Theorem cvgcaule 45946

Description: A convergent function is Cauchy. (Contributed by Glauco Siliprandi, 15-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcaule.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
cvgcaule.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
cvgcaule.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
cvgcaule.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
cvgcaule.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
cvgcaule.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
cvgcaule.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
cvgcaule	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cvgcaule

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcaule.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
2		cvgcaule.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
3		cvgcaule.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		cvgcaule.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
5		cvgcaule.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		cvgcaule.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		cvgcaule.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7, 1	cvgcau 45945	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
9		nfv 1922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		nfra1 3265	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
11	9, 10	nfan 1907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
12		rspa 3230	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
13	12	simpld 496	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantll 721	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	13	adantll 721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	6	uzid3 45890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
17		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
18	3, 17	nffv 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
19	18	nfel1 2919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
20		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘abs
21		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘 −
22	18, 21, 18	nfov 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))
23	20, 22	nffv 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗)))
24		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘 <
25		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
26	23, 24, 25	nfbr 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋
27	19, 26	nfan 1907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
28		fveq2 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
29	28	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
30	28	fvoveq1d 7381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))))
31	30	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
32	29, 31	anbi12d 639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
33	27, 32	rspc 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
34	16, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)))
35	34	imp 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
36	35	simpld 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
37	36	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
38	15, 37	subcld 11501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
39	38	abscld 15396	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
40	39	adantlll 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
41		simplll 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
42	41	rpred 12981	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑋 ∈ ℝ)
43	12	adantll 721	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋))
44	43	simprd 497	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)
45	40, 42, 44	ltled 11290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)
46	14, 45	jca 517	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))
47	11, 46	ralrimia 3240	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))
48	47	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)))
49	48	reximdva 3154	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑋) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋)))
50	1, 8, 49	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ≤ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Ⅎwnfc 2888  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  dom cdm 5620  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  ℝcr 11033   < clt 11175   ≤ cle 11176   − cmin 11373  ℤ_≥cuz 12783  ℝ⁺crp 12937  abscabs 15191   ⇝ cli 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446

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