Theorem cvgcaule 45735

Description: A convergent function is Cauchy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcaule.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
cvgcaule.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
cvgcaule.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
cvgcaule.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
cvgcaule.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
cvgcaule.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
cvgcaule.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
cvgcaule	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cvgcaule

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcaule.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
2		cvgcaule.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
3		cvgcaule.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		cvgcaule.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
5		cvgcaule.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		cvgcaule.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		cvgcaule.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	cvgcau 45734	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
9		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		nfra1 3260	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
11	9, 10	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
12		rspa 3225	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
13	12	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	13	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	6	uzid3 45679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
17		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
18	3, 17	nffv 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
19	18	nfel1 2915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
20		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘abs
21		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘 −
22	18, 21, 18	nfov 7388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))
23	20, 22	nffv 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))
24		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘 <
25		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
26	23, 24, 25	nfbr 5145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋
27	19, 26	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
28		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
29	28	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
30	28	fvoveq1d 7380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))))
31	30	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
32	29, 31	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
33	27, 32	rspc 3564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
34	16, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
35	34	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
36	35	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
38	15, 37	subcld 11492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
39	38	abscld 15362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
40	39	adantlll 718	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
41		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
42	41	rpred 12949	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ)
43	12	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
44	43	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
45	40, 42, 44	ltled 11281	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)
46	14, 45	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))
47	11, 46	ralrimia 3235	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))
48	47	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)))
49	48	reximdva 3149	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)))
50	1, 8, 49	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  abscabs 15157   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412

This theorem is referenced by: (None)