Theorem wfr2 8345

Description: The Principle of Well-Ordered Recursion, part 2 of 3. Next, we show that the value of 𝐹 at any 𝑋 ∈ 𝐴 is 𝐺 applied to all "previous" values of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfr2.1	⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wfr2	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

Proof of Theorem wfr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfr2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
2	1	wfr1 8344	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
3	2	fndmd 6644	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2847	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑋 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
5	4	biimpar 483	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6	1	wfr2a 8343	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
7	5, 6	syldan 603	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   Se wse 5602   We wwe 5603  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  Predcpred 6303  ‘cfv 6538  wrecscwrecs 8329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330

This theorem is used by:  wfr3  8346  tfr2ALT  8409  bpolylem  16214