Theorem cvgcaule 45937

Description: A convergent function is Cauchy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcaule.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
cvgcaule.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
cvgcaule.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
cvgcaule.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
cvgcaule.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
cvgcaule.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
cvgcaule.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
cvgcaule	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cvgcaule

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcaule.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
2		cvgcaule.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
3		cvgcaule.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		cvgcaule.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
5		cvgcaule.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		cvgcaule.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		cvgcaule.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	cvgcau 45936	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
9		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		nfra1 3262	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
11	9, 10	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
12		rspa 3227	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
13	12	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	13	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	6	uzid3 45881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
17		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
18	3, 17	nffv 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
19	18	nfel1 2916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
20		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘abs
21		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘 −
22	18, 21, 18	nfov 7390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))
23	20, 22	nffv 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))
24		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘 <
25		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
26	23, 24, 25	nfbr 5133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋
27	19, 26	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
28		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
29	28	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
30	28	fvoveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))))
31	30	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
32	29, 31	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
33	27, 32	rspc 3553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
34	16, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
35	34	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
36	35	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
38	15, 37	subcld 11496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
39	38	abscld 15392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
40	39	adantlll 719	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
41		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
42	41	rpred 12977	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ)
43	12	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
44	43	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
45	40, 42, 44	ltled 11285	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)
46	14, 45	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))
47	11, 46	ralrimia 3237	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))
48	47	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)))
49	48	reximdva 3151	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)))
50	1, 8, 49	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  abscabs 15187   ⇝ cli 15437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442

This theorem is referenced by: (None)