MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomima2g Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wdomima2g 9583
Description: A set is weakly dominant over its image under any function. This version of wdomimag 9584 is stated so as to avoid ax-rep 5285. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomima2g ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
Proof of Theorem wdomima2g
StepHypRef Expression
1 df-ima 5689 . 2 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
2 funres 6590 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 β†’ Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3 funforn 6812 . . . . . . . 8 (Fun (𝐹 β†Ύ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
42, 3sylib 217 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
543ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
6 fof 6805 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
75, 6syl 17 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢ran (𝐹 β†Ύ 𝐴))
8 dmres 6003 . . . . . . 7 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
9 inss1 4228 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ dom 𝐹) βŠ† 𝐴
108, 9eqsstri 4016 . . . . . 6 dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴
11 simp2 1137 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
12 ssexg 5323 . . . . . 6 ((dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
14 simp3 1138 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š)
151, 14eqeltrrid 2838 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ π‘Š)
16 fex2 7926 . . . . 5 (((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)⟢ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
177, 13, 15, 16syl3anc 1371 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V)
18 fowdom 9568 . . . 4 (((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
1917, 5, 18syl2anc 584 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* dom (𝐹 β†Ύ 𝐴))
20 ssdomg 8998 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝐴 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό 𝐴))
2110, 20mpi 20 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό 𝐴)
22 domwdom 9571 . . . . 5 (dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό 𝐴 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
24233ad2ant2 1134 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
25 wdomtr 9572 . . 3 ((ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
2619, 24, 25syl2anc 584 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
271, 26eqbrtrid 5183 1 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ π‘Š) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) β‰Ό* 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541   β‰Ό cdom 8939   β‰Ό* cwdom 9561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-wdom 9562
This theorem is referenced by:  wdomimag  9584  unxpwdom2  9585
  Copyright terms: Public domain W3C validator