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Theorem climxlim2lem 45860
Description: In this lemma for climxlim2 45861 there is the additional assumption that the converging function is complex-valued on the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxlim2lem.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxlim2lem.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxlim2lem.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxlim2lem.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
climxlim2lem.5 (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxlim2lem (𝜑𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2lem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxlim2lem.5 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹𝐴)
3 climxlim2lem.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 climxlim2lem.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climxlim2lem.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
8 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
94, 5, 7, 8xlimclim2 45855 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
102, 9mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴)
11 climxlim2lem.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
1211ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1312anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴))
1413adantllr 719 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴))
156adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
1615ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
17 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
18 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (𝑦 ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑘) ∈ ℂ))
19 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (𝑦𝐴 ↔ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴))
2018, 19anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹𝑘) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴)))
21 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (abs‘(𝑦𝐴)) = (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2221breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2320, 22imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))) ↔ (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))))
2423rspcva 3620 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2516, 17, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2714, 26mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2827ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2928ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
3029ad4ant14 752 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
31 climcl 15535 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
321, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
34 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
35 prfi 9363 . . . . . . 7 {+∞, -∞} ∈ Fin
3635a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → {+∞, -∞} ∈ Fin)
37 df-xr 11299 . . . . . 6 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
3833, 34, 36, 37cnrefiisp 45845 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
3930, 38reximddv3 3172 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
40 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℝ+)
41 nfra1 3284 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
4240, 41nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
43 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑍
4442, 43nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑘(((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍)
45 nfra1 3284 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥
4644, 45nfan 1899 . . . . . . 7 𝑘((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
47 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
485uztrn2 12897 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
4948adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
50 rspa 3248 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
5147, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
52 neqne 2948 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐹𝑘) = 𝐴 → (𝐹𝑘) ≠ 𝐴)
5351, 52impel 505 . . . . . . . . . 10 ((((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
5453ad5ant2345 1372 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
5554adantllr 719 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
56 rspa 3248 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
5756adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
5811ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
5948adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
6058, 59ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6160adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6232ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6361, 62subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
6463abscld 15475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
6564adantl3r 750 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
66 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6766ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6867rpred 13077 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6965, 68ltnled 11408 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
7057, 69mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
7170adantl3r 750 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
7271adantr 480 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
7355, 72condan 818 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7446, 73ralrimia 3258 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
75 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐹
7675, 3, 5, 11climuz 45759 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
771, 76mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
7877simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
7978r19.21bi 3251 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
8079adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
8174, 80reximddv3 3172 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
8281adantllr 719 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
8339, 82rexlimddv2 45838 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
84 nfv 1914 . . . . 5 𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍)
85 nfra1 3284 . . . . 5 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴
8684, 85nfan 1899 . . . 4 𝑘(((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
876ad3antrrr 730 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
88 simplr 769 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑗𝑍)
895uzid3 45446 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
90 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
9190eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹𝑗) = 𝐴))
9291rspcva 3620 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
9389, 92sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
94933adant1 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
956ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
96953adant3 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
9794, 96eqeltrrd 2842 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9897ad4ant134 1175 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
99 rspa 3248 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10099adantll 714 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10186, 75, 5, 87, 88, 98, 100xlimconst2 45850 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
10283, 101rexlimddv2 45838 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴)
10310, 102pm2.61dan 813 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {cpr 4628   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  abscabs 15273  cli 15520  ~~>*clsxlim 45833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-lm 23237  df-xms 24330  df-ms 24331  df-xlim 45834
This theorem is referenced by:  climxlim2  45861
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