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Theorem cvgcaule 44774
Description: A convergent function is Cauchy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcaule.1 𝑗𝐹
cvgcaule.2 𝑘𝐹
cvgcaule.3 (𝜑𝑀𝑍)
cvgcaule.4 (𝜑𝐹𝑉)
cvgcaule.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgcaule.6 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
cvgcaule.7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
cvgcaule (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cvgcaule
StepHypRef Expression
1 cvgcaule.7 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
2 cvgcaule.1 . . 3 𝑗𝐹
3 cvgcaule.2 . . 3 𝑘𝐹
4 cvgcaule.3 . . 3 (𝜑𝑀𝑍)
5 cvgcaule.4 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
6 cvgcaule.5 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 cvgcaule.6 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
82, 3, 4, 5, 6, 7, 1cvgcau 44773 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
9 nfv 1909 . . . . . 6 𝑘(𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍)
10 nfra1 3275 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
119, 10nfan 1894 . . . . 5 𝑘((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
12 rspa 3239 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
1312simpld 494 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413adantll 711 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1513adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
166uzid3 44717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
17 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑗
183, 17nffv 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝐹𝑗)
1918nfel1 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
20 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘abs
21 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘
2218, 21, 18nfov 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))
2320, 22nffv 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗)))
24 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 <
25 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑋
2623, 24, 25nfbr 5188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋
2719, 26nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
28 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
2928eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
3028fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))))
3130breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋 ↔ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
3229, 31anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3327, 32rspc 3594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3416, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3534imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
3635simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
3815, 37subcld 11575 . . . . . . . . 9 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
3938abscld 15389 . . . . . . . 8 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
4039adantlll 715 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
41 simplll 772 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
4241rpred 13022 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4312adantll 711 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
4443simprd 495 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
4540, 42, 44ltled 11366 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)
4614, 45jca 511 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
4711, 46ralrimia 3249 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
4847ex 412 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)))
4948reximdva 3162 . 2 (𝑋 ∈ ℝ+ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)))
501, 8, 49sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wnfc 2877  wral 3055  wrex 3064   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  cfv 6537  (class class class)co 7405  cc 11110  cr 11111   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  cuz 12826  +crp 12980  abscabs 15187  cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439
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