MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomima2g Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wdomima2g 9581
Description: A set is weakly dominant over its image under any function. This version of wdomimag 9582 is stated so as to avoid ax-rep 5286. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomima2g ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
Proof of Theorem wdomima2g
StepHypRef Expression
1 df-ima 5690 . 2 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
2 funres 6591 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 β†’ Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3 funforn 6813 . . . . . . . 8 (Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
42, 3sylib 217 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
543ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
6 fof 6806 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
75, 6syl 17 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
8 dmres 6004 . . . . . . 7 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
9 inss1 4229 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ dom 𝐹) βŠ† 𝐴
108, 9eqsstri 4017 . . . . . 6 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴
11 simp2 1138 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
12 ssexg 5324 . . . . . 6 ((dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
1310, 11, 12sylancr 588 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
14 simp3 1139 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š)
151, 14eqeltrrid 2839 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ π‘Š)
16 fex2 7924 . . . . 5 (((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
177, 13, 15, 16syl3anc 1372 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
18 fowdom 9566 . . . 4 (((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
1917, 5, 18syl2anc 585 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
20 ssdomg 8996 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό 𝐴))
2110, 20mpi 20 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό 𝐴)
22 domwdom 9569 . . . . 5 (dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό 𝐴 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
24233ad2ant2 1135 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
25 wdomtr 9570 . . 3 ((ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
2619, 24, 25syl2anc 585 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
271, 26eqbrtrid 5184 1 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542   β‰Ό cdom 8937   β‰Ό* cwdom 9559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-wdom 9560
This theorem is referenced by:  wdomimag  9582  unxpwdom2  9583
  Copyright terms: Public domain W3C validator