Theorem cvgcaule 45487

Description: A convergent function is Cauchy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcaule.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
cvgcaule.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
cvgcaule.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
cvgcaule.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
cvgcaule.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
cvgcaule.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
cvgcaule.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
cvgcaule	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cvgcaule

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcaule.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
2		cvgcaule.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
3		cvgcaule.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		cvgcaule.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
5		cvgcaule.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		cvgcaule.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		cvgcaule.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	cvgcau 45486	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
9		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		nfra1 3261	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
11	9, 10	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
12		rspa 3226	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
13	12	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	13	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	6	uzid3 45431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
17		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
18	3, 17	nffv 6868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
19	18	nfel1 2908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
20		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘abs
21		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘 −
22	18, 21, 18	nfov 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))
23	20, 22	nffv 6868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))
24		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘 <
25		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
26	23, 24, 25	nfbr 5154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋
27	19, 26	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
28		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
29	28	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
30	28	fvoveq1d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))))
31	30	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
32	29, 31	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
33	27, 32	rspc 3576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
34	16, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
35	34	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
36	35	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
38	15, 37	subcld 11533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
39	38	abscld 15405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
40	39	adantlll 718	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
41		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
42	41	rpred 12995	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ)
43	12	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
44	43	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
45	40, 42, 44	ltled 11322	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)
46	14, 45	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))
47	11, 46	ralrimia 3236	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))
48	47	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)))
49	48	reximdva 3146	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)))
50	1, 8, 49	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  abscabs 15200   ⇝ cli 15450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455

This theorem is referenced by: (None)