Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomima2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomima2g 9073
 Description: A set is weakly dominant over its image under any function. This version of wdomimag 9074 is stated so as to avoid ax-rep 5154. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomima2g ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)

Proof of Theorem wdomima2g
StepHypRef Expression
1 df-ima 5535 . 2 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 funres 6375 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
3 funforn 6581 . . . . . . . 8 (Fun (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
42, 3sylib 221 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
543ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
6 fof 6574 . . . . . 6 ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴))
75, 6syl 17 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴))
8 dmres 5843 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
9 inss1 4134 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
108, 9eqsstri 3927 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴
11 simp2 1135 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → 𝐴𝑉)
12 ssexg 5191 . . . . . 6 ((dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴𝐴𝑉) → dom (𝐹𝐴) ∈ V)
1310, 11, 12sylancr 591 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → dom (𝐹𝐴) ∈ V)
14 simp3 1136 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑊)
151, 14eqeltrrid 2858 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ∈ 𝑊)
16 fex2 7641 . . . . 5 (((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ∈ V ∧ ran (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ V)
177, 13, 15, 16syl3anc 1369 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ V)
18 fowdom 9058 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ V ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴)) → ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴))
1917, 5, 18syl2anc 588 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴))
20 ssdomg 8571 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
2110, 20mpi 20 . . . . 5 (𝐴𝑉 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
22 domwdom 9061 . . . . 5 (dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
24233ad2ant2 1132 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
25 wdomtr 9062 . . 3 ((ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴) → ran (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
2619, 24, 25syl2anc 588 . 2 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
271, 26eqbrtrid 5065 1 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859   class class class wbr 5030  dom cdm 5522  ran crn 5523   ↾ cres 5524   “ cima 5525  Fun wfun 6327  ⟶wf 6329  –onto→wfo 6331   ≼ cdom 8523   ≼* cwdom 9051 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-op 4527  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5428  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-wdom 9052 This theorem is referenced by:  wdomimag  9074  unxpwdom2  9075
 Copyright terms: Public domain W3C validator