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Theorem climxlim2lem 40641
Description: In this lemma for climxlim2 40642 there is the additional assumption that the converging function is complex-valued on the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxlim2lem.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climxlim2lem.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
climxlim2lem.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
climxlim2lem.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
climxlim2lem.5 (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxlim2lem (𝜑𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2lem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxlim2lem.5 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
21adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹𝐴)
3 climxlim2lem.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 climxlim2lem.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climxlim2lem.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
76adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
8 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
94, 5, 7, 8xlimclim2 40636 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
102, 9mpbird 248 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴)
11 climxlim2lem.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
1211ffvelrnda 6548 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1312anim1i 608 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴))
1413adantllr 710 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴))
156adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
1615ffvelrnda 6548 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
17 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
18 eleq1 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (𝑦 ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑘) ∈ ℂ))
19 neeq1 2998 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (𝑦𝐴 ↔ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴))
2018, 19anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹𝑘) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴)))
21 fvoveq1 6864 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (abs‘(𝑦𝐴)) = (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2221breq2d 4820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2320, 22imbi12d 335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑘) → (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))) ↔ (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))))
2423rspcva 3458 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2516, 17, 24syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2625adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2714, 26mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2827ex 401 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
2928ralrimiva 3112 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
3029ad4ant14 759 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))) → ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
31 climcl 14516 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
321, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3332adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
34 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
35 prfi 8441 . . . . . . 7 {+∞, -∞} ∈ Fin
3635a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → {+∞, -∞} ∈ Fin)
37 df-xr 10331 . . . . . 6 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
3833, 34, 36, 37cnrefiisp 40626 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
3930, 38reximddv3 39922 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
40 nfv 2009 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℝ+)
41 nfra1 3087 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
4240, 41nfan 1998 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
43 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝑍
4442, 43nfan 1998 . . . . . . . 8 𝑘(((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍)
45 nfra1 3087 . . . . . . . 8 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥
4644, 45nfan 1998 . . . . . . 7 𝑘((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
47 simpll 783 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
485uztrn2 11903 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
4948adantll 705 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
50 rspa 3076 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
5147, 49, 50syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
52 neqne 2944 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐹𝑘) = 𝐴 → (𝐹𝑘) ≠ 𝐴)
5351, 52impel 501 . . . . . . . . . 10 ((((∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
5453ad5ant2345 1489 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
5554adantllr 710 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
56 rspa 3076 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
5756adantll 705 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
5811ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
5948adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
6058, 59ffvelrnd 6549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6160adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6232ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6361, 62subcld 10645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
6463abscld 14461 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
6564adantl3r 756 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
66 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6766ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
6867rpred 12069 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6965, 68ltnled 10437 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴))))
7057, 69mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
7170adantl3r 756 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
7271adantr 472 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
7355, 72condan 852 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7446, 73ralrimia 39896 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
75 nfcv 2906 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐹
7675, 3, 5, 11climuz 40546 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
771, 76mpbid 223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
7877simprd 489 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
7978r19.21bi 3078 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
8079adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)
8174, 80reximddv3 39922 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
8281adantllr 710 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝐹𝑘) ≠ 𝐴𝑥 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
8339, 82rexlimddv2 40619 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
84 nfv 2009 . . . . 5 𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍)
85 nfra1 3087 . . . . 5 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴
8684, 85nfan 1998 . . . 4 𝑘(((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
876ad3antrrr 721 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
88 simplr 785 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝑗𝑍)
895uzid3 40231 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
90 fveq2 6374 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
9190eqeq1d 2766 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹𝑗) = 𝐴))
9291rspcva 3458 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
9389, 92sylan 575 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
94933adant1 1160 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
956ffvelrnda 6548 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
96953adant3 1162 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
9794, 96eqeltrrd 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9897ad4ant134 1217 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
99 rspa 3076 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10099adantll 705 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10186, 75, 5, 87, 88, 98, 100xlimconst2 40631 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
10283, 101rexlimddv2 40619 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴)
10310, 102pm2.61dan 847 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  wrex 3055  {cpr 4335   class class class wbr 4808  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  Fincfn 8159  cc 10186  cr 10187  +∞cpnf 10324  -∞cmnf 10325  *cxr 10326   < clt 10327  cle 10328  cmin 10519  cz 11623  cuz 11885  +crp 12027  abscabs 14260  cli 14501  ~~>*clsxlim 40614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-ioo 12380  df-ioc 12381  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12533  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-clim 14505  df-rlim 14506  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-rest 16350  df-topn 16351  df-topgen 16371  df-ordt 16428  df-ps 17467  df-tsr 17468  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-lm 21312  df-xms 22403  df-ms 22404  df-xlim 40615
This theorem is referenced by:  climxlim2  40642
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