Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climxlim2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climxlim2lem 44646
Description: In this lemma for climxlim2 44647 there is the additional assumption that the converging function is complex-valued on the whole domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climxlim2lem.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climxlim2lem.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climxlim2lem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
climxlim2lem.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
climxlim2lem.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
climxlim2lem (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)

Proof of Theorem climxlim2lem
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climxlim2lem.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
21adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
3 climxlim2lem.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
43adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 climxlim2lem.2 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 climxlim2lem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
76adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
8 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
94, 5, 7, 8xlimclim2 44641 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
102, 9mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
11 climxlim2lem.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
1211ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1312anim1i 615 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴))
1413adantllr 717 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴))
156adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
1615ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
17 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴))))
18 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚))
19 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑦 β‰  𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴))
2018, 19anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴)))
21 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
2221breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) ↔ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2320, 22imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴))) ↔ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))))
2423rspcva 3610 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2516, 17, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2714, 26mpd 15 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
2827ex 413 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
2928ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
3029ad4ant14 750 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
31 climcl 15445 . . . . . . . 8 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
321, 31syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3332adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
34 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ)
35 prfi 9324 . . . . . . 7 {+∞, -∞} ∈ Fin
3635a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ {+∞, -∞} ∈ Fin)
37 df-xr 11254 . . . . . 6 ℝ* = (ℝ βˆͺ {+∞, -∞})
3833, 34, 36, 37cnrefiisp 44631 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 β‰  𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴))))
3930, 38reximddv3 43928 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
40 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+)
41 nfra1 3281 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
4240, 41nfan 1902 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
43 nfv 1917 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
4442, 43nfan 1902 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
45 nfra1 3281 . . . . . . . 8 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯
4644, 45nfan 1902 . . . . . . 7 β„²π‘˜((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
47 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
485uztrn2 12843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4948adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
50 rspa 3245 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
5147, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
52 neqne 2948 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴)
5351, 52impel 506 . . . . . . . . . 10 ((((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
5453ad5ant2345 1370 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
5554adantllr 717 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
56 rspa 3245 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
5756adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
5811ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
5948adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
6058, 59ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6160adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6232ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6361, 62subcld 11573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
6463abscld 15385 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
6564adantl3r 748 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
6766ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
6867rpred 13018 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6965, 68ltnled 11363 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴))))
7057, 69mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
7170adantl3r 748 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
7271adantr 481 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
7355, 72condan 816 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
7446, 73ralrimia 3255 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
75 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜πΉ
7675, 3, 5, 11climuz 44545 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
771, 76mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
7877simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
7978r19.21bi 3248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
8079adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)
8174, 80reximddv3 43928 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
8281adantllr 717 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴 β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
8339, 82rexlimddv2 44624 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
84 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
85 nfra1 3281 . . . . 5 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴
8684, 85nfan 1902 . . . 4 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
876ad3antrrr 728 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
88 simplr 767 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
895uzid3 44230 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
90 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
9190eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴))
9291rspcva 3610 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
9389, 92sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
94933adant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
956ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
96953adant3 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
9794, 96eqeltrrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
9897ad4ant134 1174 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
99 rspa 3245 . . . . 5 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
10099adantll 712 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
10186, 75, 5, 87, 88, 98, 100xlimconst2 44636 . . 3 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
10283, 101rexlimddv2 44624 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
10310, 102pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {cpr 4630   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  +∞cpnf 11247  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  abscabs 15183   ⇝ cli 15430  ~~>*clsxlim 44619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-topn 17371  df-topgen 17391  df-ordt 17449  df-ps 18521  df-tsr 18522  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-lm 22740  df-xms 23833  df-ms 23834  df-xlim 44620
This theorem is referenced by:  climxlim2  44647
  Copyright terms: Public domain W3C validator