MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomima2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomima2g 9626
Description: A set is weakly dominant over its image under any function. This version of wdomimag 9627 is stated so as to avoid ax-rep 5279. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomima2g ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)

Proof of Theorem wdomima2g
StepHypRef Expression
1 df-ima 5698 . 2 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 funres 6608 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
3 funforn 6827 . . . . . . . 8 (Fun (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
42, 3sylib 218 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
543ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
6 fof 6820 . . . . . 6 ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴))
75, 6syl 17 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴))
8 dmres 6030 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
9 inss1 4237 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
108, 9eqsstri 4030 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴
11 simp2 1138 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → 𝐴𝑉)
12 ssexg 5323 . . . . . 6 ((dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴𝐴𝑉) → dom (𝐹𝐴) ∈ V)
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → dom (𝐹𝐴) ∈ V)
14 simp3 1139 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑊)
151, 14eqeltrrid 2846 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ∈ 𝑊)
16 fex2 7958 . . . . 5 (((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ∈ V ∧ ran (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ V)
177, 13, 15, 16syl3anc 1373 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ V)
18 fowdom 9611 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ V ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴)) → ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴))
1917, 5, 18syl2anc 584 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴))
20 ssdomg 9040 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
2110, 20mpi 20 . . . . 5 (𝐴𝑉 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
22 domwdom 9614 . . . . 5 (dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
24233ad2ant2 1135 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
25 wdomtr 9615 . . 3 ((ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴) → ran (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
2619, 24, 25syl2anc 584 . 2 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
271, 26eqbrtrid 5178 1 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087  wcel 2108  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  Fun wfun 6555  wf 6557  ontowfo 6559  cdom 8983  * cwdom 9604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-wdom 9605
This theorem is referenced by:  wdomimag  9627  unxpwdom2  9628
  Copyright terms: Public domain W3C validator