Theorem wfr2 8269

Description: The Principle of Well-Ordered Recursion, part 2 of 3. Next, we show that the value of 𝐹 at any 𝑋 ∈ 𝐴 is 𝐺 applied to all "previous" values of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfr2.1	⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wfr2	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

Proof of Theorem wfr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfr2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = wrecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
2	1	wfr1 8268	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
3	2	fndmd 6597	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2822	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑋 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
5	4	biimpar 477	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
6	1	wfr2a 8267	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
7	5, 6	syldan 591	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   Se wse 5575   We wwe 5576  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  Predcpred 6258  ‘cfv 6492  wrecscwrecs 8253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254

This theorem is referenced by:  wfr3  8270  tfr2ALT  8332  bpolylem  15971