Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvgcaule Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvgcaule 45502
Description: A convergent function is Cauchy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcaule.1 𝑗𝐹
cvgcaule.2 𝑘𝐹
cvgcaule.3 (𝜑𝑀𝑍)
cvgcaule.4 (𝜑𝐹𝑉)
cvgcaule.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgcaule.6 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
cvgcaule.7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
cvgcaule (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cvgcaule
StepHypRef Expression
1 cvgcaule.7 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
2 cvgcaule.1 . . 3 𝑗𝐹
3 cvgcaule.2 . . 3 𝑘𝐹
4 cvgcaule.3 . . 3 (𝜑𝑀𝑍)
5 cvgcaule.4 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
6 cvgcaule.5 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 cvgcaule.6 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
82, 3, 4, 5, 6, 7, 1cvgcau 45501 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
9 nfv 1914 . . . . . 6 𝑘(𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍)
10 nfra1 3284 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
119, 10nfan 1899 . . . . 5 𝑘((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
12 rspa 3248 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
1312simpld 494 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413adantll 714 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1513adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
166uzid3 45446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
17 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑗
183, 17nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝐹𝑗)
1918nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
20 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘abs
21 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘
2218, 21, 18nfov 7461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))
2320, 22nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗)))
24 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 <
25 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑋
2623, 24, 25nfbr 5190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋
2719, 26nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
28 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
2928eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
3028fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))))
3130breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋 ↔ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
3229, 31anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3327, 32rspc 3610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3416, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3534imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
3635simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
3815, 37subcld 11620 . . . . . . . . 9 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
3938abscld 15475 . . . . . . . 8 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
4039adantlll 718 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
41 simplll 775 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
4241rpred 13077 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4312adantll 714 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
4443simprd 495 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
4540, 42, 44ltled 11409 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)
4614, 45jca 511 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
4711, 46ralrimia 3258 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
4847ex 412 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)))
4948reximdva 3168 . 2 (𝑋 ∈ ℝ+ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)))
501, 8, 49sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnfc 2890  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cuz 12878  +crp 13034  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator