Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvgcaule Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvgcaule 44787
Description: A convergent function is Cauchy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcaule.1 𝑗𝐹
cvgcaule.2 𝑘𝐹
cvgcaule.3 (𝜑𝑀𝑍)
cvgcaule.4 (𝜑𝐹𝑉)
cvgcaule.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgcaule.6 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
cvgcaule.7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
cvgcaule (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cvgcaule
StepHypRef Expression
1 cvgcaule.7 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
2 cvgcaule.1 . . 3 𝑗𝐹
3 cvgcaule.2 . . 3 𝑘𝐹
4 cvgcaule.3 . . 3 (𝜑𝑀𝑍)
5 cvgcaule.4 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
6 cvgcaule.5 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 cvgcaule.6 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
82, 3, 4, 5, 6, 7, 1cvgcau 44786 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
9 nfv 1910 . . . . . 6 𝑘(𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍)
10 nfra1 3276 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
119, 10nfan 1895 . . . . 5 𝑘((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
12 rspa 3240 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
1312simpld 494 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413adantll 713 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1513adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
166uzid3 44730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
17 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑗
183, 17nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝐹𝑗)
1918nfel1 2914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
20 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘abs
21 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘
2218, 21, 18nfov 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))
2320, 22nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗)))
24 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 <
25 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑋
2623, 24, 25nfbr 5189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋
2719, 26nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
28 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
2928eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
3028fvoveq1d 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))))
3130breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋 ↔ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
3229, 31anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3327, 32rspc 3595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3416, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3534imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
3635simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
3815, 37subcld 11587 . . . . . . . . 9 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
3938abscld 15401 . . . . . . . 8 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
4039adantlll 717 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
41 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
4241rpred 13034 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4312adantll 713 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
4443simprd 495 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
4540, 42, 44ltled 11378 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)
4614, 45jca 511 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
4711, 46ralrimia 3250 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
4847ex 412 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)))
4948reximdva 3163 . 2 (𝑋 ∈ ℝ+ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)))
501, 8, 49sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wnfc 2878  wral 3056  wrex 3065   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11122  cr 11123   < clt 11264  cle 11265  cmin 11460  cuz 12838  +crp 12992  abscabs 15199  cli 15446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator