816 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7446, 73ralrimia 3241 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
75 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐹
7675, 3, 5, 11climuz 43975 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
771, 76mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
7877simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
7978r19.21bi 3234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
8079adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
8174, 80reximddv3 43351 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
8281adantllr 717 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
8339, 82rexlimddv2 44054 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
84 nfv 1917 . . . . 5 𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍)
85 nfra1 3267 . . . . 5 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴
8684, 85nfan 1902 . . . 4 𝑘(((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
876ad3antrrr 728 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
88 simplr 767 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑗𝑍)
895uzid3 43660 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
90 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
9190eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹𝑗) = 𝐴))
9291rspcva 3579 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
9389, 92sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
94933adant1 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
956ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
96953adant3 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
9794, 96eqeltrrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9897ad4ant134 1174 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
99 rspa 3231 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10099adantll 712 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10186, 75, 5, 87, 88, 98, 100xlimconst2 44066 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
10283, 101rexlimddv2 44054 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴)
10310, 102pm2.61dan 811 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {cpr 4588   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  abscabs 15119  cli 15366  ~~>*clsxlim 44049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-ordt 17383  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-lm 22580  df-xms 23673  df-ms 23674  df-xlim 44050
This theorem is referenced by:  climxlim2  44077
  Copyright terms: Public domain W3C validator