| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | climxlim2lem.5 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴) |
| 2 | 1 | adantr 480 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ⇝ 𝐴) |
| 3 | | climxlim2lem.1 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 4 | 3 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 5 | | climxlim2lem.2 |
. . . 4
⊢ 𝑍 =
(ℤ≥‘𝑀) |
| 6 | | climxlim2lem.3 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*) |
| 7 | 6 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*) |
| 8 | | simpr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 9 | 4, 5, 7, 8 | xlimclim2 45855 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)) |
| 10 | 2, 9 | mpbird 257 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴) |
| 11 | | climxlim2lem.4 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ) |
| 12 | 11 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
| 13 | 12 | anim1i 615 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴)) |
| 14 | 13 | adantllr 719 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴)) |
| 15 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*) |
| 16 | 15 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈
ℝ*) |
| 17 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) |
| 18 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑘) → (𝑦 ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) |
| 19 | | neeq1 3003 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑘) → (𝑦 ≠ 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴)) |
| 20 | 18, 19 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴))) |
| 21 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑘) → (abs‘(𝑦 − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) |
| 22 | 21 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑘) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 23 | 20, 22 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑘) → (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))) ↔ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))))) |
| 24 | 23 | rspcva 3620 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ∧
∀𝑦 ∈
ℝ* ((𝑦
∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠
𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 25 | 16, 17, 24 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 26 | 25 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 27 | 14, 26 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) |
| 28 | 27 | ex 412 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 29 | 28 | ralrimiva 3146 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 30 | 29 | ad4ant14 752 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑦 ∈
ℝ* ((𝑦
∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠
𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 31 | | climcl 15535 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 32 | 1, 31 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 33 | 32 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 34 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ¬ 𝐴 ∈
ℝ) |
| 35 | | prfi 9363 |
. . . . . . 7
⊢
{+∞, -∞} ∈ Fin |
| 36 | 35 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → {+∞, -∞}
∈ Fin) |
| 37 | | df-xr 11299 |
. . . . . 6
⊢
ℝ* = (ℝ ∪ {+∞,
-∞}) |
| 38 | 33, 34, 36, 37 | cnrefiisp 45845 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+
∀𝑦 ∈
ℝ* ((𝑦
∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠
𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))) |
| 39 | 30, 38 | reximddv3 3172 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+
∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 40 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) |
| 41 | | nfra1 3284 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) |
| 42 | 40, 41 | nfan 1899 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 43 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍 |
| 44 | 42, 43 | nfan 1899 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) |
| 45 | | nfra1 3284 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 |
| 46 | 44, 45 | nfan 1899 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) |
| 47 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((∀𝑘 ∈
𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 48 | 5 | uztrn2 12897 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
| 49 | 48 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((∀𝑘 ∈
𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
| 50 | | rspa 3248 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((∀𝑘 ∈
𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 51 | 47, 49, 50 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((∀𝑘 ∈
𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 52 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (¬
(𝐹‘𝑘) = 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) |
| 53 | 51, 52 | impel 505 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((∀𝑘 ∈
𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) |
| 54 | 53 | ad5ant2345 1372 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑘 ∈
𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) |
| 55 | 54 | adantllr 719 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑘 ∈
𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) |
| 56 | | rspa 3248 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) |
| 57 | 56 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) |
| 58 | 11 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℂ) |
| 59 | 48 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
| 60 | 58, 59 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
| 61 | 60 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
| 62 | 32 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 63 | 61, 62 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ) |
| 64 | 63 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 65 | 64 | adantl3r 750 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ) |
| 66 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈
ℝ+) |
| 67 | 66 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+) |
| 68 | 67 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 69 | 65, 68 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) |
| 70 | 57, 69 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) |
| 71 | 70 | adantl3r 750 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑘 ∈
𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) |
| 72 | 71 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑘 ∈
𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → ¬ 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴))) |
| 73 | 55, 72 | condan 818 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑘 ∈
𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴) |
| 74 | 46, 73 | ralrimia 3258 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑘 ∈
𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) |
| 75 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑘𝐹 |
| 76 | 75, 3, 5, 11 | climuz 45759 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+
∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))) |
| 77 | 1, 76 | mpbid 232 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+
∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)) |
| 78 | 77 | simprd 495 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) |
| 79 | 78 | r19.21bi 3251 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) →
∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) |
| 80 | 79 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) |
| 81 | 74, 80 | reximddv3 3172 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) |
| 82 | 81 | adantllr 719 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑘 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴 → 𝑥 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) |
| 83 | 39, 82 | rexlimddv2 45838 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) |
| 84 | | nfv 1914 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) |
| 85 | | nfra1 3284 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴 |
| 86 | 84, 85 | nfan 1899 |
. . . 4
⊢
Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) |
| 87 | 6 | ad3antrrr 730 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*) |
| 88 | | simplr 769 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝑍) |
| 89 | 5 | uzid3 45446 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) |
| 90 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗)) |
| 91 | 90 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑗) = 𝐴)) |
| 92 | 91 | rspcva 3620 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑗 ∈
(ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) → (𝐹‘𝑗) = 𝐴) |
| 93 | 89, 92 | sylan 580 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) → (𝐹‘𝑗) = 𝐴) |
| 94 | 93 | 3adant1 1131 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) → (𝐹‘𝑗) = 𝐴) |
| 95 | 6 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈
ℝ*) |
| 96 | 95 | 3adant3 1133 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈
ℝ*) |
| 97 | 94, 96 | eqeltrrd 2842 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
| 98 | 97 | ad4ant134 1175 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
| 99 | | rspa 3248 |
. . . . 5
⊢
((∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴) |
| 100 | 99 | adantll 714 |
. . . 4
⊢
(((((𝜑 ∧ ¬
𝐴 ∈ ℝ) ∧
𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴) |
| 101 | 86, 75, 5, 87, 88, 98, 100 | xlimconst2 45850 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴) → 𝐹~~>*𝐴) |
| 102 | 83, 101 | rexlimddv2 45838 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴) |
| 103 | 10, 102 | pm2.61dan 813 |
1
⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴) |