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Theorem cvgcaule 45442
Description: A convergent function is Cauchy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcaule.1 𝑗𝐹
cvgcaule.2 𝑘𝐹
cvgcaule.3 (𝜑𝑀𝑍)
cvgcaule.4 (𝜑𝐹𝑉)
cvgcaule.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgcaule.6 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
cvgcaule.7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
cvgcaule (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cvgcaule
StepHypRef Expression
1 cvgcaule.7 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
2 cvgcaule.1 . . 3 𝑗𝐹
3 cvgcaule.2 . . 3 𝑘𝐹
4 cvgcaule.3 . . 3 (𝜑𝑀𝑍)
5 cvgcaule.4 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
6 cvgcaule.5 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 cvgcaule.6 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
82, 3, 4, 5, 6, 7, 1cvgcau 45441 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
9 nfv 1912 . . . . . 6 𝑘(𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍)
10 nfra1 3282 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
119, 10nfan 1897 . . . . 5 𝑘((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
12 rspa 3246 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
1312simpld 494 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413adantll 714 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1513adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
166uzid3 45385 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
17 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑗
183, 17nffv 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝐹𝑗)
1918nfel1 2920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
20 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘abs
21 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘
2218, 21, 18nfov 7461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))
2320, 22nffv 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗)))
24 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 <
25 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑋
2623, 24, 25nfbr 5195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋
2719, 26nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
28 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
2928eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
3028fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))))
3130breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋 ↔ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
3229, 31anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3327, 32rspc 3610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3416, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)))
3534imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
3635simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
3815, 37subcld 11618 . . . . . . . . 9 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
3938abscld 15472 . . . . . . . 8 (((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
4039adantlll 718 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
41 simplll 775 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
4241rpred 13075 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4312adantll 714 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋))
4443simprd 495 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)
4540, 42, 44ltled 11407 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)
4614, 45jca 511 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
4711, 46ralrimia 3256 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
4847ex 412 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ+𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)))
4948reximdva 3166 . 2 (𝑋 ∈ ℝ+ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑋) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋)))
501, 8, 49sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wnfc 2888  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cuz 12876  +crp 13032  abscabs 15270  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522
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