Theorem cvgcaule 46238

Description: A convergent function is Cauchy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcaule.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
cvgcaule.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
cvgcaule.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
cvgcaule.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
cvgcaule.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
cvgcaule.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
cvgcaule.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
cvgcaule	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑗, 𝑘)   𝑀(𝑗, 𝑘)   𝑉(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem cvgcaule

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcaule.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
2		cvgcaule.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
3		cvgcaule.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		cvgcaule.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
5		cvgcaule.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		cvgcaule.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		cvgcaule.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	cvgcau 46237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
9		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		nfra1 3291	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
11	9, 10	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
12		rspa 3256	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
13	12	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	13	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	6	uzid3 46182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
17		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
18	3, 17	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
19	18	nfel1 2943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
20		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘abs
21		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘 −
22	18, 21, 18	nfov 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))
23	20, 22	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))
24		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘 <
25		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
26	23, 24, 25	nfbr 5160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋
27	19, 26	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
28		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
29	28	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
30	28	fvoveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))))
31	30	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
32	29, 31	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
33	27, 32	rspc 3571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
34	16, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
35	34	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
36	35	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
38	15, 37	subcld 11580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
39	38	abscld 15510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
40	39	adantlll 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
41		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
42	41	rpred 13072	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ)
43	12	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
44	43	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
45	40, 42, 44	ltled 11369	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)
46	14, 45	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))
47	11, 46	ralrimia 3266	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))
48	47	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)))
49	48	reximdva 3180	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)))
50	1, 8, 49	sylc 66	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2912  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452  ℤ_≥cuz 12874  ℝ⁺crp 13028  abscabs 15305   ⇝ cli 15555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13390  df-fl 13839  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560

This theorem is used by: (None)