MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomima2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomima2g 9038
Description: A set is weakly dominant over its image under any function. This version of wdomimag 9039 is stated so as to avoid ax-rep 5181. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomima2g ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)

Proof of Theorem wdomima2g
StepHypRef Expression
1 df-ima 5561 . 2 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
2 funres 6390 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
3 funforn 6590 . . . . . . . 8 (Fun (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
42, 3sylib 219 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
543ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴))
6 fof 6583 . . . . . 6 ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴))
75, 6syl 17 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴))
8 dmres 5868 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
9 inss1 4202 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
108, 9eqsstri 3998 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴
11 simp2 1129 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → 𝐴𝑉)
12 ssexg 5218 . . . . . 6 ((dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴𝐴𝑉) → dom (𝐹𝐴) ∈ V)
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → dom (𝐹𝐴) ∈ V)
14 simp3 1130 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑊)
151, 14eqeltrrid 2915 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ∈ 𝑊)
16 fex2 7627 . . . . 5 (((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ran (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ∈ V ∧ ran (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ V)
177, 13, 15, 16syl3anc 1363 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ∈ V)
18 fowdom 9023 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ V ∧ (𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)–onto→ran (𝐹𝐴)) → ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴))
1917, 5, 18syl2anc 584 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴))
20 ssdomg 8543 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
2110, 20mpi 20 . . . . 5 (𝐴𝑉 → dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
22 domwdom 9026 . . . . 5 (dom (𝐹𝐴) ≼ 𝐴 → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
24233ad2ant2 1126 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
25 wdomtr 9027 . . 3 ((ran (𝐹𝐴) ≼* dom (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) ≼* 𝐴) → ran (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
2619, 24, 25syl2anc 584 . 2 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → ran (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
271, 26eqbrtrid 5092 1 ((Fun 𝐹𝐴𝑉 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑊) → (𝐹𝐴) ≼* 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079  wcel 2105  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  cima 5551  Fun wfun 6342  wf 6344  ontowfo 6346  cdom 8495  * cwdom 9009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-wdom 9011
This theorem is referenced by:  wdomimag  9039  unxpwdom2  9040
  Copyright terms: Public domain W3C validator